|
Арнольд В.И. Математические методы классической механикиАрнольд В.И. Формат: DJVU ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию................. 6 Иа предисловия к первому изданию................ 9 ЧАСТЬ I НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА Глава 1. Экспериментальные факты.............. И § 1. Принципы относительности и детерминированности...... 11 § 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона.......... 12 § 3. Примеры механических систем.............. 18 Глава 2. Исследование уравнений движения.......... 21 § 4. Системы с одной степенью свободы............ 21 § 5. Системы с двумя степенями свободы............ 26 § 6. Потенциальное силовое поле................ 30 § 7. Кинетический момент................... 32 § 8. Исследование движения в центральном поле........ 34 § 9. Движение точки в трехмерном пространстве........ 42 § 10. Движение системы п точек................ 44 § 11. Соображения подобия................... 50 ЧАСТЬ II ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА Глава 3. Вариационный принцип................ 52 § 12. Вариационное исчисление................ 53 § 13. Уравнения Лагранжа................... 56 § 14. Преобразование Лежандра................ 59 § 15. Уравнения Гамильтона.................. 61 § 16. Теорема Лиувилля.................... 64 Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях........ 70 § 17. Голономные связи.................... 70 § 18. Дифференцируемые многообразия............. 72 § 19. Лагранжева динамическая система............ 77 § 20. Теорема Нётер...................... 81 § 21. Принцип Даламбера.................... 84 Глава 5. Колебания....................... 90 § 22. Линеаризация...................... 90 § 23. Малые колебания...................... 94 § 24. О поведении собственных частот.............. 99 § 25. Параметрический езонанс................ 102 Глава 6. Твердое тело..................... Ш § 26. Движение в подвижной системе координат......... 111 § 27. Силы инерции. Сила Кориолиса.............. 115 § 28. Твердое тело....................... 119 § 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо....... 127 § 30. Волчок Лагранжа.................... 131 § 31. Спящий волчок и быстрый волчок............ 136 ЧАСТЬ III ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Глава 7. Дифференциальные формы............... 142 § 32. Внешние формы..................... 143 § 33. Внешнее умножение.................... 148 § 34. Дифференциальные формы................. 152 § 35. Интегрирование дифференциальных форм......... 158 § 36. Внешнее дифференцирование............... 164 Глава 8. Симплектические многообразия............. 175 § 37. Симплектическая структура на многообразии....... 175 § 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты .......................... 177 § 39. Алгебра Ли векторных полей............... 181 § 40. Алгебра Ли функций Гамильтона............. 187 § 41. Симплектическая геометрия................ 191 § 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы......................... 197 § 43. Симплектический атлас................. 201 Глава 9. Канонический формализм................ 205 § 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана......... 205 § 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана........................ 211 § 46. Принцип Гюйгенса.................... 218 § 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений Гамильтона................... 226 § 48. Производящие функции.................. 234 Глава 10. Введение в теорию возмущений........... 238 § 49. Интегрируемые системы.................. 238" § 50. Переменные действие — угол............... 245 § 51. Усреднение........................ 250 § 52. Усреднение вовмущений.................. 256 ДОБАВЛЕНИЯ Добавление 1. Риманова кривизна................. 266 Добавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах Ли и гидродинамика идеальной жидкости............ 283 Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических многообразиях ............................ 308 Добавление 4. Контактные структуры.............. 314 Добавление 5. Динамические системы с симметрией....... 337 Добавление 6. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов 347 Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи неподвижных точек и замкнутых траекторий.......... 351 ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Добавление 8. Теория возмущений условно-периодических движений и теорема Колмогорова................... 365 Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобщения и приложения.......................... 384 Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров....................... 393 Добавление 11. Коротковолновые асимптотики........... 406 Добавление 12. Лагранжевы особенности............ 415 Добавление 13. Пуассоновы структуры............... 422 Добавление 14. Об эллиптических координатах.......... 