Контрольная работа по дисциплине Математический анализ и линейная алгебра

Скачать работу

1) Найти неопределённый интеграл:

х²dx

∫ √x³+1 .

Решение:

Пусть х³+1 = t; dt = d(x³+1) = (x³+1)'dx = 2x²dx; x²dx = ½dt

х²dx dt t־ + 1 6 √t

∫ √x³ + 1 = ½ ∫ * √t = ½ * -1/6 + 1 = 10 + c = 3/5 √t

произведём обратную замену, в результате получим: 3/5 * √(x³ + 1) + c

х²dx

Ответ: ∫ √x³+1 = 3/5 * √(х³ + 1) + с.

2) Найти определённые интегралы:

ln 3 e dx

∫ e² - 1 .

ln 2

Решение:

Воспользуемся заменой переменной:

dt

Пусть e = t x = ln t и dx = t ;

Найдём пределы интегрирования:

если x = ln 2, то t = 2;

если x = ln 3, то t = 3.

Получим:

3 t dt 3 (t – 1) + 1 * dt 3 1 3 dt

∫ t² - 1 = ∫ (t – 1) * (t + 1) = ∫ t + 1 + ∫ t² - 1 ;

2 2 2 2

3 3

t – 1

arctg √t +½ ln t + 1 = arctg √3 – arctg √2 + ½ (ln ½ - ln 1/3 ) =

2 2

= arctg √3 - arctg√2 + ½ (-0,69 – 1,1) = arctg √3 – arctg √2 – 0,9 = 0,03 – 0,02 –

- 0,9 ≈ - 0,89

Ответ:

ln 3 e dx

∫ e² - 1 ≈ - 0,89.

ln 2

e ln x * dx

3) ∫ √x .

Решение:

e

∫ = ln x * xˉ dx;

1

Произведём замену:

xˉ dx = dv (1)

lnx = u; du = 1/x * dx; из (1) v;

v = ∫ dv = ∫ xˉ dx = 5/4 x ;

Применяя формулу интегрирования по частям получим:

e e e e ln x * dx e

∫ udv = uv | - ∫ vdu ∫ √x = ln x * 5/4 √x | -

1 1 1 1 1

e e

- 5/4 ∫ √x * 1/х * dx = 5/4 * (ln ℮ * √℮ - ln 1 * √1 ) – 5/4 * 5/4 x | =

1 1

= 5/4 * ( √℮ - 5/4 * ( √℮ - 1) ) = 5/4 * (2,23 – 5/4 * (2,23 – 1) ) ≈ 0,87.

Ответ:

e ln x * dx

∫ √x ≈ 0,87.

1

4) Решить дифференциальное уравнение:

xdy – ydx = √y² - 9x²dx.

Решение:

Делим обе части на dx:

y

xy' – y = dx - 9x² /x

y y

y' - x - xdx = -9x (1)

Пусть y = uv, т.е. y' = uv' + u'v, тогда уравнение (1) примет вид:

u'v + uv' – uv * (1/x + 1/xdx) = -9x (2)

Преобразуем:

u'v + u * (v' – v * (1/x + 1/xdx)) = -9x (3)

Положим:

dv v' – v * (1/x + 1/xdx) = 0 или dx = v * (1/x + 1/xdx);

dv

v = dx * 1/x + 1/x;

Интегрируем:

dv dx

∫ v = ∫ x + ∫ 1/x * dx = ln |x| + ln |x|;

dt

Пусть x = t, тогда dt = d(x)' = 1 1/x = t и

dt

∫ t = ln |t| ∫ 1/x = ln |x| или ln |v| = ln x²;

Найдём какое-либо решение полученного уравнения, например, при С = 0

ln |v| = ln x² или v = x²

du -9x

при v = x² b(3) x² * u' = -9x dx = x² = -9/x;

du = -9/x * dx;

dx

∫du = -9 ∫ x ;

u = -9 ln |x| + C;

y = uv = (-9 ln |x| + C) * x² = -9 ln |x| * x² + x²C;

y = x² ln xˉ + x²C = x² ln |1/x | + x²C.

Ответ: y = x² ln |1/x | + x²C.

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 3 + 2x - x², y = x + 1, х = 0.

8

Решение:

Координаты вершины параболы:

-2

x0 = - B/2a = 2*(-1) = 1;

4AC - B² 4 * (-1) * 3 - 4

y0 = 4A = 4 * (-1) = 4;

Строим графики заданных функций.

Координаты точек для y = x + 1<......>

6) Опытные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:

xi	7	8	9	10	11
yi	2,5	2,2	2,0	1,8	1,7

В результате их выравнивания дробнолинейной функцией получено

х + 3

уравнение у = х – 3 . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у = ax + b (найти параметры a и b). Установить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.<......>