|
Основные понятия школьной математики. Любецкий В.А.Основные понятия школьной математикиЛюбецкий В.А.М.: Просвещение; 1987. - 400 с. Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности № 2104 «Математика» В учебном пособии излагаются основные понятия школьной математики (элементарные функции, угол, вектор, плоскость, планиметрия, измерение величин, площадь и мера плоской фигуры, решение алгебраических уравнений, геометрические построения, основания понятия числа) с точки зрения математических курсов пединститута; выясняется место этих основных понятий в системе представлений высшей математики.
Формат: pdf / zip Размер: 47,2 Мб
ОГЛАВЛЕНИЕ: Г л а в а I Элементарные функции. УголВведение 19 1. Линейная функция 22 1. Аксиоматическое определение линейной функции 22 2. Свойства линейной функции 22 3. Теорема существования и единственности линейной функции ... 23 2. Показательная функция 24 1. Аксиоматическое определение показательной функции 24 2. Свойства показательной функции 24 3. Теорема существования и единственности показательной функции . 26 3. Логарифмическая функция 30 1. Аксиоматическое определение логарифмической функции ...... 30 2, Свойства логарифмических функций. Теорема существования и единственности логарифмической функции 31 4. Степенная функция 32 1. Аксиоматическое определение степенной функции 32 2. Теорема существования и единственности степенной функции ... 34 3. Свойства степенных функций 34 5. Функции косинус и синус числового аргумента 35 1. Экспоненциальная функция и ее периодичность 35 2. Теоремы существования и единственности экспоненциальной функции 40 3. Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические оп¬ределения и свойства 45 6. Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов... 48 1. Введение 48 2. Определение угла в арифметической плоскости 49 3. Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. Свойства этих функций 53 4. Измерение углов - . 55 5. Обсуждение полученных результатов 60 Гл а ва II Вектор. Плоскость. Планиметрия ведение 64 1. Сравнение различных подходов к понятию вектора 66 1. Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос 66 2. Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых 70 3. Вектор как тензор 75 § 2. Понятие плоскости .. 77 1. Аффинная плоскость 77 2. Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости ..... 80 3. Плоскость с формой 84 4. Проективная плоскость 89 '§ 3. Аксиоматический подход к определению плоскости 94 1. Два типа аксиоматического определения плоскости ........ 94 2. Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости . . 95 3. Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана „. . . . 98 4. Двумерные римановы многообразия как модели аксиоматических определений плоскости . 106 $ 4. Основные группы школьной планиметрии и их действие в плоскости . . . 113 1.Аффинные отображения 113 2. Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости N8 3. Поднятие группы биекцнй в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости 123 § 5. Понятие планиметрии 126 1. Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы 126 2. Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы 129 Гл а ва III Измерение величин. Площадь и мера плоских фигур Введение - , 134 § I. Примеры измерений и величин 137 § 2. Положительная скалярная величина . 140 § 3. Измерение площади многоугольника 154 1. Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности 154 2. Инвариантность функции площади относительно эквиаффинной группы 158 § 4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника 161 1. Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением . 161 '2. Определение площади многоугольника с помощью движений 165 3. Способы измерения площади многоугольника 167 $ 5. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур . . . . (78 1. Измерение плоских криволинейных фигур 178 2. Неизмеримые множества 191 3. Аксиоматическое определение меры . 193 4. Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры . . 202 5. Вычисление меры простейших криволинейных фигур 205 6. Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега 20&. Глава IV Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных Б, и геометрические построения Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений 210 v 1. Кубические уравнения и квадратичные расширения 210 2. Построение циркулем н линейкой . . . .' 212 3. Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки .... - 218 4. Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре 221 5. Геометрические построения с помощью одного циркуля 224 Щ'2. Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени 227 1. Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах 227 2. Понятие разрешимой группы 232 3. Определение симметрической и знакопеременной групп 233 4. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп ... . . . 236 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа 241 6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени . . 247 7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа 254 3. Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах 261 1. План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой. группой Галуа 261 2. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа 262 3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения 266 4. Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа 268 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения ....... 269 Глава V Логико-математические основания понятия числа $ I. Понятие натурального ряда , . 273 1. Финитный подход к определению натурального ряда 273 2. Теоретико-множественный и аксиоматический подходы к определению натурального ряда 275 3. Сравнение определений целых чисел 281 § 2. Определение рационального числа как линейной функции 282 § 3. Основные подходы к определению вещественных чисел 287 1. Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности 287 2. Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение... 291 3. Определение вещественного числа как сечения 296 4. Определение вещественного числа как последовательности знаков . . -301 $ 4. Основные подходы к определению комплексных чисел . 308 § 5. Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел 310 § 6. Связь полей вещественных и комплексных чисел." Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение и метрическое пополнение 320 Приложение I (к главе I) 1. Группы, изоморфные прямой и окружности ' . 324 2. Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги 332 Приложение 2 (к главе III) Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величин 341 Приложение 3 (к главе IV) Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений , 346 Приложение 4 Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости § I. Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях 354 § 2. Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях . 366 § 3. Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях 383 |
Loading
|