|
Высшая математика. Малыхин В.И.Высшая математикаМалыхин В.И.2-е изд., перераб. и доп. - М.: Инфра-М, 2009. — 365 с. Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту и составлено в виде лекций, объединенных по темам. В конце каждой лекции приведены решения типовых задач, а также задания для самостоятельной работы. Предназначено для студентов экономических факультетов вузов.
Формат: pdf / zip Размер: 2,9 Мб Содержание Введение 3ЧАСТЬ 1 ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Тема 1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ 6 1.1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 6 1. Начальные сведения о векторах 6 2. Действия с векторами 7 3. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов 9 4. Пространство товаров, вектор цен 11 Задачи 11 1.2. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 1 2 1. Начальные сведения о матрицах 12 2. Действия с матрицами 13 3. Технологическая матрица и задача оптимального планирования 15 4. Матрицы и линейные преобразования 17 Задачи 18 1.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 20 1. Начальные сведения о СЛАУ 20 2. Векторная и матрично-векторная запись СЛАУ 21 3. Определитель матрицы 23 4. Решение СЛАУ с помощью определителей 24 5. Обратная матрица 25 Задачи 26 Тема 2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 28 2.1. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 29 1. Прямая линия на плоскости, различные виды уравнений прямой 29 2. Линейные функции спроса и предложения, определение равновесной цены 31 3. Бюджетное множество 31 4. Плоскости и прямые линии в пространстве 33 Задачи 34 2.2. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 35 1. Важнейшие кривые 2-го порядка 36 2. Оптические и геометрические свойства кривых 2-го порядка 38 3. Полярная система координат 39 4. Параметрические уравнения линии 41 Задачи 41 Тема 3. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 43 3.1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 43 1. Задача оптимального планирования 43 2. Некоторые общие сведения о линейном программировании 44 3. Решение задач ЛП с двумя переменными графическим методом 46 4. Задачи целочисленного ЛП 48 Задачи 48 3.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 50 1. Задача торга 50 2. Симметричная пара двойственных задач 51 3. Теоремы двойственности 52 4. Экономическое содержание теории двойственности 54 Задачи 56 3.3. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА И НЕЙМАНА 58 1. Модель Леонтьева 58 2. Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева 60 3. Модель Неймана 62 Задачи 63 Тема 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 64 4.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 64 1. Элементы теории множеств 64 2. Последовательности 65 3. Предел последовательности и сумма ряда 68 4. Паутинообразная модель рынка 68 5. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева 69 Задачи 70 4.2. ФУНКЦИИ 71 1. Общее понятие функции 71 2. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике 72 3. Элементарные функции 73 4. Свойства функций одного переменного 75 Задачи 75 4.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ 78 1. Определение предела функции 78 2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 79 3. Основные свойства пределов 80 4. Первый и второй замечательные пределы 80 Задачи 81 4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 82 1. Определение непрерывности функции. Точки разрыва 83 2. Свойства непрерывных функций 84 3. Экономическая интерпретация непрерывности 85 Задачи 86 Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В ЭКОНОМИКЕ 87 5.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 87 1. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл 87 2. Применение производной в экономике 89 3. Правила дифференцирования (нахождения производных функций) 90 Задачи 91 5.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 93 1. Теоремы о дифференцируемых функциях 93 2. Дифференциал функции 94 3. Формула и многочлен Тейлора 96 Задачи 97 Тема 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 97 Б.1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ 97 1. Экстремум функции и его нахождение 97 2. Формула Уилсона 98 3. Теория одноресурсной фирмы 99 4. Прибыль фирмы и объем поступления налогов государству при данной налоговой ставке 102 5. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 103 Задачи 103 Б.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 104 1. Возрастание и убывание функций 104 2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 104 3. План исследования функции и построения ее графика 105 4. Нахождение нулей функции, приближенное решение уравнений 106 Задачи 107 ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ Тема 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109 7.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 109 1. Определение функции многих переменных 109 2. Способы задания функции многих переменных 110 3. Некоторые многомерные функции, используемые в экономике 112 Задачи 113 7.2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 114 1. Иерархия пространств 114 2. Евклидово пространство 115 3. Топология евклидова пространства 117 4. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве 119 Задачи 121 Тема 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 122 8.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 122 1. Частные производные 122 2. Частные производные 2-го и высших порядков 123 3. Экономический смысл частных производных 124 Задачи 125 8.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 127 1. Дифференцируемость функций нескольких переменных 127 2. Геометрический смысл 1 -го дифференциала 128 3. Производная по направлению, градиент функции 129 4. Линеаризация сложных зависимостей 130 5. Дифференциальные свойства функции полезности 131 Задачи 132 Тема 9. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 133 9.1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 133 1. Экстремум функции и его нахождение 133 2. Достаточное условие экстремума 134 3. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа 136 4. Задача оптимизации выбора потребителя 136 5. Характеристика точки спроса 138 Задачи 139 9.2. «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» ЭКОНОМИКИ 140 1. «Золотое правило» экономики для одноресурсной фирмы 140 2. «Золотое правило» экономики для многоресурсной фирмы 143 Задачи 145 9.3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ ... 146 1. Понятие многокритериальной оптимизационной задачи 146 2. Оптимальность по Парето 147 3. Модель обмена, цены 148 4. Ящик Эджворта 149 Задачи 151 Тема 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 152 10.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 152 1. Дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции 153 2. Геометрическое понимание интеграла 155 3. Таблица основных интегралов 156 4. Простейшие правила интегрирования 157 5. Интегрирование путем замены переменной 157 6. Интегрирование по частям 158 Задачи 158 10.