Том 1. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА § 1. Область рациональных чисел 11 1. Предварительные замечания 11 2. Упорядочение области рациональных чисел 12 3. Сложение и вычитание рациональных чисел 12 4. Умножение и деление рациональных чисел 14 5. Аксиома Архимеда 16 § 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел 6. Определение иррационального числа 17 7. Упорядочение области вещественных чисел 19 8. Вспомогательные предложения 21 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 22 10. Непрерывность области вещественных чисел 24 11. Границы числовых множеств 25 § 3. Арифметические действия над вещественными числами 28 12. Определение суммы вещественных чисел 28 13. Свойства сложения 29 14. Определение произведения вещественных чисел 31 15. Свойства умножения 3 2 16. Заключение 34 17. Абсолютные величины 34 § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 35 18. Существование корня. Степень с рациональным показателем 35 19. Степень с любым вещественным показателем 37 20. Логарифмы 39 21. Измерение отрезков 40 ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Варианта и ее предел 43 22. Переменная величина, варианта 43 23. Предел варианты 46 24. Бесконечно малые величины 47 25. Примеры 48 26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 52 27. Бесконечно большие величины 54 § 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 56 28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 56 29. Леммы о бесконечно малых 57 30. Арифметические операции над переменными 58 31. Неопределенные выражения 60 32. Примеры на нахождение пределов 62 33. Теорема Штольца и ее применения 67 § 3. Монотонная варианта 70 34. Предел монотонной варианты 70 35. Примеры 72 36. Число е 77 31. Приближенное вычисление числа е 79 38. Лемма о вложенных промежутках 82 § 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 83 39. Принцип сходимости 83 40. Частичные последовательности и частичные пределы 85 41. Лемма Больцано—Вейерштрасса 87 42. Наибольший и наименьший пределы 89 ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Понятие функции 93 43. Переменная и область ее изменения 93 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 94 45. Определение понятия функции 95 46. Аналитический способ задания функции 98 47. График функции 100 48. Важнейшие классы функций 102 49. Понятие обратной функции 108 50. Обратные тригонометрические функции 110 51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 114 § 2. Предел функции 115 52. Определение предела функции 115 53. Сведение к случаю варианты 117 54. Примеры 120 55. Распространение теории пределов 128 56. Примеры 130 57. Предел монотонной функции 133 58. Общий признак Больцано—Коши 134 59. Наибольший и наименьший пределы функции 135 § 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 136 60. Сравнение бесконечно малых 136 61. Шкала бесконечно малых 137 62. Эквивалентные бесконечно малые 139 63. Выделение главной части 141 64. Задачи 143 65. Классификация бесконечно больших 145 § 4. Непрерывность (и разрывы) функций 146 66. Определение непрерывности функции в точке 146 67. Арифметические операции над непрерывными функциями 148 68. Примеры непрерывных функций 148 69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 150 70. Примеры разрывных функций 151 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции 154 72. Непрерывность элементарных функций 155 73. Суперпозиция непрерывных функций 156 74. Решение одного функционального уравнения 157 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162 78. Степенно-показательные выражения 165 79. Примеры 166 § 5. Свойства непрерывных функций 168 80. Теорема об обращении функции в нуль 168 81. Применение к решению уравнений 170 82. Теорема о промежуточном значении 171 83. Существование обратной функции 172 84. Теорема об ограниченности функции 174 85. Наибольшее и наименьшее значения функции 175 86. Понятие равномерной непрерывности 178 87. Теорема Кантора 179 88. Лемма Бореля 180 89. Новые доказательства основных теорем 182 ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ § 1. Производная и ее вычисление 186 90. Задача о вычислении скорости движущейся точки 186 91. Задача о проведении касательной к кривой 187 92. Определение производной 189 93. Примеры вычисления производных 193 94. Производная обратной функции 196 95. Сводка формул для производных 198 96. Формула для приращения функции 198 97. Простейшие правила вычисления производных 199 98. Производная сложной функции 202 99. Примеры 203 100. Односторонние производные 209 101. Бесконечные производные 209 102. Дальнейшие примеры особых случаев 211 § 2. Дифференциал 211 103. Определение дифференциала 211 104. Связь между дифференцируемостью и существованием _ 1. производной 105. Основные формулы и правила дифференцирования 215 106. Инвариантность формы дифференциала 216 107. Дифференциалы как источник приближенных формул 218 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 220 § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 223 109. Теорема Ферма 223 110. Теорема Дарбу 224 111. Теорема Ролля 225 112. Формула Лагранжа 226 113. Предел производной 228 114. Формула Коши 229 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 231 115. Определение производных высших порядков 231 116. Общие формулы для производных любого порядка 232 117. Формула Лейбница 236 118. Примеры 238 119. Дифференциалы высших порядков 241 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших _ ._ порядков 121. Параметрическое дифференцирование 243 122. Конечные разности 244 § 5. Формула Тейлора 246 123. Формула Тейлора для многочлена 246 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано 125. Примеры 251 126. Другие формы дополнительного члена 254 127. Приближенные формулы 257 § 6. Интерполирование 263 128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 263 129. Дополнительный член формулы Лагранжа 264 130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита 265 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Изучение хода изменения функции 268 131. Условие постоянства функции 268 132. Условие монотонности