Центральный Дом Знаний - Алгебраическая функция

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Я учусь (закончил(-а) в
Всего ответов: 2689

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

называются рациональными, а прочие А. ф. — иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y5 + 3ух4 + x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная xa (если a — иррациональное число), показательная ах, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Ро(х, у, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + … +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1)

где Р0, Р1, ..., Pn — какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой — целой рациональной функцией — является многочлен (если P0 = const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948.


Алгебраическая функция — функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения.

Более точное определение:

Функция \,\!F(x_1, x_2, \ldots, x_n) называется алгебраической в точке \,\!A=(a_1, a_2, \ldots, a_n), если существует окрестность точки \,\!A, в которой верно тождество

\,\!P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.

где \,\!P есть многочлен от n + 1 переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F(x) = \sqrt{1-x^2} является алгебраической на интервале ( − 1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

\,\!F^2 + x^2 = 1.

Существует аналитическое продолжение функции F(x) = \sqrt{1-x^2} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ − 1,1] или с двумя вырезанными лучами (-\infty, -1] и [1,\infty). В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Loading

Календарь

«  Март 2024  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24