|
Основы математического анализа. У. РудинОсновы математического анализаУ. Рудин2-е изд., Пер. с англ. - М.: Мир, 1976.— 320 с. Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д. В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги. Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых втузов. Она будет полезна аспирантам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.
ОГЛАВЛЕНИЕ: От переводчика 5Предисловие 7 Глава 1. Системы вещественных и комплексных чисел 9 Введение 9 Дедекиндовы сечения 11 Вещественные числа 18 Расширенная система вещественных чисел 23 Комплексные числа 24 Евклидовы пространства 29 Упражнения 30 Глава 2. Элементы теории множеств 32 Конечные, счетные и несчетные множества 32 Метрические пространства 39 Компактные множества 45 Совершенные множества 51 Связные множества 52 Упражнения 54 Глава 3. Числовые последовательности и ряды 57 Сходящиеся последовательности 57 Подпоследовательности . 61 Последовательности Коши 62 Верхний и нижний пределы 65 Некоторые специальные последовательности 67 Ряды 68 Ряды с неотрицательными членами 71 Число е 73 Другие признаки сходимости 75 Степенные ряды 79 Суммирование по частям 80 Абсолютная сходимость 81 Сложение и умножение рядов 82 Перестановки рядов 85 Упражнения 88 Глава 4. Непрерывность 93 Предел функции 93 Непрерывные функции 95 Непрерывность и компактность 99 Непрерывность и связность 103 Разрывы функций 104 Монотонные функции 105 Бесконечные пределы и пределы в бесконечности 107 Упражнения 108 Глава 5. Дифференцирование 113 Производная вещественной функции 113 Теоремы о среднем значении 116 Непрерывность производных 118 Правило Лопиталя 119 Производные высших порядков 120 Теорема Тейлора 120 Дифференцирование векторнозначных функций 121 Упражнения 125 Глава 6. Интеграл Римана — Стильтьеса 129 Определение и существование интеграла 129 Интеграл как предел сумм 138 Интегрирование и дифференцирование 140 Интегрирование векторнозначных функций 142 Функции ограниченной вариации 144 Дальнейшие теоремы об интегрировании 149 Спрямляемые кривые 153 Упражнения 155 Глава 7. Последовательности и ряды функций 160 Вводные замечания 160 Равномерная сходимость 163 Равномерная сходимость и непрерывность 165 Равномерная сходимость и интегрирование 167 Равномерная сходимость и дифференцирование 171 Равностепенно непрерывные семейства функций 173 Теорема Стона — Вейерштрасса 178 Упражнения 186 Глава 8. Дальнейшие сведения из теории рядов 192 Степенные ряды 192 Показательная и логарифмическая функции 198 Тригонометрические функции 202 Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел 205 Ряды Фурье 206 Упражнения 215 Глава 9. Функции нескольких переменных 219 Линейные преобразования 219 Дифференцирование 226 Теорема об обратной функции 231 Теорема о неявной функции 234 Теорема о ранге 236 Теорема о разложении 239 Определители 241 Интегрирование 244 Дифференциальные формы 250 Симплексы и цепи .... 257 Теорема Стокса 261 Упражнения 263 Глава 10. Теория Лебега 271 Функции множества 271 Построение меры Лебега 273 Измеримые функции 282 Простые функции 284 Интегрирование 285 Сравнение с интегралом Римана 294 Интегрирование комплексных функций 297 Функции класса Хг 298 Упражнения . 304 Литература 308 Указатель обозначений 310 Алфавитный указатель 312 |
Loading
|