Методические указания "Решение инженерных задач на топографических картах и планах” предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающихся по направлению «Строительство» при изучении дисциплины "Инженерная геодезия”.

Для выполнения задания студентам выдается ксерокопия части топографической карты масштаба 1:25 000 или1:10 000 с нанесенными преподавателем исходными данными. Все построения и измерения производятся на карте, а решения выполняются в рабочей тетради или на листах бумаги формата А4 и, при необходимости, дополняются графическими приложениями, которые вычерчиваются в соответствии с условными знаками и шрифтами.

Студенты должны иметь: измеритель, линейку, карандаши Т, ТМ, 2М, транспортир, резинку, чертежную и миллиметровую бумагу, гелевые ручки различных цветов, калькулятор для инженерных расчетов (с тригонометрическими функциями).

Выполненная работа представляется на проверку преподавателю в сроки, предусмотренные календарным планом учебных занятий. При положительной оценке студентом производится защита работы.

Часть задач помечены ссылкой для любознательных, это означает, что студент может пропустить их решение, но теоретическую часть изучить обязан.

1. Понятие карты и плана. Масштабы

Для создания топографического плана на заданный участок земной поверхности его ортогонально проецируют на горизонтальную плоскость и уменьшают в определенное число раз. Таким образом топографическим планом называют уменьшенное и подобное изображение на бумаге отдельных небольших участков земной поверхности. Совокупность предметов местности называют ситуацией, а совокупность различных неровностей земной поверхности – рельефом. План местности, составленный без изображения рельефа, называют контурным. Таким образом, план – это чертеж, состоящий из горизонтальных проложений отрезков местности, полученных ортогональным проецированием их на горизонтальную плоскость. Топографический план может быть издан или в бумажном варианте, или в электронном в виде математической модели местности.

Большие по размерам участки земной поверхности отобразить на плоскости невозможно без искажений, т.е., с сохранением полного подобия, в силу сферичности Земли. Такие участки сначала ортогонально проецируют на поверхность эллипсоида, а затем с поверхности эллипсоида по определенным математическим законам, называемым картографическими проекциями, переносят на плоскость. В результате получают карту. Следовательно, картой называют уменьшенное и закономерно искаженное изображение всей земли или отдельных частей ее поверхности на плоскости.

Степень уменьшения горизонтальных отрезков местности при перенесении их на бумагу называется масштабом плана (карты).

Масштабы бывают численные и графические. Численным масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующей горизонтальной проекции линии на местности, записанной в виде аликвотной дроби, т.е. дроби, числитель которой равен единице. Например, 1:5 000, 1:2 000, 1:25 000 и т.д.В общем случае 1 : N. Знаменатель этой дроби показывает во сколько раз уменьшены длины горизонтальных отрезков местности при изображении их на топографических планах, картах или профилях. На всех этих материалах подписывают численный масштаб. Зная численный масштаб можно от единиц измерения на карте или плане переходить к единицам измерения на местности и наоборот. Например, если на карте масштаба 1:5 000 длина отрезка равна 2 см, то на местности длина его горизонтального проложения составит D=d*N=2*5000=10000 см=100м. Существенное влияние на точность измерения отрезков по любому чертежу оказывают возможности зрительного восприятия графических элементов. Невооруженный глаз человека не способен на чертеже на расстоянии 20-25 см отличить точку от отрезка, если его длина меньше 0,1 мм. Данный отрезок называют точностью масштаба, т.е. точностью масштаба называют длину горизонтальной проекции линии местности соответствующую 0.1 мм на карте или плане. Для масштабов 1:500, 1:1 000, 1:10 000, 1:25 000 точность масштаба соответственно равна 0,05; 0,1; 1,0; 2,5 м.(.....)

В нашей стране топографические карты составляются в масштабах: 1:1 000 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000. Все эти карты строятся в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса и являются многолистными. По формату листы близки к квадратам с размерами сторон 40-50см.. Для того, чтобы каждый лист карты имел только одному ему принадлежащий номер, принята международная система нумерации, - номенклатура (рис.6).