функции 270 133. Доказательство неравенств 273 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 276 135. Достаточные условия. Первое правило 278 136. Примеры 280 137. Второе правило 284 138. Использование высших производных 286 139. Разыскание наибольших и наименьших значений 288 140. Задачи 290 § 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 294 141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 294 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 296 143. Условия выпуклости функции 298 144. Неравенство Иенсена и его приложения 301 145. Точки перегиба 303 § 3. Построение графиков функций 305 146. Постановка задачи 305 147. Схема построения графика. Примеры 306 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 308 149. Примеры 311 § 4. Раскрытие неопределенностей 314 150. Неопределенность вида 0/0 314 151. Неопределенность вида оо / оо 320 152. Другие виды неопределенностей 322 § 5. Приближенное решение уравнении 324 153. Вводные замечания 3 24 154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) 325 155. Правило Ньютона (метод касательных) 328 156. Примеры и упражнения 331 157. Комбинированный метод 335 158. Примеры и упражнения 336 ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Основные понятия 340 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 340 160. Функции двух переменных и области их определения 341 161. Арифметическое n-мерное пространство 345 162. Примеры областей в n-мерном пространстве 348 163. Общее определение открытой и замкнутой области 350 164. Функции п переменных 352 165. Предел функции нескольких переменных 354 166. Сведение к случаю варианты 356 167. Примеры 358 168. Повторные пределы 360 § 2. Непрерывные функции 362 169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 362 170. Операции над непрерывными функциями 364 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши 365 172. Лемма Больцано—Вейерштрасса 367 173. Теоремы Вейерштрасса 369 174. Равномерная непрерывность 370 175. Лемма Бореля 372 176. Новые доказательства основных теорем 373 176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 373 177. Частные производные и частные дифференциалы 375 178. Полное приращение функции 378 179. Полный дифференциал 381 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух _ R_ переменных 181. Производные от сложных функций 386 182. Примеры 388 183. Формула конечных приращений 390 184. Производная по заданному направлению 391 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 394 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 396 187. Однородные функции 399 188. Формула Эйлера 400 § 4. Производные в дифференциалы высших порядков 402 189. Производные высших порядков 402 190. Теорема о смешанных производных 404 191. Обобщение 407 192. Производные высших порядков от сложной функции 408 193. Дифференциалы высших порядков 410 194. Дифференциалы сложных функций 413 195. Формула Тейлора 414 § 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 417 196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые . 17 условия 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 419 198. Достаточные условия (общий случай) 422 199. Условия отсутствия экстремума 425 200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры 427 201. Задачи 431 ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Формальные свойства функциональных определителей 441 202. Определение функциональных определителей (якобианов) 441 203. Умножение якобианов 442 204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 444 § 2. Неявные функции 447 205. Понятие неявной функции от одной переменной 447 206. Существование неявной функции 449 207. Дифференцируемость неявной функции 451 208. Неявные функции от нескольких переменных 453 209. Вычисление производных неявных функций 460 210. Примеры 463 § 3. Некоторые приложения теории неявных функции 467 211. Относительные экстремумы 467 212. Метод неопределенных множителей Лагранжа 470 213. Достаточные для относительного экстремума условия 472 214. Примеры и задачи 473 215. Понятие независимости функций 477 216. Ранг матрицы Якоби 479 § 4. Замена переменных 483 217. Функции одной переменной 483 218. Примеры 485 219. Функции нескольких переменных. Замена независимых .„„ переменных 220. Метод вычисления дифференциалов 489 221. Общий случай замены переменных 491 222. Примеры 493 ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ § 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 503 223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 503 224. Примеры 505 225. Кривые механического происхождения 508 226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 511 227. Поверхности и кривые в пространстве 516 228. Параметрическое представление 518 229. Примеры 520 § 2. Касательная и касательная плоскость 523 230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523 231. Примеры 525 232. Касательная в полярных координатах 528 233. Примеры 529 234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности 235. Примеры 534 236. Особые точки плоских кривых 535 237. Случай параметрического задания кривой 540 § 3. Касание кривых между собой 542 238. Огибающая семейства кривых 542 239. Примеры 545 240. Характеристические точки 549 241. Порядок касания двух кривых 551 242. Случай неявного задания одной из кривых 553 243. Соприкасающаяся кривая 554 244. Другой подход к соприкасающимся кривым 556 § 4. Длина плоской кривой 557 245. Леммы 557 246. Направление на кривой 558 247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги 560 248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги 562 249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 565 § 5. Кривизна плоской кривой 568 250. Понятие кривизны 568 251. Круг кривизны и радиус кривизны 571 252. Примеры 573 253. Координаты центра кривизны 254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты 255. Свойства эволют и эвольвент 256. Разыскание эвольвент ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ 257. Случай функции одной переменной 258. Постановка задачи для двумерного случая 259. Вспомогательные предложения 260. Основная теорема о распространении 261. Обобщение 262. Заключительные замечания Алфавитный указатель 600 Том 2. СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11 264. Интеграл и задача об определении площади 14 265. Таблица основных интегралов 17 266. Простейшие правила интегрирования 18 267. Примеры 19 268. Интегрирование путем замены переменной 23 269. Примеры 27 270. Интегрирование по частям 31 271. Примеры 32 § 2. Интегрирование рациональных выражений 36 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36 273. Простые дроби и их интегрирование 37 274. Разложение правильных дробей на простые 38 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42 276. Выделение рациональной части интеграла 43 277. Примеры 47 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50 278. Интегрирование выражений вида R .