Центральный Дом Знаний - Аффинные преобразования

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Как Вы планируете отдохнуть летом?
Всего ответов: 905

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Аффинные преобразования

Аффинные преобразования, точечные взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат х и у точек этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х' = ах + bу + р, y' = cx + dy + q с дополнительным требованием


Аналогично, любое А. пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А. п. эквивалентно некоторому одному А. п.

Примерами А. п. могут служить ортогональное прообразование (это преобразование представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразование подобия; равномерное «сжатие» (рис.). Равномерное «сжатие» с коэффициентом k плоскости p к расположенной на ней прямой а — преооразование, при котором точки а остаются на месте, а каждая не лежащая на а точка М плоскости p смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно а, в такую точку M', что отношение расстояний от М и М 'до а равно k; аналогично определяется равномерное «сжатие» пространства к плоскости. Всякое А. п. плоскости можно получить, выполнив некоторое ортогональное преобразование и последовательное «сжатие» к некоторым двум перпендикулярным прямым. Любое А. п. пространства можно осуществить посредством некоторого ортогонального преобразования и последовательных «сжатии» к некоторым трём взаимно перпендикулярным плоскостям. При А. п. параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства А. п. широко используются в различных разделах математики, механики и теоретической физики. Так, в геометрии А. п. применяются для т. н. аффинной классификации фигур. В механике А. п. пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении подвергаются А. п.

Лит.: Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 4 изд., М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М. , 1968; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.


АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ — точечные взаимно-однозначные отображения эвклидовой плоскости на эвклидиву плоскость или эвклидова пространства на самого себя, при к-рых прямые линии переходят в прямые. Точечным взаимно-одно­значным отображением плоскости  на плос­кость it' называется такое соответствие между их точками, при к-ром каждой точке М плоскости я поставлена в соответствие одна определённая точ­ка М' плоскости п' в качестве её «образа», и обратно— каждая точка М' плоскости г.' имеет один вполне определённый «прообраз» М на плоскости если при этом прямые переходят в прямые, то отображение называется аффинным. Из определения непосред­ственно вытекает, что параллельным (т. е. не пере­секающимся) прямым плоскости it соответствуют параллельные прямые на плоскости г/. Так как при А. п. пространства каждая плоскость аффинно преобразуется в плоскость (это предложение тре­бует доказательства, впрочем, несложного), то и в случае А. п. пространства параллельные прямые переходят в параллельные. 

Совокупность всех А. п. плоскости и самоё себя или пространства в самого себя образует группу. 

Простейшие А. п. плавкости: ортогональ­ное преобразован и о, при котором по изменяются расстояния между точками, т. е. происходит движение плоскости в себе как жёст­кого целого, или такое движение плюс отра­жение от прямой; преобразование подобия, при к-ром расстояния между всеми точками изме­няются в одно и то же число раз; равномерное «с ж а т и е» плоскости г. к пек-рой её прямой а с данным «коэфициешом сжатия» к — такое преоб­разование, при к-ром все точки прямой а остают­ся на месте, а всякая точка плоскости тг, не ле­жащая на этой прямой, остаётся с той же сторо­ны от неё и на том же к ней перпендикуляре,

перемещаясь по нему так, что новое её расстоя­ние до прямой а равно старому, помноженному на положительное число к (меньшее, равное или боль­шее, чем 1), одно и то же для всех точек плоскости я.

А. н. можно получать проектированием. При А. п. любая окружность преобразуется в некоторый эл­лине. Если одна из осей этого эллипса больше или равна, а другая меньше или равна диаметру пре­образуемой окружности, то А. п. можно полу­чить пек-рым параллельным проектированием плос­кости на другую,ей непараллельную. В частности, когда это проектирование ортогональное, получаем равномерное «сжатие» к прямой пересечения плоско­стей. Если обе оси эллипса длиннее или обе ко­роче диаметра окружности, то А. п. нельзя по­лучить никаким параллельным проектированием. Если окружность преобразуется снова в окруж­ность, то X. п. есть подобие и его можно получить центральным проектированием одной плоскости на другую, ей параллельную. Центральное проекти­рование в случае непараллельное и плоскостей даёт уже не А. п., а более общее проективное преоб­разование.

Loading

Календарь

«  Июль 2020  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24