В основу разграфки и номенклатуры топографических карт положена карта масштаба 1:1 000 000, которая образуется в результате деления земного шара параллелями на 4-х градусные ряды (начиная от экватора) и меридианами на 6-ти градусные колонны (начиная от Гринвича). Ряды обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а колонны – арабскими цифрами нумерацией с запада на восток, считая первой колонну с меридиана 180° от Гринвича (рис 6). Таким образом номенклатура листа карты масштаба 1:1 000 000 состоит из буквы ряда и номера колонны. Например:N-37,O-39 и т.д.

Каждый лист карты масштаба 1:1 000 000 делится меридианами и параллелями на 144 листа карты масштаба 1:100 000, обозначаемыми арабскими цифрами 1,2,3,4…,144, следующими за номенклатурой листа 1:1 000 000. Например: N-37-1,O-39-144 и т.д.(.....)

Лист карты масштаба 1:100 000 делится меридианами и параллелями на 4 листа А,Б,В,Г карты масштаба 1:50 000. Номенклатура листа карты этого масштаба состоит из номенклатуры карты масштаба 1:100 000 и присоединенной одной из 4-х букв русского алфавита N-37-1-А, O-39-144-Г и т. д.

Каждый из листов карт масштаба 1:50 000 делится на 4 листа, обозначаемых буквами а,б,в,г. Таким образом номенклатура карты масштаба 1:25 000 имеет вид: N-37-1-А-а, O-39-144-Г-б.

Разделив лист карты масштаба 1:25 000 меридианами и параллелями на 4 части и пронумеровав их 1,2,3,4, получим номенклатуру листа карты масштаба 1:10 000.

N-37-1-А-а-2, O-39-144-Г-б-3.

Задача 2.1. найти номенклатуру листа карты масштаба 1:10 000, на котором находится точка с географическими координатами B,L(для любознательных)

Порядок решения этой задачи рассмотрим на примере с исходными данными B=56°18´13´´ и L=43°53΄23΄΄

По схеме международной разграфки карты масштаба 1:1 000 000 (рис 6) имеем номенклатуру О-38 Выносим этот лист на отдельный рисунок 7. Разделив этот лист на 144 части ( 12 частей по широте и 12 частей по долготе) и пронумеровав их арабскими цифрами, находим номер листа карты масштаба 1: 100 000 в соответствии с заданными географическими координатами его номер равен 136. Следовательно, номенклатура искомого листа будет равна О-38-136.

Выносим этот лист на отдельный чертеж (рис 8) и после разделения его на 4 части, по географическим координатам находим номенклатуру листа карты масштаба 1:50000. Она равна О-38-136-Б. Аналогично получаем номенклатуру листа карты масштаба 1:25000, а затем и масштаба 1:10000 Она имеет вид О-38-136-Б-б-1.(......)

3. Условные топографические знаки

Местные предметы на топографических картах и планах изображаются условными знаками. Они подразделяются на масштабные, внемасштабные, линейные, пояснительные и специальные.

Масштабные условные знаки применяют для заполнения контуров природных, сельскохозяйственных угодий. Они состоят из знака границы угодий, - точечный пунктир или тонкая сплошная линия и заполняющих его изображений или условной окраской.

Внемасштабные условные знаки служат для изображения объектов, размеры которых не изображаются в масштабе карты (мосты, километровые столбы, колодцы, геодезические пункты, квартальные столбы и т.д.) Они, как правило, определяют местоположения объектов, но по ним нельзя судить об их размерах.

Линейные условные знаки показывают объекты, протяженность которых значительно больше их ширины (дороги, реки, линии связи и электропередач, просеки в лесу и т.д.) Их длина выражается в данном масштабе. У этих знаков приводятся различные характеристики в метрах: ширина проезжей части и всей дороги, высота насыпи и глубина выемки, материал покрытия и т.д.

Пояснительные условные знаки представляют собой подписи, дающие характеристики и названия объектов, например, глубина и скорость течения рек, грузоподъемность и ширину мостов, названия пород деревьев и т.д.

