|
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. МонодАрнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотики интегралов. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984.—336 с. Теория особенностей дифференцируемых отображений—бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения в математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Монография является продолжением книги «Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов» тех же авторов, опубликованной издательством «Наука» в 1982 году. Она посвящена семействам комплексных гиперповерхностей, асимптотике интегралов многомерных методов стационарной фазы и перевала, приложениям методов алгебраической геометрии к исследованию критических точек функций. Для математиков — научных работников, аспирантов, а также для специалистов в области механики, физики, техники и других наук, интересующихся теорий особенностей дифференцируемых отображений.
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является продолжением книги А р-н о л ь д В. И., В а р ч е н к о А. Н., Г у с е й н-3 а д е СМ. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов.— М.: Наука, 1982 г. (при ссылках в тексте эта книга обозначается ОДО-1). Если предыдущая книга содержала начала зоологии особенностей дифференцируемых отображений, т. е. была посвящена описанию того, где и какие особенности могут встречаться, то эта книга содержит элементы анатомии и физиологии особенностей дифференцируемых функций. Это означает, что в ней рассматриваются вопросы строения особенностей и их функционирования.. Другой отличительной чертой настоящей книги является упор на вопросы, для которых важен выход в комплексную область, в то время как первая часть посвящена темам, для большинства из которых не существенно, над каким полем (вещественным или комплексным) они рассматриваются. Такие вопросы, как, например, распадение особенностей, связь особенностей с алгебрами Ли, асимптотики различных интегралов, зависящих от параметров, становятся яснее в комплексной области. Книга состоит из трех глав. В первой главе рассматривается топологическое строение изолированных критических точек голоморфных функций. Описываются основные топологические характеристики таких критических точек: исчезающие циклы, отмеченные базисы, матрицы пересечений, группы монодромии, оператор вариации — их взаимоотношения и методы вычислений. Вторая глава посвящена исследованию асимптотик интегралов метода стационарной фазы, широко встречающихся в приложениях. Излагаются методы вычисления асимптотик, обсуждаются связи асимптотик с различными характеристиками критических точек фаз интегралов (разрешением особенностей, многогранниками Ньютона), приведены таблицы порядков асимптотик для критических точек фаз, которые расклассифицированы в предыдущей книге (в частности, для простых, унимодальных и бимодальных). Третья глава посвящена интегральному исчислению на многообразиях уровня критической точки голоморфной функции. В ней рассматриваются интегралы голоморфных форм, заданных в окрестности критической точки, по циклам, лежащим на гиперповерхностях уровня функции. Интеграл голоморфной формы по циклу голоморфно изменяется при непрерывной деформации цикла из одной гиперповерхности уровня в другую. Таким образом возникают многозначные голоморфные функции, заданные на комплексной прямой в окрестности критического значения функции. Оказывается, что асимптотики этих функций (т. е. асимптотики интегралов) при стремлении уровня к критическому связаны с разнообразными характеристиками исходной критической точки голоморфной функции. Теория особенностей является обширной и быстро развивающейся областью математики, и мы не стремились затронуть все ее направления. Список литературы содержит работы, непосредственно связанные с текстом (хотя иногда и не цитируемые в нем), а также работы, связанные с предыдущей книгой, но по тем или иным причинам не вошедшие в ее библиографию. Авторы благодарны участникам семинара по теории особенностей МГУ, в особенности — А. М. Габриэлову, А. Б. Гивенталю, А. Г. Кушниренко, Д. Б. Фуксу, А. Г. Хованскому. Авторы благодарны также В. С. Варченко и Т. В. Огородииковой, оказавшим большую помощь при подготовке рукописи к печати. Авторы ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие..........................» . , 3 Глава I. Топологическое строение изолированных критических точек функций......................... 5 Введение.............................. 5 § 1. Элементы теории Пикара — Лефшеца......... 11 § 2. Топология неособого множества уровня и оператор вариации особенности................... 24 § 3. Бифуркационные диаграммы и группа монодромии особенности........................ 50 § 4. Матрицы пересечений особенностей функций двух переменных........................ 86 § 5. Формы пересечений краевых особенностей н топология полных пересечений . . ■............... 103 Г л а в а II. Осциллирующие интегралы......,......... 123 § 6. Обсуждение результатов............... 123 § 7. Элементарные интегралы и разрешение особенностей фазы , '........................ 158 § 8. Асимптотики и многогранники Ньютона........ 170 § 9. Показатели особости, примеры............. 193 Глава III. Интегралы голоморфных форм по исчезающим циклам ... 197 § 10. Простейшие свойства интегралов........... 197 §11. Комплексные осциллирующие интегралы . ....... 216 § 12. Интегралы и дифференциальные уравнения...... 229 § 13. Коэффициенты разложений в ряд интегралов, весовая и ходжева фильтрации, спектр критической точки .... 253 § 14. Смешанная структура Ходжа изолированной критической точки голоморфной функции. . ............ 278 § 15. Отображение периодов и форма пересечений ..... 306 Литература............................. 321 |
Loading
|