Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа, алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.

А.Х. встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в связи с концепцией H-пространством, в теории схем групп, в теории групп (благодаря концепции группового кольца), и во многих других местах, делая их вероятно с самым знакомым типом биалгебра. А.Х. также изучаются сами по себе, с большим количеством определенных классов примеров с одной стороны и проблем классификации с другой стороны. 

Что касается алгебры s, то в вышеупомянутом определении можно заменить подразумеваемое поле K на коммутативное кольцо "R" .

Определение алгебры Хопфа само-двойное (как отражено в симметрии вышеупомянутой диаграммы), так, если можно определить сопряжённое "H" (которое всегда возможно, если "H" является конечномерным), то оно - автоматически А.Х. 

Антипод "S" иногда обязан иметь "K-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если "H" коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря квазитреугольная).

Вообще говоря, "S" - антигомоморфизм, [1] так S2 - гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если "S" была обратима (как может требоваться).

Если S2 = Id, то А.Х., как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью - *-алгебра). Если "H" конечномерная полупростая по полю характеристики ноль, коммутативная, или ккоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра "B" допускает антипод "S", то "S" уникален ("биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа").

Антипод - аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает g к g − 1. 

Подалгебра K (не смешивать с полем K в примечании выше) алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H, и антипод S отображает K в K. Другими словами, подалгебра Хопфа K это подпространство в А.Х., замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Никлоса-Зеллера (Nichols-Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный K-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конеченомерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа K, называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности,  для всех h из H, где присоединённое действие adr определено как adr(h)(k) = S(h(1))kh(2) для всех k из K и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как . Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа K в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HK + = K + H, где K + обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, чтоHK + - идеал Хопфа алгебры H (то есть идеал алгебры в ядре коединицы, коидеал коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена фактор алгебра Хопфа H / HK + и эпиморфизм , аналогично соответствующимконструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.

Примеры:

1. Алгебра группы. Предположим "G" - группа. Алгебра группы "КГ" - унитарная ассоциативная алгебра по "K". Это превращается в А.Х., если мы определим

2. * Δ: "KG" → "KG" ⊗ "KG" Δ ("g") = "g" ⊗ "g" для всего "g" в "G"

3. * ε: "KG" → "K" ε ("g") = 1 для всего "g" в "G"

4. * "S": "KG" → "KG" "S" ("g") = "g"  −1для всего "g" в "G". 

Алгебра когомологии группы Ли — алгебра Хопфа: умножение обеспечено соумножением, и коумножением

умножением группы . Это наблюдение было фактически источником понятия Hopf алгебры. Используя эту структуру, Хопф доказал теорему структуры для алгебры когомологии групп Ли.

Теорема Хопфа. Пусть A конечномерная, суперкоммутативная, кокоммутативная А.Х. над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) - свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени. 

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное) или кокоммутативными (то есть Δ = "T"  Δ где "T": "H" ⊗ "H" → "H" ⊗ "H" есть перестановка тензорных сомноителей, определенная как "T" ("x" ⊗ "y") = "y" ⊗ "x"). Другими интересными примерами алгебр Хопфа - некоторые деформации или "квантования" примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти А.Х. часто называют "квантовыми группами". Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в тернимах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой А.Х. как об описании некоторой "квантованной" алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных А.Х. Отсюда название "квантовая группа". 

Группы могут быть аксиоматизированы в соответствии с теми же самыми диаграммами (эквивалентностями, операциями) как А.Х., где "G" берётся как набор вместо модуля. В этом случае:

• поле K заменен набором с 1 точкой

• есть естественная соединица (отображение к 1 точке)

• есть естественное соумножение (диагональная отображение)

• единица — уникальный элемент группы

• умножение - умножение в группе

• антипод - инверсия

В этой философии, о группе можно думать как о А.Х. по " поле с одним элементом ".