Центральный Дом Знаний - Арнольд В.И. Математические методы классической механики

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Я учусь (закончил(-а) в
Всего ответов: 2653

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Арнольд В.И. Математические методы классической механики

Арнольд В.И. 

Формат: DJVU
Размер: 4,98 Мб
Качество: Нормальное
Язык: Русский
Год издания: 1989

Книга отличается от имеющихся учебников механики большей, чем это обычно принято, связью с современной математикой. Особенное внимание обращено на взаимно обогащающее взаимодействие идей механики и геометрии многообразии. В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов формализм). Много внимания уделено качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты). Для студентов университетов и вузов с расширенной программой по математике, а также преподавателей и научных работников.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию................. 6

Иа предисловия к первому изданию................ 9

ЧАСТЬ I НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА

Глава 1. Экспериментальные факты.............. И

§ 1. Принципы относительности и детерминированности...... 11

§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона.......... 12

§ 3. Примеры механических систем.............. 18

Глава 2. Исследование уравнений движения.......... 21

§ 4. Системы с одной степенью свободы............ 21

§ 5. Системы с двумя степенями свободы............ 26

§ 6. Потенциальное силовое поле................ 30

§ 7. Кинетический момент................... 32

§ 8. Исследование движения в центральном поле........ 34

§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве........ 42

§ 10. Движение системы п точек................ 44

§ 11. Соображения подобия................... 50

ЧАСТЬ II ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА

Глава 3. Вариационный принцип................ 52

§ 12. Вариационное исчисление................ 53

§ 13. Уравнения Лагранжа................... 56

§ 14. Преобразование Лежандра................ 59

§ 15. Уравнения Гамильтона.................. 61

§ 16. Теорема Лиувилля.................... 64

Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях........ 70

§ 17. Голономные связи.................... 70

§ 18. Дифференцируемые многообразия............. 72

§ 19. Лагранжева динамическая система............ 77

§ 20. Теорема Нётер...................... 81

§ 21. Принцип Даламбера.................... 84

Глава 5. Колебания....................... 90

§ 22. Линеаризация...................... 90

§ 23. Малые колебания...................... 94

§ 24. О поведении собственных частот.............. 99

§ 25. Параметрический езонанс................ 102

Глава 6. Твердое тело..................... Ш

§ 26. Движение в подвижной системе координат......... 111

§ 27. Силы инерции. Сила Кориолиса.............. 115

§ 28. Твердое тело....................... 119

§ 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо....... 127

§ 30. Волчок Лагранжа.................... 131

§ 31. Спящий волчок и быстрый волчок............ 136

ЧАСТЬ III ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА

Глава 7. Дифференциальные формы............... 142

§ 32. Внешние формы..................... 143

§ 33. Внешнее умножение.................... 148

§ 34. Дифференциальные формы................. 152

§ 35. Интегрирование дифференциальных форм......... 158

§ 36. Внешнее дифференцирование............... 164

Глава 8. Симплектические многообразия............. 175

§ 37. Симплектическая структура на многообразии....... 175

§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инвари­анты .......................... 177

§ 39. Алгебра Ли векторных полей............... 181

§ 40. Алгебра Ли функций Гамильтона............. 187

§ 41. Симплектическая геометрия................ 191

§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степеня­ми свободы......................... 197

§ 43. Симплектический атлас................. 201

Глава 9. Канонический формализм................ 205

§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана......... 205

§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанка­ре — Картана........................ 211

§ 46. Принцип Гюйгенса.................... 218

§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических

уравнений Гамильтона................... 226

§ 48. Производящие функции.................. 234

Глава 10. Введение в теорию возмущений........... 238

§ 49. Интегрируемые системы.................. 238"

§ 50. Переменные действие — угол............... 245

§ 51. Усреднение........................ 250

§ 52. Усреднение вовмущений.................. 256

ДОБАВЛЕНИЯ

Добавление 1. Риманова кривизна................. 266

Добавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах

Ли и гидродинамика идеальной жидкости............ 283

Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических мно­гообразиях ............................ 308

Добавление 4. Контактные структуры.............. 314

Добавление 5. Динамические системы с симметрией....... 337

Добавление 6. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов 347 Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи

неподвижных точек и замкнутых траекторий.......... 351

ОГЛАВЛЕНИЕ 5

Добавление 8. Теория возмущений условно-периодических движе­ний и теорема Колмогорова................... 365

Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобщения

и приложения.......................... 384

Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, завися­щие от параметров....................... 393

Добавление 11. Коротковолновые асимптотики........... 406

Добавление 12. Лагранжевы особенности............ 415

Добавление 13. Пуассоновы структуры............... 422

Добавление 14. Об эллиптических координатах.......... 435

Добавление 15. Особенности систем лучей............. 445

Добавление 16. Уравнение Кортевега—де Фриза.......... 465

Предметный указатель....................... 469


ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых ос­нована книга, нашли многочисленные применения как в матема­тической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие тео­рии коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже химии, и одновре­менное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек.

