Аксиома

АКСИОМА — отправное, исходное положение, лежащее в основе доказательств других положений (теорем) научной теории, которое в пределах этой научной теории не доказывается. Распространённое в старых учебниках формальной логики определение, по к-рому А. «не нуждаются в доказательстве в силу их очевидности», неудовле­творительно, т. к. требование «очевидности» имеет субъективный характер; к тому же среди теорем, доказываемых па основе А., часто встречаются пред­ложения более очевидные, чем сами А. Аксиомы не являются непреложными и неизменными: они в про­цессе историч. развития знания подлежат проверке, уточнению на опыте и обоснованию. Поэтому харак­терный для многих течений идеалистич. философии взгляд на А. как па вечные, «априорные» истины, не связанные с опытом, — ложен.

Полное выяснение роли и подлинного значения А. в науке сделалось возможным только с позиций диалектич. материализма. Диалектич. материализм доказал опытное происхождение всех А., как и всего человеческого знания вообще. По поводу происхождения аксиом Ленин писал: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, д а б ы эти фигуры могли получить значение а к с и о м» (Л е н и н, Философ­ские тетради, 1947, стр. 164). Вместе с тем диалектич. материализм доказал также относительный харак­тер А., на каждой ступени историч. развития по­знания выражающих достигнутый продел приближе­ния наших знаний к объективной, абсолютной истине.

Практика, включающая в себя производственно-технич. деятельность и эксперимент, служит кри­терием всякого истинного познания природы и, в частности, вопроса об истинности А.

Чёткое разграничение между А. и доказываемыми па их основе теоремами свойственно наукам, в к-рых преобладает дедуктивная система изложе­ния, т. е. в первую очередь математике и в мень­шей степени — математич. естествознанию (механике, теоретич. физике).

Аксиомы геометрии. Первое представление о ро­ли А. в построении дедуктивной научной теории проще всего получить из обычного школьного курса геометрии. Это соответствует историч. порядку раз­вития науки, т. к. именно на примере геометрии древнегреч. математиками было впервые с извест­ным приближением осуществлено строго логическое дедуктивное построение обширной науки на основе небольшого числа чётко сформулированных в самом начале исходных предложений. Создание логического курса геометрии, построенного на определённой си­стеме А., было, несомненно делом нескольких поколе­ний греч. математиков (известны упоминания о «Нача­лах геометрии» Гиппократа Хиосского, жившего во 2-й пол. 5 в. до н. э., Э в д о к с а и нек-рых других авторов). Сохранилось и оказало решающее влияние на развитие математики в даль­нейшие эпохи изложение геометрии, данное в «На­чалах» Эвклида (начало 3 в. до н. э.). С современной точки зрения аксиомами следует считать как пред­ложения, к-рые сам Эвклид называл «общими поня­тиями», так и предложения, называемые у Эвклида «постулатами». Среди А., положенных Эвклидом в основу геометрии, нек-рые относятся, по существу, к общему учению о величинах. Таковы А.: 1) «рав­ные порознь третьему, равны между собой»; 2) «и если к равным придадим равные, то получим равные»; 3)  «и если от равных отнимем равные, то получим равные».

Под названием «постулатов» Эвклид вводит сле­дующие собственно геометрич. А.: 1) нужно потре­бовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; 2) ичтобы каждую ограниченную прямую можно было продол­жить неопределённо; 3) и чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом; 4)  и чтобы все прямые углы были равны; 5) и чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние одно­сторонние углы, сумма к-рых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с к-рой эта сумма меньше двух прямых.

Эвклидовы А. геометрии много раз пересматри­вались и дополнялись, но всё же они являются про­образом систем А., с к-рых начинается большинство современных курсов элементарной геометрии. На­пример А., помещающаяся теперь обычно на первом месте: «Через любые две точки можно провести пря­мую линию и притом только одну», соответствует частью первым двум постулатам Эвклида, частью же А., добавленной в качестве девятой еще древними комментаторами Эвклида: «И две прямые не мо­гут заключать пространства».