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 159 1. Площадь криволинейной трапеции 159 2. Определение определенного интеграла 160 3. Свойства определенного интеграла 161 4. Теорема о среднем значении 163 5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 163 6. Основная формула интегрального исчисления 165 7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 167 Задачи 168 10.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 169 1. Длина кривой, площадь фигуры и объем тела 169 2. Механические и физические приложения 172 3. Экономические и другие иллюстрации к понятию интеграла 172 Задачи 176 Тема 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 178 11.1. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 178 1. Определение интегралов с бесконечными пределами 178 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 180 3. Двойные интегралы, определение 180 4. Сведение двойного интеграла к повторному 181 5. Тройные интегралы 182 Задачи 183 Тема 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 185 12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 185 1. Определение дифференциального уравнения 185 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 186 3. Уравнения 1 -го порядка, разрешенные относительно производной 188 4. Уравнения с разделяющимися переменными 188 5. Линейные уравнения 1 -го порядка, уравнение Бернулли 190 Задачи 191 Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 192 13.1. МОДЕЛИ ЭВАНСА И СОЛОУ 192 1. Модель Эванса 192 2. Параметры модели Солоу 194 3. Стационарные траектории в модели Солоу 196 4. «Золотое правило» экономического роста 197 Задачи 198 13.2. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 198 1. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений 198 2. Теорема существования и единственности решения 199 3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения 200 4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков и системах дифференциальных уравнений 201 Задача 203 Тема 14. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 204 14.1. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 204 1. Сумма ряда 204 2. Свойства и признаки сходящихся рядов 206 3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 206 4. Знакопеременные ряды 210 5. Степенные ряды 211 Задачи 212 ЧАСТЬ 3 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ Тема 15. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 215 15.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 21 5 1. Закономерности детерминистические и стохастические 215 2. Частота и вероятность 217 3. Классическая формула подсчета вероятности 218 4. Элементы комбинаторики 220 Задачи 220 15.2. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЕРОЯТНОСТИ 222 1. Операции над событиями 222 2. Аксиоматический подход к вероятности 223 3. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий 225 Задачи 227 15.3. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ 229 1. Формула полной вероятности 229 2. Формула Байеса 229 3. Формула Бернулли 230 4. Кредитный риск и способы его уменьшения 231 Задачи 233 Тема 16. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 234 1 G.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 234 1. Дискретные случайные величины 234 2. Математическое ожидание и его свойства 235 3. Дисперсия и ее свойства 237 4. Канонические законы распределения д.с.в 238 Задачи 241 1G.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 242 1. Матрицы последствий и рисков 242 2. Принятие решений в условиях полной неопределенности 243 3. Принятие решений в условиях частичной неопределенности 244 4. Риск как среднее квадратическое отклонение 245 5. Байесовский подход к принятию решений 246 Задачи 247 1 G.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 248 1. Функция распределения случайной величины 248 2. Свойства функции распределения 249 3. Непрерывные случайные величины и их свойства 250 4. Математическое ожидание и дисперсия н.с.в 252 5. Равномерное распределение 253 В. Показательное распределение 254 Задачи 255 16.4. НАЧАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 256 1. Цель начальной статистической обработки информации 256 2. Генеральная совокупность и выборки из нее 257 3. Характеристики выборки 259 Задачи 263 Тема 17. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 264 17.1. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН, ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 264 1. Нормальный закон и параметры его задания 264 2. Закон больших чисел 267 3. Центральная предельная теорема и ее следствия 269 Задачи 270 17.2. ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ 271 1. Усреднение влияния независимых факторов 271 2. Понятие о страховании 272 3. Обеспечение репрезентативности выборки 275 Задачи 276 Тема 18. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 277 18.1. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 277 1. Многомерные случайные величины 277 2. Корреляция и независимость с.в 279 3. Функции случайных величин 280 Задачи 282 18.2. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ 283 1. Основные задачи математической статистики 283 2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности или с.в 284 3. Метод максимального правдоподобия 286 4. Интервальные оценки 286 Задачи 287 18.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 288 1. Типы зависимостей между случайными величинами 288 2. Корреляционное отношение 289 3. Линейная однофакторная регрессия 292 Задачи 294 18.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 294 1. Основной принцип статистической проверки гипотез 294 2. Гипотезы и выборки 295 3. Критерии проверки гипотез 297 4. Наиболее мощный критерий 297 5. Понятие о критериях согласия 299 Задачи 301 Тема 19. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИНАНСОВОГО РЫНКА 302 19.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИХ 302 1. Соглашения о финансовом рынке 302 2. Надежность, рискованность операций и инструментов 303 3. Статистические характеристики ценных бумаг 306 Задачи 307 19.2. ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ 308 1. Сущность портфельного подхода 308 2. Влияние корреляции разных ценных бумаг 309 3. Оптимальный портфель 311 4. Оптимальный портфель при наличии безрисковых бумаг 312 Задачи 314 19.3. МЕТОД ВЕДУЩИХ ФАКТОРОВ ФИНАНСОВОГО РЫНКА 31 5 1. Влияние ведущего фактора на составляющие финансового рынка 315 2. Эффективность рынка как ведущий фактор 317 3. Оптимальный портфель на идеальном конкурентном рынке 317 Приложения Приложение 1. Контрольная работа № 1 (к темам 1—3) 320 Приложение 2. Контрольная работа № 2 (к темам 4—6) 324 Приложение 3. Контрольная работа № 3 (к темам 7—9) 330 Приложение 4. Контрольная работа № 4 (к темам 10—14) 335 Приложение 5. Контрольная работа № 5 (к темам 15,16) 340 Приложение 6. Контрольная работа № 6 (к разделу 16.4, к темам 17—19) 346 Приложение 7. Таблицы значений функции Ф(х) и хг 355 Литература 357 |
Loading
|