Сборник задач по высшей математике
Минорский В.П.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 336с.
Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.
- ОГЛАВЛЕНИЕ:
- ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ....................... .......... 8
- От редакции .................................................................................................... .......... 8
- Глава 1. Аналитическая геомегрия на плоскости ............................ ...... 9
- § 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние
- между двумя точками.......................................................................... .......... 9
-
§2. Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треуголь
ника и многоугольника........................................................................ ......... 11 -
§3. Уравнение линии как
геометрического места точек
.......................... 12
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) об
щее, 3) в отрезках на осях.............................................................................. ........ 14 - §5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через
- данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- Точка пересечения двух
- прямых ............................................................................................... ........ 16
- §6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения
- биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения
- двух данных прямых ............................................................................................ 19
- §7. Смешанные задачи на прямую.............................................................. ........ 21
- § 8. Окружность.......................................................................................... ........ 22
- §9. Эллипс..................................................................................................... ........ 24
- § 10. Гипербола............................................................................................... ........ 26
- §11. Парабола.................................................................................................. ........ 29
- § 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго
- порядка .............................................................................................. ........ 32
- § 13. Преобразование декартовых координат. Параболы у =
- = ах2 + Ьх + с и х = ay2 + by + с. Гипербола ху = к . . . 35
- § 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка................................. ........ 38
- § 15. Общее уравнение линии второго порядка.......................................... ........ 40
- § 16. Полярные координаты ...................................................................... ........ 44
- § 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков . . 48
- § 18. Трансцендентные кривые .................................................................. ........ 49
- Глава 2. Векторная алгебра........................................................................ ........ 51
-
§ 1. Сложение векторов. Умножение
вектора на скаляр
.... 51
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора - в пространстве...................................................................................... ........ 53
- §3. Скалярное произведение двух векторов............................................. ........ 55
- § 4. Векторное произведение двух векторов ........................................ ........ 58
- §5. Смешанное произведение трех векторов............................................. ........ 60
- Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве ......................... 62
- § 1. Уравнение плоскости ........................................................................ 62
- §2. Основные задачи на плоскость .......................................................... 63
- § 3. Уравнения прямой................................................................................ 65
- § 4. Прямая и плоскость.............................................................................. 68
- §5. Сферические и цилиндрические поверхности...................................... 70
- §6. Конические поверхности и поверхности вращения .... 72
- § 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды......................................... 74
- Глава 4. Высшая алгебра ......................................................................... 78
- § 1. Определители........................................................................................ 78
- §2. Системы линейных уравнений............................................................... 80
- §3. Комплексные числа................................................................................ 83
- § 4. Уравнения высших степеней и приближенное решение
- уравнений.............................................................................................. 86
- Глава 5. Введение в анализ......................................................................... 90
- § 1. Переменные величины и функции....................................................... 90
-
§2. Пределы последовательности
и функции. Бесконечно ма
лые и бесконечно большие................................................................... 93 - §3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей
- 0 °° 97
- вида - и —.............................................................................................. 97
- 0 оо
- Sill Q(
- § 4. Предел отношения ---------- при а —У 0 ........................................ 98
- а
- § 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо........................................... 99
- §6. Смешанные примеры на вычисление пределов................................... 100
- §7. Сравнение бесконечно малых................................................................ 101
- §8. Непрерывность функции...................................................................... 102
- § 9. Асимптоты ......................................................................................... 105
- § 10. Число е ................................................................................................ 106
- Глава 6. Производная и дифференциал .............................................. 108
- § 1. Производные алгебраических и тригонометрических
- функций................................................................................................. 108
- §2. Производная сложной функции........................................................... 110
- §3. Касательная и нормаль к плоской кривой........................................... 111
- §4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции . . 113
- §5. Производные логарифмических и показательных функций 114
- §6. Производные обратных тригонометрических функций . . 116
- §7. Производные гиперболических функций ........................................ 117
- § 8. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование . 118
- §9. Производные высших порядков........................................................... 119
- § 10. Производная неявной функции............................................................ 121
- §11. Дифференциал функции......................................................................... 123
- § 12. Параметрические уравнения кривой................................................... 124
- Глава 7. Приложения производной ....................................................... 127
- § 1. Скорость и ускорение.......................................................................... 127
- §2. Теоремы о среднем ............................................................................ 128
- §3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя .... 131
- § 4. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум 133
-
§ 5. Задачи о наибольших и
наименьших значениях
величин 136
§ 6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. - Построение кривых.............................................................................. 138
- Глава 8. Неопределенный интеграл......................................................... 140
- § 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 140
- §2. Интегрирование подстановкой и непосредственное .... 142
- §3. Интегралы вида j -^-j, j -/===, j -/==
- и к ним приводящиеся.......................................................................... 145
- § 4. Интегрирование по частям................................................................... 147
- §5. Интегрирование тригонометрических функций.................................. 148
-
§6. Интегрирование рациональных
алгебраических функций................. 150
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраиче
ских функций................................................................................................... 152 -
§8. Интегрирование некоторых
трансцендентных
функций..................... 155
§9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболи
ческие подстановки......................................................................................... 156 - § 10. Смешанные примеры на интегрирование............................................. 157
- Глава 9. Определенный интеграл ......................................................... 160
- § 1. Вычисление определенного интеграла................................................ 160
- §2. Вычисление площадей ........................................................................ 163
- §3. Объем тела вращения............................................................................. 165
- § 4. Длина дуги плоской кривой................................................................. 167
- §5. Площадь поверхности вращения.......................................................... 169
- § 6. Задачи из физики................................................................................... 170
- § 7. Несобственные интегралы.................................................................... 172
- §8. Среднее значение функции.................................................................... 175
- §9. Формула трапеций и формула Симпсона............................................ 176
- Глава 10. Кривизна плоской и пространственной кривой .... 178
- § 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны.
