|
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. Краснов М.Л., КисеОбыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениямиКраснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И.4-е изд., исправ. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 256 с. В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам, которые недостаточно подробно освещены в имеющихся пособиях и которые, как показывает опыт, слабо усваиваются студентами. Детально разобраны метод изоклин для уравнений первого и второго порядков, задачи нахождения ортогональных траекторий, линейная зависимость и независимость систем функций. В задачник включено большое число задач на решение линейных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, задачи на устойчивость по Ляпунову, на применение операционного метода к решению дифференциальных уравнений и систем. Представлены также метод последовательных приближений, особые решения дифференциальных уравнений, уравнения с малым параметром при производной. Приводится более 100 примеров с подробными решениями.
Формат: djvu / zip Размер: 4,1 Мб Оглавление Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 3§ 1. Основные понятия и определения 3 § 2. Метод изоклин 9 §3. Метод последовательных приближений 15 §4. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним 18 §5. Уравнения однородные и приводящиеся к ним 26 1. Однородные уравнения 26 2°. Уравнения, приводящиеся к однородным 28 §6. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 32 1°. Линейные уравнения первого порядка 32 2°. Уравнение Бернулли 37 §7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 40 1°. Уравнения в полных дифференциалах 40 2°. Интегрирующий множитель 42 §8. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 45 1. Уравнения первого порядка n-й степени относительно у1 45 2°. Уравнения вида f(yy у') = 0 и /(я, у1) = 0 47 3°. Уравнения Лагранжа и Клеро 49 §9. Уравнение Риккати 51 § 10. Составление дифференциальных уравнений семейств линий. Задачи на траектории 53 1. Составление дифференциальных уравнений семейств линий 53 2°. Задачи на траектории 55 §11. Особые решения дифференциальных уравнений 58 § 12. Разные задачи 67 Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 69 § 13. Основные понятия и определения 69 § 14. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 71 §15. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка . . 79 1. Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Определитель Грама 79 2°. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 86 3°. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами £9 4°. Уравнения Эйлера 103 5°. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа . . 105 6°. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений 110 7°. Разные задачи 112 § 16. Метод изоклин для дифференциальных уравнений второго порядка 114 § 17. Краевые задачи 116 § 18. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 121 1. Разложение решения в степенной ряд 121 2°. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Уравнение Бесселя 127 3°. Нахождение периодических решений линейных дифференциальных уравнений 137 4°. Асимптотическое интегрирование 140 5°. Приложения к интегрированию дифференциальных уравнений 143 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 148 § 19. Основные понятия и определения 148 §20. Метод исключения (сведение системы дифференциальных уравнений к одному уравнению) .... 157 §21. Нахождение интегрируемых комбинаций. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений 161 1. Нахождение интегрируемых комбинаций 161 2°. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений 167 § 22. Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера 169 §23. Методы интегрирования неоднородных линейных систем с постоянными коэффициентами 175 1°. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 176 2°. Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора) 178 3°. Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера) 182 §24. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем 185 1. Общие сведения о преобразовании Лапласа 185 2°. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 188 3°. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 191 Глава 4. Теория устойчивости 195 §25. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения 195 §26. Простейшие типы точек покоя 199 §27. Метод функций Ляпунова 204 §28. Устойчивость по первому приближению 209 §29. Устойчивость решений дифференциальных уравнений по отношению к изменению правых частей уравнений ... 213 §30. Критерий Рауса—Гурвица 215 §31. Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова) 217 §32. Уравнения с малым параметром при производной 219 Ответы 224 Приложение 1 248 Некоторые формулы из дифференциальной геометрии . . . 248 Приложение 2 249 Основные оригиналы и их изображения 249 |
Loading
|