|
Алгебраическая геометрияАлгебраическая геометрия, раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в n-мерном пространстве, координаты которых (x1, x2,...,xn ) являются решениями системы уравнений: F1(X1, Х2 ..., Xn) = 0, Fm(X1, x2, ..., Xn) = 0, где Fi,..., Fm — многочлены от неизвестных x1, ..., xn. Каждое алгебраическое многообразие имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебраические многообразия, имеющие размерность 1, называются алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 — алгебраическими поверхностями. Примерами алгебраических кривых могут служить конические сечения. Два алгебраических многообразия называются бирационально эквивалентными, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебраические многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из основных задач А. г. является построение бирациональных инвариантов для алгебраических многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств математического анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебраическому многообразию. Кроме трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрические методы проективной геометрии, а также топологические методы (см. Топология). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, например род кривой (см. ниже), алгебраических многообразий носят топологический характер. Особенно большую роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы японского математика Хиронака, согласно которой всякое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек. Наиболее разработанная часть А. г. — теория алгебраических кривых. Основным бирациональным инвариантом алгебраической кривой является её род. Если алгебраическая кривая плоская, т. е. задаётся в декартовых координатах уравнением F(х, у) = 0, то род кривой g = (m - 1)(m - 2)/2 - d, где m — порядок кривой, а d — число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирационально эквивалентны прямым, т. е. параметрически могут быть заданы при помощи рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими функциями и поэтому называются эллиптическими кривыми. Кривые рода больше 1 могут быть параметризованы с помощью автоморфных функций. Каждая кривая рода g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно определяется 3g - 3 комплексными параметрами, которые сами пробегают некоторое алгебраическое многообразие. В многомерном случае наиболее изученный класс алгебраических многообразий образуют абелевы многообразия. Это — замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями. Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным. Алгебраическая кривая является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда она имеет род 1, т. е. является эллиптической кривой. Теория алгебраических кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая алгебраическая кривая рода, большего 0, канонически погружается в некоторое абелево многообразие, называемое якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет самоё кривую. Исторически А. г. возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. А. г. постепенно переходит от изучения специальных классов кривых и поверхностей к постановке общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая А. г. была построена в конце 19 и начале 20 вв. в трудах немецкого математика М. Нётера, итальянских математиков Ф. Энрикеса, Ф. Севери и др. Своего расцвета А. г. достигает в 20 в. (работы французского математика А. Вейля, американского математика С. Лефшеца и др.). Крупные достижения в А. г. имеют советские математики Н. Г. Чеботарев, И. Г. Петровский, И. Р. Шафаревич. А. г. является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. Методы А. г. оказывают огромное влияние на такие смежные с А. г. разделы математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также на более далёкие от А. г. разделы математики — такие, как уравнения в частных производных, алгебраическая топология, теория групп и др. Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1—2, М. — Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948; Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1—3, М., 1954 — 55; Алгебраические поверхности, М., 1965; WeiI A.. Foundations of algebraic géometry, N. Y., 1946. Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической А.г., а также в широком смысле и современной А.г., являются множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами. А.г. обязана своим появлением нуждам теории абелевых интегралов, в которой были получены замечательные результаты, касающиеся алгебраических кривых и имеющие чисто геометрический смысл. Например, используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Классический период А.г. относится ко второй половине XIX века и представлен, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса. В 30-х и 40-х годах XX века, идеи построения А.г. на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в то время, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Развитие современной алгебраической геометрии во многом связано с работами французского математика А. Гротендика, который построил её на языке схем.