Специальные условные знаки устанавливают соответствующие ведомства отраслей народного хозяйства. Их применяют для составления специальных карт и планов этой для отрасли (лесоустроительных, землеустроительных, дорожной сети, геологических и т.д.).

Условные знаки дают ясное и наглядное представление о местности. Хорошие знания их позволяет легко представить изображаемую на карте местность.

Задача 3.1. Изучить условные знаки топографических планов масштабов 1:1000 и 1:500 по книге[4]. Вычертить условные знаки, номера которых оканчиваются на Ваш номер в журнале преподавателя[4] .Сделать описание местности, изображенной на ксерокопии Вашей топографической карты.

4.Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера

При картографировании значительных частей земной поверхности с целью перехода от сферы к плоскости применяют различные картографические проекции. Дело в том, что сферическую поверхность развернуть в плоскость без разрывов невозможно. Поэтому любая картографическая проекция имеет искажения. Их величина зависит от вида проекции. Так в равноугольных проекциях сохраняется подобие углов, но искажаются длины линий; в равновеликих не искажаются площади, в равнопромежуточных – не искажаются длины линий по какому-либо направлению (по меридиану, параллели) и т.д.

Для целей крупномасштабного картографирования, то есть для составления топографических карт, применяют равноугольную поперечно-цилиндрическую проекцию Гаусса-Крюгера. В этой проекции сохраняются подобие изображения фигур при переходе с эллипсоида на плоскость, а искажение длин линий не выходит за пределы графической точности.

Геометрический смысл этой проекции заключается в следующем. Поверхность сферы разбивают меридианами через 6 градусов на зоны, каждая из которых отдельно проецируется на боковую поверхность цилиндра (рис 9). Разрезав цилиндр по образующей, проходящей через земные полюса, получают изображение сферической поверхности на плоскости (рис 10).

На полученном изображении осевой меридиан зоны (меридиан касания зоны и цилиндра) и экватор ,- взаимно перпендикулярные прямые линии, а остальные меридианы и параллели – кривые. Искажения размеров длин линий в близи осевого меридиана минимальные и возрастают по мере удаления к краям. Линия на поверхности шара длиной D при изображении ее на плоскости получит искажение ∆D, которое можно вычислить по формуле:

∆D=Y²mD/2R², (3)

где Ym=(Y1+Y2)/2 – среднее значение из ординат начальной и конечной точек линии;

R – радиус Земли.(......)

Зоны нумеруются арабскими цифрами с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Для удобства измерения прямоугольных координат на карте проводят сетку, состоящую из прямых линий, параллельных осевому меридиану и экватору, которая называется координатной. Расстояние между смежными линиями сетки для масштабов карт 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000 составляет 1 км на местности. У западной и восточной рамок карты подписывают абсциссы, а у северной и южной - ординаты координатной сетки. Они позволяют легко определить прямоугольные координаты любой точки, изображенной на карте.

Для территории нашей страны расположенной в северном полушарии, абсциссы всегда положительны и их величина соответствует расстоянию от экватора до данной линии. Для того, чтобы и ординаты были всегда положительными, их начало смещают на запад на 500 км.

Задача 4.1. определить прямоугольные координаты вершин треугольника.

Для решения задачи каждому студенту необходимо иметь ксерокопию карты, на которой преподаватель наносит вершины треугольника АВС. Прежде чем приступить к решению задачи необходимо определить масштаб карты и разобраться с оцифровкой сетки координат. Затем выделить квадрат километровой сетки, в которой находится вершина треугольника и выписать координаты его юго-западного угла. На рис. 11 для точки А Х=6068 км, Y=4312 км ( напоминаем, что первая цифра у ординаты означает номер зоны, в которой находится данная карта).(......)

