|
Алгебра ВаляАлгебра Валя (или Алгебра Валентины), неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам: 1. Условию антисимметричности: g(A,B) = − g(B,A) для всех . 2. Тождеству Валентины: J(g(A1,A2),g(A3,A4),g(A5,A6)) = 0 для всех , где k=1,2,…,6, и J(A,B,C): = g(g(A,B),C) + g(g(B,C),A) + g(g(C,A),B). 3. Условию билинейности: g(aA + bB,C) = ag(A,C) + bg(B,C) для всех и . Можно сказать, что M является А.В., если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является А.В. Билинейная мультипликативная операция в А.В., так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией. Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и А.В. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутатирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру M( − ). При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то M( − ) будет А.В. А.В. является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером А.В. А.В. могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем. (1) Любая конечная А.В. является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли. (2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм на симплектическом многообразии, определяемая по правилу
где (α,β) — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли. Если α и β являются замкнутыми 1-формами, то dα = dβ = 0 and
Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а А.В., которая не является алгеброй Ли. Литература:
|
Loading
|