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая алгебраические кривые на плоскости, алгебраические кривые и поверхности в пространстве, вообще, алгебраические многообразия в л-мерном пространстве. Плоской алгебраической кривой называется кривая, определяемая в декартовых координатах уравнением: F(x, у) = 0, где F(x, у) — многочлен от х и у. Например прямые линии и конические сечения (см.) являются алгебраическими криными. а синусоида— поал-гебраической. Наименьшая степень уравнения, к-рым может быть задана кривая, называется п о-рядком этой кривой. Аналогично, алгебраической поверхностью называется поверхность, задаваемая в трёхмерном пространстве уравнением F (х, у, z)=0, а пространственной алгебраической кривой — кривая, задаваемая системой независимых и совместных уравнений F(x, у, z)=0, G(x, у, г) = 0, где F {х, у, z) и G (х, у, z) — многочлены от х, у, z. Плоские и пространственные алгебраические кривые и алгебраические поверхности являются частными случаями алгебраического многообразия в /г-мерном пространстве. Так называется совокупность точек, координаты к-рых (я,.....хп) являются решениями системы уравнений: F, {хи...,хп)=0, Fm (хи...,хп) = 0, где Fl(xl,..., хп),..., Fm[xl,..., хп)— многочлены от неизвестных xt,..., хп. Каждое алгебраическое многообразие имеет определённое число измерений (см. Размерность), которое является целым числом, лежащим между 0 и п. Алгебраические многообразия, имеющие размерность 1, называются кривыми, имеющие размерность 2 — поверхностями. Теоремы, докалываемые в алгебраической геометрии —■ большей частью чисто геометрические, т. е. не связанные с введением в пространстве системы координат. Но доказываются они обычно координатными, алгебраическими методами. Большую роль в более трудных вопросах А. г. играют и средства математического анализа — т. н, трансцендентные методы; уже при изучении кривых второго порядка и дая;е прямых и плоскостей в элементарной аналитической геометрии употребляют тригонометрические функции, являющиеся, как известно, трансцендентными, а не алгебраическими. Особенно мощным трансцендентным методом А. г. является рассмотрение кратных интегралов по алгебраическим поверхностям. Изучение кривых и поверхностей первого порядка (т. е. прямых и плоскостей) и второго порядка относится обычно к общим курсам аналитической геометрии. Руководства по А. г. поэтому начинаются с изучения и классификации кривых и поверхностей третьего и четвёртого порядка. Классификация кривых третьего порядка была дана Ньютоном. В 19 в. А г. постепенно от изучения специальных свойств кривых и поверхностей низших порядков переходит к постановке общих проблем, относящихся к любым алгебраическим многообразиям. Систематическое построение общей А. г. было дапо в работах М. Нётера и ряда других учёных в конце 19 и в 20 вв. В 20 веке существенным прогрессом А. г. является применение в ней топологических и современных алгебраических методов. Из советских авторов крупные достижения в А. г. имеют Н. Г. Чеботарёв и И. Г. Петровский. В А.г. обычно исходят из представлений проективной геометрии комплексного пространства, т. е. включают в рассмотрение как бесконечно удалённые точки, так и точки с комплексными координатами. Наиболее разработанной остаётся алгебраич. геометрия плоских кривых. С проективной точки ярения все невырожденные кривые второго порядка (конические сечения) уст. роены одинаково: они могут быть отображены одна на другую взаимно однозначным проективным преобразованием. Невырожденная плоская кривая третьего порядка может быть всегда превращена в кривую имеющую в декартовых координатах одно из следующих уравнений: I х3-,-у3=Зху (рис, 1. декартов лист), II у'—ха (рис. 2. полукубическая парабола). III y- = kx'—х—а (рис. За а = 0; рис 36, а -0.2). В первом случае кривая имеет обыкновенную двойную точку, во втором — точку возврата (к-рая в А. г. считается специальным случаем двойной точки). Кривые типов I и II уникурсальны, т. е. могут быть заданы параметрически при помощи рациональных выражений. Кривые типа III такого представления не допускают, т. е. не являются уникуроальными. Две плоские алгебраические кривые называются 0 и р я-ц и о н а л ь н о- з к в и в а л е н т и ы м и, если координаты каждой точки одной из кривых могут быть выражены рационально черев координаты точки другой кривой (т. е. при помощи рациональных функций зтих координат), и обратно. Важнейшим достижением теории ило-еких алгебраических кривых является полная классификация всех этих кривых с точностью до бирациопальиой эквивалентности. Основным числом, связанным с плоской алгебраической кривой, является её р о л р. Он определяется формулой: p=(m-lHm-2)_d[ вде т — порядок кривой, ad — число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое положительное число или 0. Главным свойством его является то, что он один и тот же для двух Оирадионально-эквивалентных кривых. Для каждой кривой рода, большего 1, существуют Зр—3 параметра (являющихся, вообще говоря, комплексными числами), к-рые однозначно определяют кривую с точностью до бирациоиальной эквивалентности. Кривые рода нуль би-раииопалыю-эквиваленгпы прямым, т. е. унпкурсальпы. Таковы все кривые второго порядка и кривые третьего порядка типов I и II. Кривые третьего порядка типа III могут служить примером кривых рода р= 1. Лит.: Чеботарёв II. Г., Теория алгебраических функций. М.—Л., 1948 (гл. 7, там ше — указатель лит-ры); В а н - д е р - В а р д е н Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем.. ч. 1—2, 2 изд., М.—Л., 1947; Лефшец С, Алгебраическая геометрия, и Зарисекий О., Линейные и непрерывные системы кривых на алгебраической поверхности, в кн.: Успехи математических наук, вып. 3. М. - Л., 1937; V a n (I с г W а е г d е и В. I... EIhIQIi-rung in die algenralsche Geometrie, В., 1939; Weil A., Foundations of algebraic geomelry, N. Y., 1946. |
Loading
|