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Ehlotzky F. Quantenmechanik und ihre Anwendungen

Ehlotzky F. 

Inhaltsverzeichnis
1 Historische Einleitung.................................... 1
1.1 Die Plancksche Quantenhypothese (1900).................. 1
1.1.1 Die Photonenhypothese Einsteins (1904) ............ 2
1.1.2 Der Compton Effekt (1923)........................ 3
1.2 Das Bohr-Sommerfeldsche Atommodell (1913-1916)......... 4
1.2.1 Die Quantisierungsbedingungen.................... 4
1.2.2 Das Korrespondenzprinzip (1923) .................. 6
1.3 Die Welleneigenschaften der Materie (1924-1926)........... 7
1.3.1 Die de Brogliesche Hypothese (1924)................ 7
1.3.2 Die Wellengleichung (1925-1926)................... 7
1.4 Die Unscharferelation und die Interpretation von ф
(1926-1927) ........................................... 9
1.4.1 Die Unschaarferelation (Heisenberg 1927) ............. 9
1.4.2 ZerflieBen eines Wellenpaketes (Heisenberg 1927)..... 11
1.4.3 Der Messprozess ................................. 12
1.4.4 Interpretation der ф-Funktion (Max Born 1926-1927) . 14 Ua bungsaufgaben ............................................ 15
2 Grundlegende Theoreme und Axiome der Quantenmechanik ........................................ 19
2.1 Vorbemerkung......................................... 19
2.2 Die Schrodinger Gleichung............................... 19
2.2.1 Grundlegende Annahmen.......................... 19
2.2.2 ErhaltungderWahrscheinlichkeit................... 21
2.2.3 DieWahrscheinlichkeitsstromdichte................. 23
2.2.4 Erwartungswerte................................. 23
2.2.5 Hermitesche Operatoren........................... 25
2.2.6 Zeitliche AanderungderErwartungswerte ............ 25
2.2.7 Das Ehrenfestsche Theorem (1927) ................. 26
2.2.8 Die Impuls-Wellenfunktionen ...................... 27
2.3 Die zeitunabhaangige Schraodinger Gleichung ................ 29
2.3.1 HerleitungderGleichung.......................... 29
2.3.2 Orthogonalitaat der Zustandsfunktionen.............. 29
2.3.3 Die Bedeutung des Separationsparameters E......... 30
2.3.4 Mathematische Eigenschaften
der Energie-Eigenfunktionen ....................... 31
2.3.5 DerkomplexwertigeFunktionenraum ............... 32
2.4   Grundlegende Postulate der Quantenmechanik ............. 33
2.4.1 FormulierungderPostulate........................ 33
2.4.2 VertraaglichkeitzweierMessungen................... 35
2.4.3 Das Unschaarfeprinzip ............................. 36
2.4.4 Das Wellenpaket minimaler Unschaarfe............... 37
2.4.5 Interpretation der Energie-Zeit Unschaarferelation..... 39
Ua bungsaufgaben ............................................ 40
3    Einige LOsungen der SchrOdinger Gleichung .............. 43
3.1 Einleitende Bemerkungen................................ 43
3.2 Allgemeine Bedingungen ................................ 43
3.2.1 DieZeitumkehr .................................. 43
3.2.2 Die Paritat (Spiegelungssymmetrie)................. 44
3.3 Einfache ein- und dreidimensionale Probleme .............. 45
3.3.1 Teilchen im Potentialkasten........................ 45
3.3.2 VerallgemeinerungaufdreiDimensionen............. 47
3.3.3 Teilchenreflexion und Transmission
an einer Potentialstufe ............................ 48
3.3.4 Die Eigenfunktionen des Impulsoperators ............ 52
3.4 Der harmonische Oszillator .............................. 54
3.4.1 DieEnergieEigenwerte ........................... 55
3.4.2 Die Eigenfunktionen des Oszillators................. 58
3.4.3 Die Normierung der Eigenfunktionen ............... 59
3.4.4 Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ........ 62
3.4.5 QuantisierungdesStrahlungsfeldes ................. 63
3.5 Die Schroadinger Gleichung im kugelsymmetrischen Potential . 67
3.5.1 Voraussetzungen ................................. 67
3.5.2 Separation der Schroadinger Gleichung
in Kugelkoordinaten .............................. 67
3.5.3 Die Kugelflachenfunktionen........................ 68
3.5.4 Die Paritat der Kugelflachenfunktionen ............. 71
3.5.5 Die Drehimpulsoperatoren und ihre Eigenfunktionen . . 71
3.5.6 Die Unschaarferelationen des Bahndrehimpulses ....... 74
3.6 Das Wasserstoff Atom................................... 75
3.6.1 Die SchraodingerGleichung......................... 75
3.6.2 Separation in Schwerpunkts-und Relativkoordinaten. . 76
