Алгоритм Борувки

Алгоритм Борувки, алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком,Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным ученым из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе попараллельным вычислениям. 

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

В псевдокоде, алгоритм можно описать так:

1. Изначально, пусть T — пустое множество ребер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).

2. Пока T не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в T меньше, чем V − 1, где V — число вершин в графе):

   • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами T, найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другойкомпонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).

   • Добавим все найденные рёбра в множество T.

3. Полученное множество рёбер T является минимальным остовным деревом входного графа. 

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более O(log V) итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью O(E), поэтому общее время работы алгоритмы составляет O(Elog V) времени (здесь V и E — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до O(E). Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.