ух + 8 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51 280. Формулы приведения 54 281. Интегрирование выражений вида К\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59 283. Примеры 60 284. Другие приемы вычисления 66 285. Примеры 72 § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 74 286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) дх 74 287. Интегрирование выражений sinv xcosto 76 288. Примеры 78 289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84 290. Общие замечания и определения 84 291. Вспомогательные преобразования 86 292. Приведение к канонической форме 88 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94 294. Другой подход к задаче о площади 94 295. Определение 96 296. Суммы Дарбу 97 297. Условие существования интеграла 100 298. Классы интегрируемых функций 101 299. Свойства интегрируемых функций 103 300. Примеры и дополнения 105 301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106 § 2. Свойства определенных интегралов 108 302. Интеграл по ориентированному промежутку 108 303. Свойства, выражаемые равенствами 109 304. Свойства, выражаемые неравенствами 110 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115 306. Вторая теорема о среднем значении 117 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120 307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120 308. Основная формула интегрального исчисления 123 309. Примеры 125 310. Другой вывод основной формулы 128 311. Формулы приведения 130 312. Примеры 131 313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134 314. Примеры 135 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141 316. Другой вывод формулы замены переменной 143 § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145 317. Формула Валлиса 145 318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146 319. Трансцендентность числа е 146 320. Многочлены Лежандра 148 321. Интегральные неравенства 151 § 5. Приближенное вычисление интегралов 153 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153 323. Параболическое интерполирование 156 324. Дробление промежутка интегрирования 158 325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159 326. Дополнительный член формулы трапеций 161 327. Дополнительный член формулы Симпсона 162 328. Примеры 164 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой 169 329. Вычисление длины кривой 169 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению 331. Примеры 174 332. Натуральное уравнение плоской кривой 180 333. Примеры 183 334. Длина дуги пространственной кривой 185 § 2. Площади и объемы 186 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186 336. Площадь как предел 188 337. Классы квадрируемых областей 190 338. Выражение площади интегралом 192 339. Примеры 195 340. Определение понятия объема. Его свойства 202 341. Классы тел, имеющих объемы 204 342. Выражение объема интегралом 205 343. Примеры 208 344. Площадь поверхности вращения 214 345. Примеры 217 346. Площадь цилиндрической поверхности 220 347. Примеры 222 § 3. Вычисление механических и физических величин 225 348. Схема применения определенного интеграла 225 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228 350. Примеры 229 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры 352. Примеры 232 353. Механическая работа 233 354. Примеры 235 355. Работа силы трения в плоской пяте 237 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239 § 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных 359. Задачи 247 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253 361. Задачи 254 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Введение 257 362. Основные понятия 257 363. Примеры 258 364. Основные теоремы 260 § 2. Сходимость положительных рядов 262 365. Условие сходимости положительного ряда 262 366. Теоремы сравнения рядов 264 367. Примеры 266 368. Признаки Коши и Даламбера 270 369. Признак Раабе 272 370. Примеры 274 371. Признак Куммера 277 372. Признак Гаусса 279 373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281 374. Признак Ермакова 285 375. Дополнения 287 § 3. Сходимость произвольных рядов 293 376. Общее условие сходимости ряда 293 377. Абсолютная сходимость 294 378. Примеры 296 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300 381. Знакопеременные ряды 3 02 382. Примеры 303 383. Преобразование Абеля 305 384. Признаки Абеля и Дирихле 307 385. Примеры 308 § 4. Свойства сходящихся рядов 313 386. Сочетательное свойство 313 3 87. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316 389. Умножение рядов 320 390. Примеры 323 391. Общая теорема из теории пределов 325 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327 § 5. Повторные и двойные ряды 329 393. Повторные ряды 329 394. Двойные ряды 333 395. Примеры 338 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346 397. Примеры 348 398. Кратные ряды 350 § 6. Бесконечные произведения 350 399. Основные понятия 350 400. Примеры 351 401. Основные теоремы. Связь с рядами 353 402. Примеры 356 § 7. Разложения элементарных функций 364 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др. 405. Логарифмический ряд 368 406. Формула Стерлинга 369 407. Биномиальный ряд 371 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374 § 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378 409. Общие замечания 378 410. Вычисление числа к 379 411. Вычисление логарифмов 381 412. Вычисление корней 383 413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84 414. Примеры 386 415. Преобразование Куммера 388 416. Преобразование Маркова 392 § 9. Суммирование расходящихся рядов 394 417. Введение 394 418. Метод степенных рядов 396 419.