3.6.3 Losung der radialen Schrodinger Gleichung
des H-Atoms..................................... 76
3.6.4 Das asymptotische Verhalten der Laosungen .......... 77
3.6.5 DieEnergieEigenwerte ........................... 78
3.6.6 Die Laguerreschen Polynome....................... 80
3.6.7 Diskussion der Eigenfunktionen und Eigenwerte ...... 81
3.6.8 DieQuantendefekt-Methode ....................... 84
Ua bungsaufgaben ............................................ 86
4 Quantenmechanik in Matrixgestalt (1925-1926) .......... 91
4.1 Grundlegende Eigenschaften von Matrizen ................. 91
4.1.1 Matrix Multiplikation und Inversion ................ 91
4.1.2 Transformation einer quadratischen Matrix.......... 93
4.1.3 Diagonalisierung einer Matrix ...................... 93
4.2 Darstellung von Operatoren durch Matrizen ............... 94
4.2.1 Transformation der Darstellung eines Operators ...... 96
4.2.2 Herleitung der Eigenfunktionen und Eigenwerte ...... 97
4.3 Darstellungen oder „Bilder" ............................. 99
4.3.1 Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen.......... 99
4.3.2 KonstantenderBewegung......................... 101
4.3.3 Heisenberg Bild und SchraodingerBild............... 101
4.3.4 Die Diracsche Bezeichnungsweise ................... 102
Ua bungsaufgaben ............................................ 103
5 Algebraische Theorie des Drehimpulses...................107
5.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Drehimpulses.......... 107
5.1.1 Der Bahndrehimpuls.............................. 107
5.1.2 DerGesamtdrehimpuls............................ 108
5.1.3 Matrixdarstellungen .............................. 112
5.2 DerSpin .............................................. 114
5.2.1 Die Eigenfunktionen .............................. 114
5.2.2 Projektion des Spins..............................116
5.3 Die Kopplung zweier Drehimpulse ........................ 118
5.3.1 ZusammensetzungzweierSpins .................... 119
5.3.2 Allgemeiner Fall der Kopplung zweier Drehimpulse . . . 120
5.4 Das magnetische Moment der Atome...................... 126
Ua bungsaufgaben ............................................ 130
6Naherungsverfahren......................................133
6.1 Einleitende Ua bersicht ................................... 133
6.2 Zeitunabhaangige Staorungstheorie ......................... 134
6.2.1 Dernicht-entarteteFall ........................... 134
6.2.2 DerentarteteFall ................................ 138
6.3 DieSpin-BahnWechselwirkung .......................... 140
6.4 Der Zeeman Effekt .....................................144
6.4.1 Der normale Zeeman Effekt........................ 144
6.4.2 Der anomale Zeeman Effekt ....................... 146
6.5 DieVariationsmethode.................................. 147
6.5.1   Ein elementares Beispiel........................... 148
6.6 Die zeitabhaangige Staorungstheorie ........................ 149
6.6.1   EinleitendeBemerkungen.......................... 149
6.6.2 Uabergangswahrscheinlichkeiten..................... 150
6.6.3 Anregung eines Atoms durch ein a-Teilchen .........153
6.6.4 Uabergaange in ein Kontinuum von Zustaanden......... 156
6.6.5 Uabergaange durch eine zeitlich periodische Staorung.... 160
6.6.6 Uabergaange infolge einer zeitunabhaangigen Staorung.... 164
6.7   Spinpraazession und magnetische Resonanz ................. 166
Ua bungsaufgaben ............................................ 171
7 Wechselwirkung von Strahlung und Materie..............177
7.1 Einleitung............................................. 177
7.2 Einstein's Theorie der Emission und Absorption (1917)......178
7.3 Berechnung der A und B Koeffizienten....................180
7.3.1 ElementareTheoriederAbsorption................. 180
7.3.2 Spontane Emission nach Dirac (1927) ............... 184
7.4 Dipol-Auswahlregeln.................................... 189
Ua bungsaufgaben ............................................ 192
8 Systeme mehrerer Teilchen...............................195
8.1 Vorbemerkungen ....................................... 195
8.2 Die SchraodingerGleichungeinesTeilchensystems ........... 195
8.2.1 Systeme unabhaangigerTeilchen .................... 197
8.2.2 Das Zwei-Teilchen Problem........................199
8.3 Systeme identischer Teilchen ............................. 203
8.3.1 DieAustauschsymmetrie .......................... 203