Из точки А опускают перпендикуляры на стороны квадрата километровой сетки. С помощью измерителя и масштабной линейки определяют длины перпендикуляров относительно южной и западной стороны квадрата. То есть измеряют приращения координат. Тогда значения координат точки А будут равны:

XA=Xю.з.+ ∆XA (4)

YA=Yю.з..+ ∆YA (5)

Недостатком изложенного способа является его бесконтрольность. Здесь любая грубая ошибка в измерении остается незамеченной. Поэтому на практике измеряют не только отрезки ∆ХА и ∆YA, но и продолжения их до северной и восточной сторон километровой сетки, т.е., ∆ХА´ и ∆YA´. Очевидно, что при отсутствии погрешностей в измерениях должны выполнятся условия:

∆XA +∆ХА´=D (6)

∆YA+∆YA´=D, (7)

где D – длина стороны квадрата километровой сетки (1км).

Практически таких равенств не получается из-за случайных и систематических погрешностей измерений (деформация бумаги, не точность установки игл измерителей в вершины, погрешности построения поперечного масштаба и т.д.). Однако величина неравенства не должна превышать 0.3мм в масштабе карты. Если это условие выполняется, то окончательные координаты точки А можно вычислить по формулам.

XA=Xю.з+(D/(∆XA +∆ХА´))∆XA, (8)

YA=Yю.з+(D/(∆YA +∆YB´))∆YA. (9).

Данные формулы и рекомендуется использовать при решении задачи 4.1. результаты измерений записывают в таблицы 2 и 3.

Однако такой контроль не всегда осуществим. Например, в таблице 2 отрезок ∆ХА´

отсутствует, так как линия координатной сетки 6069 находится на соседнем листе карты. В таких случаях наиболее действенным контролем является вычисление длины отрезка dAB и сравнение его с непосредственно измеренной длиной этого отрезка по карте. Это поможет избежать грубой погрешности определения координат.

В таблицах 2 и 3 приведены результаты измерения координат вершин треугольника АВС ( см. Приложение 1).

Таблица2 Абсциссы точек А, В,С. (км)

Точка	Xю.з (км)	∆X(км)	∆Х´(км)	Х(км)
А	6068	0.356		6068.356
В	6067	0.582	0.413	6067.585
С	6067	0.451	0.545	6067.453

Таблица 3Ординаты точек А,В,С (км)

Точка	Yю.з(км)	∆Y(км)	∆Y´(км)	Y(км)
А	4311	0.296	0.702	4311.297
В	4312	0.193		4312.193
С	4311	0.151	0.847	4311.151

Задача 4.2. По измеренным в задаче 4.1 прямоугольным координатам вычислить длины сторон треугольника и сравнить их с непосредственно измеренными.

Задача распадается на 2 части. В первой части необходимо вычислить длины сторон по известной в математике формуле

dAB=√(XA-XB)²+(YA-YB)², (10)

вычисленные расстояния записать в таблицу 4 с числом значащих цифр, соответствующих точности масштаба карты.

Вторая часть задачи состоит в непосредственном измерении длин сторон треугольника с помощью измерителя и построенного в задаче 1.1 поперечного масштаба. Результаты измерений также записать в таблицу 4. Найти расхождения между вычисленными и измеренными длинами сторон треугольника и дать анализ их соответствия точности масштаба карты. Перечислить причины возникновения этих расхождений.

Таблица 4. Значения длин сторон треугольника, полученные при вычислениях и измерениях.

Названия сторон	Приращения ∆Xм	координат ∆Yм	Длины сторон (м)		Расхождения (м)
			Вычисленные	Измеренные
AB	-0.771	0.896	1182	1183	-1
BC	-0.132	-1.042	1050	1045	5
AC	0.903	0.146	915	920	-5

Вопросы для самоконтроля.

1. В чем сущность зональной системы прямоугольных координат?

2. Что принято за ось ординат и абсцисс в зональной системе координат?

3. В чем смысл преобразования ординаты?

4. Как определить номер зоны данного листа карты?

5. Какие погрешности влияют на точность измерения координат (длин линий) по карте?

6. Как определить длину отрезка, зная прямоугольные координаты его концов?

7. Чему равны искажения длин линий на осевом меридиане?

8. Как вычислить искажения длин линий в пределах зоны?

9. Как построить на карте точку по известным прямоугольным координатам?(.......)