- Эволюта................................................................................................. 178
- §2. Длина дуги кривой в пространстве...................................................... 180
-
§3. Производная вектор-функции по скаляру
и ее механиче
ское и геометрическое значение. Естественный трех
гранник кривой ................................................................................. 180 - § 4. Кривизна и кручение пространственной кривой .......................... 183
- Глава 11. Частные производные, полные дифференциалы
- и их приложения ................................................................... 185
-
§ 1. Функции двух переменных и их
геометрическое изобра
жение ..................................................................................................... 185 - §2. Частные производные первого порядка .......................................... 187
- §3. Полный дифференциал первого порядка............................................ 189
- §4. Производные сложных функций ...................................................... 191
- §5. Производные неявных функций........................................................... 192
- § 6. Частные производные и полные дифференциалы высших
- порядков................................................................................................ 194
- § 7. Интегрирование полных дифференциалов......................................... 198
- §8. Особые точки плоской кривой.............................................................. 199
- §9. Огибающая семейства плоских кривых................................................ 200
- § 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................... 201
- §11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.
- Производная в данном направлении. Градиент................................. 203
- § 12. Экстремум функции двух переменных................................................ 205
- Глава 12. Дифференциальные уравнения .......................................... 207
- § 1. Понятие о дифференциальном уравнении.......................................... 207
- § 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
- переменными. Ортогональные траектории . . . 208
- § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:
- 1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли........................................... 211
-
§ 4. Дифференциальные уравнения,
содержащие дифферен
циалы произведения и частного........................................................... 213 - § 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных
- дифференциалах. Интегрирующий множитель .............................. 213
-
§6. Дифференциальные уравнения
первого порядка, не раз
решенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро................................................................................. 215 -
§ 7. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допус
кающие понижение порядка................................................................. 217 - §8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- постоянными коэффициентами............................................................ 218
- §9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- с постоянными коэффициентами.......................................................... 219
- § 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221
- § 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера хпу^п' +
- + mi-'-V"-11 + • • • + ап_1ху1 + апу = f(x) ........................................... 222
-
§ 12. Системы линейных дифференциальных
уравнений с по
стоянными коэффициентами ............................................................ 223 -
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
в частных про
изводных второго порядка (метод характеристик)............................ 224 - Глава 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы . . 226
-
§ 1. Вычисление площади с
помощью двойного интеграла .
................. 226
§ 2. Центр масс и момент инерции площади с равномерно рас
пределенной массой (при плотности /i = 1)................................................... 228 - §3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла . . . 230
- §4. Площади кривых поверхностей............................................................ 231
- §5. Тройной интеграл и его приложения ............................................... 232
- §6. Криволинейный интеграл. Формула Грина......................................... 234
- § 7. Поверхностные интегралы.
- Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса .................................. 238
- Глава 14. Ряды................................................................................................ 242
- § 1. Числовые ряды...................................................................................... 242
- §2. Равномерная сходимость функционального ряда............................... 245
- §3. Степенные ряды..................................................................................... 247
- § 4. Ряды Тейлора и Маклорена................................................................. 249
- §5. Приложения рядов к приближенным вычислениям .... 251
- §6. Ряд Тейлора для функции двух переменных....................................... 254
- § 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье............................................................... 255
- Ответы ........................................................................................................... 260
- Приложение. Некоторые кривые (для справок) ........................................ 332
-