Теорема Тау бера 398 420. Метод средних арифметических 401 421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403 422. Теорема Харди—Ландау 405 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408 425. Примеры 413 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416 ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. Равномерная сходимость 419 427. Вводные замечания 419 428. Равномерная и неравномерная сходимости 421 429. Условие равномерной сходимости 425 430. Признаки равномерной сходимости рядов 427 § 2. Функциональные свойства суммы ряда 430 431. Непрерывность суммы ряда 430 432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432 433. Почленный переход к пределу 434 434. Почленное интегрирование рядов 436 435. Почленное дифференцирование рядов 438 436. Точка зрения последовательности 441 437. Непрерывность суммы степенного ряда 444 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447 § 3. Приложения 450 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу 440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474 443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477 444. Пример непрерывной функции без производной 479 § 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481 445. Действия над степенными рядами 481 446. Подстановка ряда в ряд 485 447. Примеры 487 448. Деление степенных рядов 492 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494 450. Решение уравнений рядами 498 451. Обращение степенного ряда 502 452. Ряд Лагранжа 505 § 5. Элементарные функции комплексной переменной 508 453. Комплексные числа 508 454. Комплексная варианта и ее предел 511 455. Функции комплексной переменной 513 456. Степенные ряды 515 457. Показательная функция 518 458. Логарифмическая функция 520 459. Тригонометрические функции и им обратные 522 460. Степенная функция 526 461. Примеры 527 § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531 462. Примеры 531 463. Определения 533 464. Основные свойства асимптотических разложений 536 465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540 466. Исследование дополнительного члена 542 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544 468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547 469. Формула и ряд Стерлинга 550 ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552 470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552 471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554 472. Примеры 555 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559 475. Сходимость интеграла в общем случае 561 476. Признаки Абеля и Дирихле 563 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566 478. Примеры 569 § 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577 479. Определение интегралов от неограниченных функций 577 480. Замечание относительно особых точек 581 481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры 482. Условия и признаки существования интеграла 584 483. Примеры 587 484. Главные значения несобственных интегралов 590 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595 § 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597 486. Простейшие свойства 597 487. Теоремы о среднем значении 600 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602 489. Примеры 602 490. Замена переменных в несобственных интегралах 604 491. Примеры 605 § 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611 492. Некоторые замечательные интегралы 611 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами 494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617 495. Интегралы Фруллани 621 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами 497. Смешанные примеры и упражнения 629 § 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641 499. Примеры 642 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом 502. Использование асимптотических разложений 650 ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Элементарная теория 654 503. Постановка задачи 654 504. Равномерное стремление к предельной функции 654 505. Перестановка двух предельных переходов 657 506. Предельный переход под знаком интеграла 659 507. Дифференцирование под знаком интеграла 661 508. Интегрирование под знаком интеграла 663 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665 510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668 511. Примеры 669 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680 § 2. Равномерная сходимость интегралов 682 513. Определение равномерной сходимости интегралов 682 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684 515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684 516. Другой случай равномерной сходимости 687 517. Примеры 689 § 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694 518. Предельный переход под знаком интеграла 694 519. Примеры 697 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710 521. Интегрирование интеграла по параметру 714 522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733 § 4. Дополнения 743 525. Лемма Арцела 743 526. Предельный переход под знаком интеграла 745 527. Дифференцирование под знаком интеграла 748 528. Интегрирование под знаком интеграла 749 § 5. Эйлеровы интегралы 750 529. Эйлеров интеграл первого рода 750 530. Эйлеров интеграл второго рода 753 531. Простейшие свойства функции Г 754 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760 533. Другая функциональная характеристика функции Г 762 534. Примеры 764 535. Логарифмическая производная функции Г 770 536. Теорема умножения для функции Г 772 537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774 538. Примеры и дополнения 775 539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782 540. Формула Стерлинга 789 541. Вычисление эйлеровой постоянной 792 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793 Алфавитный указатель 795 Алфавитный указатель |