|
Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей. Иванов О.А.Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей. Иванов О.А.М.: МЦНМО, 2009. — 384 с. Книга состоит из десяти глав, названия большинства из которых вполне традиционны для книг, предназначенных для факультативных занятий по математике. В книге приведены более трёхсот задач, большая часть которых предлагается читателю для самостоятельного решения. Однако в каждой из глав рассматриваются не только элементарные задачи, но и связанная с ними теория. Для старшеклассников школ с углублённым изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и её преподаванием.
Формат: djvu / zip Размер: 4,4 Мб
Оглавление: Предисловие {А. С. Меркурьев) 7Введение 9 ГЛАВА 1. Индукция 17 §1.1. Рассуждения «по индукции» 17 §1.2. Метод математической индукции 19 §1.3. Принцип математической индукции 23 §1.4. Аксиоматика Пеано 25 §1.5. Сложение, порядок и умножение 27 §1.6. Число элементов множества 31 Дополнительные задачи 33 Комментарии педагогического характера 34 Решения упражнений 36 ГЛАВА 2. Комбинаторика 40 §2.1. Элементарные задачи 40 §2.2. Числа сочетаний и рекуррентные соотношения 45 §2.3. Задача о перечислении графов 50 §2.4. Перестановки, размещения, сочетания 51 §2.5. Метод производящих функций 55 §2.6. Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов 57 §2.7. Теорема Эйлера 59 §2.8. Числа Каталана 64 §2.9. Число ячеек n-мерного пространства 66 Дополнительные задачи 69 Комментарии педагогического характера 71 Решения упражнений 72 ГЛАВА 3. Целые числа 79 §3.1. Элементарные задачи на делимость 79 §3.2. Алгоритм Евклида 83 §3.3. Сравнения по модулю и кольца вычетов 85 §3.4. Теоремы Ферма и Эйлера 88 §3.5. Распределение простых чисел 91 §3.6. Арифметические функции 93 §3.7. Алгебраические уравнения над кольцами вычетов 96 §3.8. Шифры с открытым ключом 99 §3.9. Множество целых чисел 100 §3.10. Кольца, поля, группы 102 Дополнительные задачи 106 Комментарии педагогического характера 107 Решения упражнений 107 ГЛАВА 4. Геометрические преобразования 113 §4.1. Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах 113 §4.2. Композиции в задачах 116 §4.3. Группа движений плоскости 121 §4.4. Алгебраические свойства геометрических фигур. 125 §4.5. Координатные представления геометрических преобразований 128 §4.6. Орнаменты 134 Дополнительные задачи 137 Комментарии педагогического характера 139 Решения упражнений 140 ГЛАВА 5. Неравенства 145 §5.1. Средние двух чисел 145 §5.2. Неравенства и тождественные преобразования 149 §5.3. Неравенство Коши—Буняковского 152 §5.4. Неравенство Коши 153 §5.5. Теорема Мюрхеда 155 §5.6. Различные доказательства неравенства Коши 159 §5.7. Неравенство Йенсена 163 §5.8. Классические неравенства и геометрия 166 §5.9. Нормы и шары в Шп 169 §5.10. Интегральные варианты классических неравенств 172 Дополнительные задачи 174 Комментарии педагогического характера 176 Решения упражнений 176 ГЛАВА 6. Графы 185 §6.1. Начало теории графов 185 §6.2. Понятия и определения 189 §6.3. Паросочетания 192 §6.4. Деревья 195 §6.5. Формула Эйлера и эйлерова характеристика 198 §6.6. Формула Пика 200 §6.7. Теорема Жордана 203 §6.8. Графы для самых маленьких 205 §6.9. Двоичные кучи 207 Дополнительные задачи 211 Комментарии педагогического характера 213 Решения упражнений 214 ГЛАВА 7. Принцип Дирихле 219 §7.1. Клетки и кролики 219 §7.2. Комбинаторные теоремы существования 222 §7.3. Плотные подмножества в R 225 §7.4. Лемма Минковского 229 §7.5. Суммы двух и четырех квадратов 231 Дополнительные задачи 234 Решения упражнений 235 ГЛАВА 8. Комплексные числа и многочлены 239 §8.1. Многочлены: делимость и разложения на множители 239 §8.2. Определение поля комплексных чисел 241 §8.3. Комплексные числа в задачах 245 §8.4. Комплексные числа и геометрия 248 §8.5. Доказательство Конна теоремы Морли 252 §8.6. Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля С 255 §8.7. Формула Эйлера 258 §8.8. Быстрое преобразование Фурье 260 Дополнительные задачи 263 Решения упражнений 265 ГЛАВА 9. Рациональные приближения 269 §9.1. Хорошие приближения числа уД 269 §9.2. Задача о саде и ряды Фарея 272 §9.3. Цепные дроби 277 §9.4. Квадратичные иррациональности 284 §9.5. Поле Q и поля частных 288 §9.6. Числа алгебраические и трансцендентные 290 Дополнительные задачи 296 Комментарии педагогического характера 297 Решения упражнений 297 ГЛАВА 10. Математика и компьютер 305 §10.1. Введение в предмет 305 §10.2. Визуализация математических фактов и методов 310 §10.3. Анализ результата, или: «Как сделать открытие» .... 316 §10.4. Хаос, хаос 321 Дополнительные задачи 326 Комментарии педагогического характера 327 Решения упражнений 327 Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа 332 Решения дополнительных задач 340 К главе 1 340 К главе 2 344 К главе 3 349 К главе 4 352 К главе 5 358 К главе 6 361 К главе 7 365 К главе 8 367 К главе 9 370 К главе 10 373 Список литературы 377 Именной указатель 379 Предметный указатель 380 |
Loading
|