8.3.2 Symmetrische und antisymmetrische Zustandsfunktionen ............................... 205
8.4 DasZwei-ElektronenProblem............................ 209
8.4.1 Das Heliumatom ................................. 210
8.4.2 Die homopolare Molekualbindung ................... 218
8.5 Die spektroskopische Notation ........................... 220
Ua bungsaufgaben ............................................ 221
9 Streuprozesse.............................................223
9.1 Historisches............................................ 223
9.2 Die klassische Streutheorie............................... 223
9.2.1 Der Streuquerschnitt..............................223
9.2.2 Lord Rutherford's Streuformel (1911) ............... 225
9.3 Quantentheorie der Streuprozesse ......................... 227
9.3.1 Die stationaare Quantentheorie der Streuung ......... 227
9.3.2 Schwerpunkts- und Laborkoordinaten ............... 230
9.3.3 Die Coulomb-Streuung (N.F. Mott 1928) ............ 234
9.4 Die Bornsche Staorungsreihe.............................. 238
9.4.1 Anwendungsbereich............................... 239
9.4.2 DieIntegralgleichungderStreutheorie............... 240
9.4.3 Die erste Bornsche Naaherung ...................... 243
9.4.4   Gualtigkeitsbereich der Bornschen Naaherung.......... 245
9.5 Die Methode der Partialwellen ........................... 247
9.5.1 HerleitungderStreuamplitude ..................... 247
9.5.2 Physikalische Interpretation........................ 253
9.5.3 DerStreuquerschnitt.............................. 253
9.5.4 Streuresonanzen.................................. 255
9.5.5 DasoptischeTheorem ............................ 256
9.5.6 Partialwellenzerlegung und Bornsche Naaherung....... 256
9.6 Streuung zwischen identischen Teilchen
(N.F. Mott und J. Chadwick 1930) ....................... 258
9.6.1 Streuung von a-Teilchen ..........................259
9.6.2 Streuung von Protonen............................ 261
Ua bungsaufgaben ............................................ 262
10   Quantenstatistik..........................................267
10.1 Einleitung............................................. 267
10.2 Die Dichtematrix....................................... 268
10.3 Energie und Entropie ................................... 271
10.4 Quantenstatistik entarteter Systeme ...................... 273
10.4.1 Die Fermi-Dirac Statistik .......................... 274
10.4.2 Die Bose-Einstein Statistik ........................ 277
Ua bungsaufgaben ............................................ 279
A   Mathematische und physikalische Erganzungen...........281
A.1 Vektoranalysis ......................................... 281
A.2 Lineare Operatoren und orthogonale Funktionen ........... 284
A.2.1 Lineare Operatoren ............................... 284
A.2.2 Das Sturm-Liouville Problem......................285
A.2.3 Singularitaaten des Sturm-Liouvilleschen Problems .... 287
A.2.4 Fourier-Reihen und Fourier-Integral................. 288
A.3 Andere orthogonale Funktionensysteme ................... 291
A.3.1 Hermitesche Polynome und Funktionen ............. 291
A.3.2 Zugeordnete Laguerre Polynome ................... 291
A.3.3 Legendre Polynome............................... 292
A.3.4 Die Kugelflachenfunktionen........................294
A.3.5 Bessel-Funktionen................................294
A.4 DieGreenscheFunktion................................. 296
A.5 Matrixalgebra..........................................297
A.5.1 Vektoren im n-dimensionalen Raum ................ 297
A.5.2 Lineare Transformationen ......................... 298
A.5.3 Matrixdarstellungen .............................. 299
A.5.4 Rechenregeln und Matrixtypen..................... 300
A.5.5 AbschlieBende Bemerkungen.......................301
A.6 ZurMechanikundElektrodynamik ....................... 302
A.6.1  Die klassischen Bewegungsgleichungen .............. 302
A.6.2 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld...... 304
A.6.3 Die Dipolnaaherung ............................... 306
A.6.4 Die Poissonschen Klammern ....................... 306
A.6.5 Zur statistischen Mechanik ........................ 307
B    Physikalische Konstanten — Umrechnungsfaktoren........309
Ergttnzende und weiterftthrende Literatur ....................311
Sachverzeichnis...............................................313
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