Алгоритм Брона — Кербоша

Алгоритм Брона — Кербоша, метод ветвей и границ для поиска всех клик (а также максимальных по включению независимых множеств вершин) неориентированного графа. Разработанголландскими математиками Броном и Кербошем в 1973 году и до сих пор является одним из самых эффективных алгоритмов поиска клик. 

А.Б.-К. использует тот факт, что всякая клика в графе является его максимальным по включению полным подграфом. Начиная с одиночной вершины (образующей полный подграф), алгоритм на каждом шаге пытается увеличить уже построенный полный подграф, добавляя в него вершины из множества кандидатов. Высокая скорость обеспечивается отсечением при переборе вариантов, которые заведомо не приведут к построению клики, для чего используется дополнительное множество, в которое помещаются вершины, которые уже были использованы для увеличения полного подграфа.

А.Б.-К. оперирует тремя множествами вершин графа:

1. Множество compsub — множество, содержащее на каждом шаге рекурсии полный подграф для данного шага. Строится рекурсивно.

2. Множество candidates — множество вершин, которые могут увеличить compsub

3. Множество not — множество вершин, которые уже использовались для расширения compsub на предыдущих шагах алгоритма.

Алгоритм является рекурсивной процедурой, применяемой к этим трем множествам.

ПРОЦЕДУРА extend (candidates, not):

ПОКА candidates НЕ пусто И not НЕ содержит вершины, СОЕДИНЕННОЙ СО ВСЕМИ вершинами из candidates,

ВЫПОЛНЯТЬ:

1 Выбираем вершину v из candidates и добавляем ее в compsub

2 Формируем new_candidates и new_not, удаляя из candidates и not вершины, не СОЕДИНЕННЫЕ с v

3 ЕСЛИ new_candidates и new_not пусты

4 ТО compsub – клика

5 ИНАЧЕ рекурсивно вызываем extend (new_candidates, new_not)

6 Удаляем v из compsub и candidates и помещаем в not 

Нетрудно видеть, что задача о клике и задача о независимом множестве по сути эквивалентны: каждая из них получается из другой, путем построения дополнения графа — такого графа, в котором есть все вершины исходного графа, причем в дополнении графа вершины соединены ребром тогда и только тогда, если они не были соединены в исходном графе.

Поэтому А.Б.-К. можно использовать для нахождения максимальных по включению независимых множеств вершин, если построить дополнение к исходному графу, либо изменив условие в основном цикле (условие остановки) и формирование новых множеств new_candidates и new_not:

1. Условие в основном цикле: not не должно содержать ни одной вершины, НЕ СОЕДИНЕННОЙ НИ С ОДНОЙ из вершин во множестве candidates

2. Для формирования new_candidates и new_not, необходимо удалять из candidates и not вершины, СОЕДИНЕННЫЕ с выбранной вершиной. 

Линейна относительно количества клик в графе, где

• n — количество вершин

• m — количество ребер

• μ — количество клик

Tomita, Tanaka и Haruhisa в 2006 показали, что в худшем случае алгоритм работает за O(3n/3)