Алгебраически замкнутое поле

Алгебраически замкнутое поле, поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над  имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства:

• В А.з.п.  каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень 1. См. также теорема Безу.

• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.

• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.