Содержание

стр

Введение…………………………………………………………………………… 3

Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»

1.1. Теорема Чевы…………………………………………………………………… 6

1.2. Теорема Чевы в форме синусов……………………………………………......10

1.3. Теорема Менелая……………………………………………………………......10

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы

в школьном курсе математики

2.1. Методика обучения решению задач в период

предпрофильной подготовки…………………………………………………..14

2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»

в курсе геометрии 10 класса……………………………………………………36

2.3. Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач……………………………………………………….41

Заключение …………………………………………………………………………46

Литература………………………………………………………………………......47

Приложение................................................................................................................49

Введение.

Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт[21,с.222]. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.

Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Они не входят в школьный курс математики основной школы, включены в программу профильного курса изучения геометрии в 10 классе. При этом обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

С темой «Теорема Менелая и теорема Чевы» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 10 класса профильного уровня, причем из 17 часов, отведенных на изучение главы «Геометрия на плоскости», ей уделяется всего 2 часа. Понятно, что за такое время можно лишь ознакомиться с теоремами и рассмотреть их применение к простейшим задачам. Для формирования умений различать этот тип задач, решать их нужно время и соответствующая система упражнений. Не удивительно, что учащиеся быстро забывают факты, связанные с этими утверждениями.

Все это наводит на мысль о том, что полезно начинать знакомить учащихся с подобными теоремами и задачами намного раньше - еще в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Очевидно, в рамках уроков это сделать не удастся из-за той же нехватки времени. Здесь смогут помочь элективные курсы, факультативные занятия, математические кружки.

Данная работа написана на основе практических занятий с учащимися выпускных классов: в девятых классах (2004-2006 г.г.) - в рамках факультатива с учениками, проявляющими повышенный интерес к предмету; в 11 классе (2001-2005 г.г.) – в ходе довузовской подготовки, а также в 10 классе (2006 г.) - в соответствии с программой класса естественнонаучного профиля.

Многие из разобранных задач предлагались на подготовительных курсах, вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, ННГУ. Часть задач взята из сборников, указанных в списке литературы. Представленный в работе материал начал изучаться в 2000 году; после выступления на районном семинаре учителей- математиков в 2003 году разработками начали пользоваться и коллеги.

Основные цели работы:

- анализ учебной и методической литературы по изучаемой теме;

- изучение опыта учителей, работающих в этом направлении;

- анализ и обобщение личного опыта, выдача практических рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при решении данной проблемы.

В главе I «Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»» рассматриваются теоретические вопросы, причем более углубленно, чем предусмотрено «Программой для классов с углубленным изучением математики». Это позволяет варьировать, дозировать изучение материала в зависимости от степени подготовленности класса.

В главе II «Методические рекомендации к изучению темы «Теоремы Менелая и Чевы» в школьном курсе математики» предложена модель обучения решению задач на пропорциональное деление отрезков. Известно, что их можно решать разными способами: методом подобия, методом площадей, с помощью геометрии масс или векторным методом. В работе же представлен еще один, довольно простой метод решения - с использованием теорем Менелая и Чевы.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы предлагается провести в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, познакомить учащихся с теоремами и сформировать умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассмотреть соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показать, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач.

Предложенная система упражнений удовлетворяет следующим требованиям:

1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования- задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;

2) среди упражнений достаточное число дидактических, то есть одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемого материала, направленных на формирование умений;

3) включены комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики;

4) в систему задач входят и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума: задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;

5) задачи рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, что обеспечивает соблюдение принципа посильных трудностей.[7, с.203-204]