Центральный Дом Знаний - Арифметическая прогрессия

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Как Вы планируете отдохнуть летом?
Всего ответов: 903

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия, последовательность чисел (a1, a2, ..., an), из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (например, 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d > 0, то А. п. называется возрастающей, если d < 0, — убывающей. Общий член А. п. выражается формулой an = a1 + d (n - 1); сумма первых n членов Sn = 1/2(a1 + an)n.


АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ (а р и ф м е т и ч е с к и й ряд 1-го порядка) — ряд чисел, в к-ром каждый член получается из преды­дущего путём прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой А. п. Таким образом, каждая А. п. имеет вид: a, a+d, a + 2d, a-\-Zd, ... Если d>0, то каждый член А. п. больше предыдущего; она называется в этом случае воз­растающей. Если d<~0, то каждый член меньше предыдущего; А. п. называется в этом слу­чае убывающе й. Ясно, что n-ный член А. п. a«=a + (rc—1 )d. Простейшей А. п. является нату­ральный ряд чисел 1, 2, 3 п,... А. п. может со­держать ограниченное или неограниченное число членов. Если А. п. содержит п членов, то можно определить её сумму, подписав под её членами в обратном порядке те же члены и складывая обе А. п. почленно. Напр.:

0, 3, 6, 9, 12, 15 15, 12, 9, 6, 3, 0

15+15+15+15+ 15+ 15-- 15-6 Сумма дайной А. п. равна —. Таким же образом в каждой А. п. сумма п членов есть число

о («i4 (1„)п


Арифмети́ческая прогре́ссия, числовая последовательность вида

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага илиразности прогрессии):

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d \quad \forall n \ge 1

Примеры

  • 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3

  • 1, −1, −3, −5, −7  — арифметическая прогрессия с шагом −2

  • \pi, \pi, \pi, \pi — арифметическая прогрессия с шагом 0

Свойства

  1. Любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
        a_n={a_{n-1}+a_{n+1} \over 2} \quad \forall n \ge 2.

    • Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.

    • Доказательство:

      \Rightarrow : \forall n > 1 \quad a_n = a_1 + (n - 1)d = \frac{2\cdot (a_1 + (n - 1)d)}{2} = \frac{2a_1 + 2dn - 2d}{2} = \frac{a_1 + (n-2)d + a_1 + nd}{2} = \frac{a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}

      \Leftarrow :\  аналогично

  2. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

    S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n

    • Доказательство:

      • Через сумму:

        \sum_{i=1}^na_i = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i - 1)) = \sum_{i=1}^n(a_1 + dn - di) =

         = \sum_{i=1}^n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) \quad \Rightarrow

        \Rightarrow \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n\frac{2a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_n}{2}

      • По индукции:

        n = 1 :\quad S_1 = \sum_{i=1}^1(a_1+d\cdot 0) = a_1 = 1\cdot \frac{a_1+a_1}{2}

        n \rightarrow n+1 :\quad S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}(a_1+d(i-1)) = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1))+(a_1+dn)=

        =S_n+(a_1+dn) = n\frac{a_1 + a_n}{2}+(a_1+dn) = \frac{na_1 + na_1+n^2d-nd+2a_1+2dn}{2}=

        =(n+1)\frac{2a_1+dn}{2}=(n+1)\frac{a_1 + a_{n+1}}{2}

  3. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

    S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n

  4. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

    S_n = \sum_{i=1}^n i = 1+2+3+4+5+...+n = {n(n+1) \over 2}

  5. Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией 2-го порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36...,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11...

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Loading

Календарь

«  Июнь 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24