435 Добавление 15. Особенности систем лучей............. 445 Добавление 16. Уравнение Кортевега—де Фриза.......... 465 Предметный указатель....................... 469 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже химии, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. Необыкновенно далеко продвинулось исследование интегрируемых задач гамильтоновой динамики. Было открыто неожиданно большое число интегрируемых динамических систем, изучение которых привело к неожиданным и взаимообогащающим связям этих вопросов с трудными проблемами алгебраической геометрии и математической физики. Большие успехи достигнуты за последние годы в симплектической топологии. Здесь прежде всего выделяется доказательство теоремы о неподвижных точках симплектических диффеоморфизмов, обобщающей «геометрическую теорему» Пуанкаре (добавление 9), полученное в 1983 г. Ш. Конли и Э. Цендером. За этим доказательством последовали работы М. Шаперона, А. Вейн-стейна, Ж.-К. Сикорава, М. Громова, Ю. Чеканова, Флоера, Витербо, Хофера и др. Я надеюсь, что в этой интенсивно развивающейся сейчас области вскоре будет достигнут еще больший прогресс, который приведет к доказательству сформулированных и открытию новых теорем симплектической и контактной топологии — новой области математики, вызванной к жизни вопросами механики и оптики. В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). Более подробное изложение теории возмущений читатель найдет в книге «Математические аспекты классической и небесной механики» В. И. Арнольда, А. И. Нейштадта и В. В. Козлова, составляющий третий том энциклопедической серии «Современная математика. Фундаментальные направления» (М.: ВИНИТИ, 1985). Четвертый том этой же серии содержит обзор современного состояния симплектической геометрии (В. И. Арнольд, А. Б. Ги-венталь), статью А. А. Кириллова о геометрическом квантовании и обзор С. П. Новикова с соавторами о развитии теории интегрируемых систем, лишь затронутом в настоящей книге. Вопросы геометрии систем лучей подробно обсуждаются в двухтомнике В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений» (т. I.—М.: Наука, 1982; т. II.—М.: Наука, 1984), и в книге В. И. Арнольда «Теория катастроф» (3-е издание.— М.: Наука, 1990, с обширной библиографией). Обзоры по симплектической и контактной геометрии и их приложениям опубликованы в трудах семинара Н. Бурбаки (доклад Д. Беннекена «Мистические каустики» в феврале 1986 г.) и в ряде статей (Арнольд В. И. Первые шаги симплектической топологии // УМН.—1986.—Т. 41, вып. 6.— С. 3—18; Особенности систем лучей // УМН.—1983.— Т. 38, вып. 2.— С. 77—147; Особенности в вариационном исчислении // Современные проблемы математики.— ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22.— С. 3-55; Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений // УМН.— 1988.— Т. 43, вып. 3.— С. 125—160). Выпуски 22 и 33 серии «Итоги науки. Современные проблемы математики» (М.: ВИНИТИ, 1983 и 1988) содержат обширный дополнительный материал по приложениям симплектической и контактной геометрии к исследованию вариационных задач, а тем самым — к механике, оптике, теории оптимального управления и т. д. Теория бифуркаций и теория возмущений (не только гамиль-тоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978 (английское издание: Arnold V. I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations.— Springer, 1988.— 325 p.— значительно полнее). Новую информацию содержат также доклад «Теория бифуркаций и ее приложения в математике и механике» на XVII Международном конгрессе по "теоретической и прикладной механике, Гренобль, 1988 г. и обзор В. И. Арнольда, В. С. Афраймовича, Ю. С. Ильяшенко и Л. П. Шильникова и также весь выпуск «Динамические системы-5» энциклопедической серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления» (М.: ВИНИТИ, 1986). Второй выпуск этой серии, написанный Д. В. Аносовым, Я. Г. Синаем и др., посвящен зргодическим проблемам теории динамических систем, в том числе механических. Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления. В. И. Арнольд Ноябрь 1988 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы). С помощью этого аппарата разбираются все основные вопросы динамики системы, включая теорию колебаний, теорию движения твердого тела и гамильтонов формализм. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону явлений. В этом отношении книга ближе к курсам теоретической механики для физиков-теоретиков, чем к традиционным курсам теоретической механики, читаемым математикам. Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», Ф. Клейн писал, что «физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего». Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механики, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналитической динамики. Связи классической механики с другими отделами математики и физики многочисленны и разнообразны. «Добавления» в конце. |
Loading
|