|
Математический анализ элементарных функций. Крейн С.Г., Ушакова В.Н. Крейн С.Г., Ушакова В.Н. М.: Физматгиз, 1963 — 168 с. Настоящая книга написана на основе лекций по курсу высшей математики, которые читались одним из авторов в течение ряда лет в Криворожском горнорудном и в Воронежском лесотехническом институтах.
Формат: djvu / zip Размер: 4,1 Мб ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 8Глава I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. Понятие функции 11 1. Определение функции по Лобачевскому (И). 2. Система координат (12). 3. График функции и уравнение кривой (13). 4. Однозначные и многозначные функции (16). 5. Область определения функции (16). § 2. Линейная функция у = кх + Ъ 18 1. График линейной функции у = kx (18). 2. График общей линейной функции (20). 3. Приращение линейной функции (22). 4. Возрастание и убывание линейной функции (23). 5. Задачи на построение линейной функции (24). § 3. Геометрические задачи для двух линейных функций . 26 1. Параллельность графиков линейных функций (26). 2. Точка пересечения графиков линейных функций (26). 3. Угол между графиками линейных функций (27). 4. Перпендикулярность графиков линейных функций (28). § 4. Линейная интерполяция 29 § 5. Квадратичная функция 30 1. Симметрия графика функции у = х2 (31). 2. Исследование функции на возрастание и убывание (31). 3. Экстремум функции у = х2 (32). 4. Исследование графика функции у = х2 на выпуклость и вогнутость (34). 5. Функция у = ах2 (35). 6. Уравнение параболы с вершиной в заданной точке (36). 7. Исследование общей квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с (37). 8. Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией (38). § 6. Кубическая функция 40 1. Исследование функции у *= хг (40). 2. Исследование функции у =» xz + kx (42). 3. Исследование функции у = хг + Ьх + 6 (46). 4. Исследование общей кубической функции у = а0х3 -{-а{х2-\- а2х -f- a3 (48). 5. Пример зависимости» выражающейся кубической функцией (48). § 7. Многочлены . 49 1. Сравнение графиков степенных функций у = хп при четных и нечетных показателях (49). 2. Многочлен. Корни многочлена. Разложение на множители (50). 3. Поведение многочлена у = Рп(х) на бесконечности (52). 4. Примеры графиков многочленов (52). § 8. Обратно-пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция 53 1. Исследование функции у = — (53). 2. Гипербола с центром в заданной точке (56). 3. Дробно-линейная функция (57). § 9. Дробно-рациональная функция 58 1. Отрицательные степени х (58). 2. Дробно-рациональная функция (61). 3. Асимптоты графика дробно-рациональной функции (62). 4. Разложение на простейшие дроби (64). 5. Графики простейших дробей (66). 6. Пример зависимости, выражающейся дробно-рациональной функцией (70). § 10. Показательная функция 71 § 11. Тригонометрические функции 72 1. Исследование функции у = sin x (73). 2. Исследование функции у = sin cojc (75). 3. Уравнение простого гармонического колебания (76). 4. Приведение функции у = A cos шх + В sin <ax к виду простого гармонического колебания (77). 5. Примеры зависимостей, выражающихся тригонометрическими функциями (79). § 12. Взаимно-обратные функции 80 1. Понятие обратной функции (80). 2. График обратной функции (81). 3. Свойства обратной функции (82). 4. Логарифмическая функция у = \ogQ x (83). 5. Обратные тригонометрические функции и их главные значения (84). § 13. Линеаризация алгебраических функций 86 1. Линеаризация рациональных функций вблизи нуля (86). 2. Линеаризация иррациональных функций (88). 3. Линеаризация вблизи данного значения аргумента (Щ* Глава II ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. Предел функции в точке 91 1. Понятие бесконечно малой (91). 2. Свойства бесконечно малых (92). 3. Понятие предела функции (93). 4. Свойства пределов (93). 5. Понятие непрерывной функции (97). § 2. Предел функции на бесконечности 99 1. Понятие функции, бесконечно малой на бесконечности (99). 2. Предел функции на бесконечности (99). 3. Нахождение наклонных асимптот графика функции (100). § 3. Задача о касательной 103 1. Касательная к параболе у =* х2 в начале координат (105). 2. Касательная к параболе у = У х (106). 3. Касательная к синусоиде у = sin x в начале координат. Первый замечательный предел (106). 4. Касательная к косинусоиде у =* cos х в точке ее пересечения с осью ординат (109). 5. Касательная к тангенсоиде у = Xg x в начале координат (НО). 6. Касательные к графикам обратных тригонометрических функций (111). 7. Касательная к графику обратной функции (112). 8. Касательная к графику показательной функции в точке его пересечения с осью ординат (113). 9. Касательная к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью их (116). 10. Число е как предел (117). § 4. Гиперболические функции 117 Глава III. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ § 1. Сравнение бесконечно малых функций 120 1. Свойства бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная (121). 2. Основная теорема об эквивалентных бесконечно малых (121). § 2. Линеаризация вблизи нуля 122 1. Линеаризация функции у = (1-{-х)п (123). 2. Линеаризация функции у = -т—— (123). 3. Линеаризация функции у =*Yl+x (124). 4. Линеаризация функции у = sin х (124). 5. Линеаризация функции у = cos л: (124). 6. Линеаризация функций у = ех и у ±= а* (125). 7. Линеаризация функции у = loga (1 + х) (125). 8, Формулы линеаризации вблизи нуля (125). 9. Примеры применения линеаризации (126). § 3. Линеаризация функции вблизи данной точки .... 126 1. Производная и дифференциал линейной функции в данной точке (128). § 4. Формулы линеаризации основных элементарных функций. Производные 129 1. Линеаризация степенной функции f(x) = хп при целом положительном п (129). 2. Линеаризация функции f(x) = — (130). 3. Линеаризация функции f(x) = Vx (130). 4. Линеаризация функции f(x) = s\nx (131). 5. Линеаризация функции /(л:) = cos .к (131). 6. Линеаризация показательной функции f(x) = ax (131). 7. Линеаризация логарифмической функции f(x) = \ogax (131). § 5. Общие свойства производных 132 1. Производная суммы (132). 2. Производная произведения (133). 3. Производная дроби (133). 4. Производная и дифференциал сложной функции (135). 5. Производная степенной функции при любом показателе степени (137). 6. Производные обратных функций (137). 7. Производные обратных тригонометрических функций (138). § 6. Геометрический смысл производной и дифференциала 138 1. Геометрический смысл производной (138). 2. Уравнение касательной к кривой у=Дх) в точке (х0, у0) (139). 3. Геометрический смысл дифференциала (140). § 7. Понятие о производных и дифференциалах высшего порядка 140 § 8. Механический смысл производной 141 Глава IV ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ |
Loading
|