Необыкновенно далеко продвинулось исследование интегри­руемых задач гамильтоновой динамики. Было открыто неожиданно большое число интегрируемых динамических систем, изучение которых привело к неожиданным и взаимообогащающим связям этих вопросов с трудными проблемами алгебраической геометрии и математической физики.

Большие успехи достигнуты за последние годы в симплекти­ческой топологии. Здесь прежде всего выделяется доказательство теоремы о неподвижных точках симплектических диффеоморфиз­мов, обобщающей «геометрическую теорему» Пуанкаре (добав­ление 9), полученное в 1983 г. Ш. Конли и Э. Цендером. За этим доказательством последовали работы М. Шаперона, А. Вейн-стейна, Ж.-К. Сикорава, М. Громова, Ю. Чеканова, Флоера, Витербо, Хофера и др. Я надеюсь, что в этой интенсивно разви­вающейся сейчас области вскоре будет достигнут еще больший прогресс, который приведет к доказательству сформулированных и открытию новых теорем симплектической и контактной топо­логии — новой области математики, вызванной к жизни вопро­сами механики и оптики.

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особен­ностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с тео­рией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспо­собленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобще­ний симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются).

Более подробное изложение теории возмущений читатель найдет в книге «Математические аспекты классической и небесной меха­ники» В. И. Арнольда, А. И. Нейштадта и В. В. Козлова, со­ставляющий третий том энциклопедической серии «Современная математика. Фундаментальные направления» (М.: ВИНИТИ, 1985). Четвертый том этой же серии содержит обзор современного со­стояния симплектической геометрии (В. И. Арнольд, А. Б. Ги-венталь), статью А. А. Кириллова о геометрическом квантовании и обзор С. П. Новикова с соавторами о развитии теории интегри­руемых систем, лишь затронутом в настоящей книге.

Вопросы геометрии систем лучей подробно обсуждаются в двух­томнике В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений» (т. I.—М.: Наука, 1982; т. II.—М.: Наука, 1984), и в книге В. И. Арнольда «Теория катастроф» (3-е издание.— М.: Наука, 1990, с обширной библио­графией).

Обзоры по симплектической и контактной геометрии и их при­ложениям опубликованы в трудах семинара Н. Бурбаки (доклад Д. Беннекена «Мистические каустики» в феврале 1986 г.) и в ряде статей (Арнольд В. И. Первые шаги симплектической то­пологии // УМН.—1986.—Т. 41, вып. 6.— С. 3—18; Особенности систем лучей // УМН.—1983.— Т. 38, вып. 2.— С. 77—147; Осо­бенности в вариационном исчислении // Современные проблемы математики.— ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22.— С. 3-55; Щер­бак О. П. Волновые фронты и группы отражений // УМН.— 1988.— Т. 43, вып. 3.— С. 125—160).

Выпуски 22 и 33 серии «Итоги науки. Современные проблемы математики» (М.: ВИНИТИ, 1983 и 1988) содержат обширный дополнительный материал по приложениям симплектической и контактной геометрии к исследованию вариационных задач, а тем самым — к механике, оптике, теории оптимального управ­ления и т. д.

Теория бифуркаций и теория возмущений (не только гамиль-тоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обык­новенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978 (английское издание: Arnold V. I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Springer, 1988.— 325 p.— значительно полнее). Новую информацию содержат также доклад «Теория бифуркаций и ее приложения в математике и ме­ханике» на XVII Международном конгрессе по "теоретической и прикладной механике, Гренобль, 1988 г. и обзор В. И. Арнольда, В. С. Афраймовича, Ю. С. Ильяшенко и Л. П. Шильникова и так­же весь выпуск «Динамические системы-5» энциклопедической серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления» (М.: ВИНИТИ, 1986). Второй выпуск этой серии, написанный Д. В. Аносовым, Я. Г. Синаем и др., посвящен зргодическим проблемам теории динамических систем, в том числе механических.

Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребите­лям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления.

В. И. Арнольд

Ноябрь 1988 г.


ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение.

Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не пред­полагается предварительных знаний, выходящих за рамки стан­дартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциаль­ные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы).

С помощью этого аппарата разбираются все основные вопросы динамики системы, включая теорию колебаний, теорию движения твердого тела и гамильтонов формализм. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону явлений. В этом отношении книга ближе к курсам теоретической механики для физиков-теоретиков, чем к традиционным курсам теоретической механики, читаемым математикам.

Значительная часть книги посвящена вариационным прин­ципам и аналитической динамике. Характеризуя аналитическую динамику в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», Ф. Клейн писал, что «физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего». Развитие науки в последующие годы решительно опровергло зто замечание. Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и яв­ляется в настоящее время одним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюй­генса для всевозможных задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное развитие небесной механи­ки, связанное с потребностями космических исследований, привело к новому возрождению интереса к методам и задачам аналити­ческой динамики.

Связи классической механики с другими отделами математики и физики многочисленны и разнообразны. «Добавления» в конце.

Loading

Календарь

«  Май 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24