Со строго научной точки зрения не только А. (и постулаты) Эвклида, но и обычный для современных элементарных учебников набор А. геометрии нельзя признать вполне удовлетворительным. Как у Эвклида, так и в современных элементарных учебниках, даль­нейшее изложение, помимо А. и правил логики, использует некоторые не высказываемые явно и не доказываемые дополнительные геометрические допущения. Свободное от этого недостатка изложение всей системы теорем эвклидовой геометрии было соз­дано лишь на границе 19 и 20 вв. Оно обычно препода­ётся в наших университетах и педагогич. институтах в виде особого курса под названием «Основания геометрии». Наиболее известное изложение основа­ний геометрии, созданное Гильбертом, опи­рается на двадцать А. Некоторые из них воспроиз­водят в изменённой и иногда уточнённой форме аксиомы Эвклида, нек-рые же другие отражают зна­чительно возросшие современные требования логи­ческой строгости и показались бы греческим мате­матикам не заслуживающими упоминания. Например Гильберт вводит специальную А., утверждающую, что «среди трёх точек прямой существует только одна, лежащая между двумя другими» (т.е. если Л лежит между В и С, то В не может лежать между Л и С, а С не может лежать между А и В). Зато из системы дксиом Гильберта всё здание эвклидовой (элементар­ной) геометрии действительно может быть выведено чисто логической дедукцией, без всякого добавления неявно подразумеваемых предположений и наглядно-геометрических представлений.

При любой системе построения геометрии А. долж­ны быть выбраны так, чтобы из них чисто логиче­скими средствами можно было вывести всю совокуп­ность геометрич. теорем. Кроме того, обычно стре­мятся, чтобы среди них пе было излишних для до­стижения этой цели и чтобы ни одна из А. не была следствием остальных (если это последнее требование выполнено, то говорят, что А. «независимы» друг от друга.

Помимо указанных сейчас формально-логических требований, обычно при изложении элементарной геометрии стремятся к возможно большей нагляд­ной «очевидности» А. Но менее существенным тре­бованием является такой выбор А., при к-ром всё дальнейшее развитие теории делается наиболее последовательным и простым. Однако соблюдение всех этих требований не определяет еще выбора системы А. единственным образом. Особенно широко с давних пор изучались возможности замены пятого постулата Эвклида различными другими предложе­ниями. Например, из этого постулата и из дру­гих обычных А. можно вывести, что: а) через точ­ку Л, лежащую вне прямой а, в соединяющей их плоскости можно пронести только одну прямую, к-рая не пересекает а; б) сумма углов треугольника равна двум прямым; в) существует хотя бы один треуголь­ник, сумма углов к-рого равна двум прямым; г) суще­ствуют два подобных, но не равных треугольника. Обратно, каждое из этих предложений (а—г) в соеди­нении с другими обычными А. геометрии (не включая пятый постулат) даёт возможность вывести пятый по­стулат. Иначе говоря, если одно из этих предло­жений принять за А., то пятый постулат и осталь­ные предложения (а—г) превратятся в доказуемые теоремы.

Решающее значение имеет лишь сама система гео­метрич. истин, вопрос же о том, какие из них следует принять за А. с тем, чтобы из них вывести все другие в качестве теорем,— является второстепенным. За­мечательна, тем не менее!, сама возможность постро­ить всё богатое содержанием здание эвклидовой геометрии на основе очень небольшого числа крайне элементарных исходных положений, действительно обладающих очень большой наглядной убедитель­ностью и даже представляющихся нашему геометрич. воображению совершенно неизбежными.

Это обстоятельство еще у древнегреч. математи­ков и философов идеалистич. направления, особен­но в школе Платона, использовалось для под­тверждения идеалистич. представлений. По мнению Платона, непреложное убеждение в абсолютной истинности основных положений геометрии присуше человеческому разуму совершенно независимо от опыта. Более того, по Платону, мировой разум, вложивший в человека убеждение в истинности гео­метрич. законов, подчинил им же и материальные тела. Это идеалистическое измышление приняло у Лейбница форму учения о предустановленной гар­монии между свойствами человеческого разума и свойствами материальных тел. Новый вариант иде­алистич. теории внеопытного происхождения геоме­трич. А. был выдвинут Кантом. Для филосо­фии Канта убеждение во внеопытном происхождении и абсолютной достоверности А. эвклидовой геомет­рии является одним из основных исходных пунктов.

Однако реальное развитие науки опровергло идеалистич. учение об априорной  истинности эвклстдолой геометрии. В действительности А. эвкли­довой геометрии, подобно основным положениям естествознания, установлены путём наблюдения и опыта. Их большая принудительность для нашего воображения (нашей геометрич. «интуиции») объяс­няется просто тем, что они являются продуктом чрез­вычайно длительного повседневного опыта, ставшего уже бессознательным. Утверждением этого нового взгляда наука обязана прежде всего Н. И. Лобачев­скому. До Лобачевского мнение об опытном происхождении А. геометрии, высказывавшееся в философской литературе, например, ещеФр. Бэконом, находилось в кажущемся противоречии с существованием одной единственной разработанной системы геометрии (эвклидовой). Лобачевским была создана новая, неэвклидова геометрия, система А. к-рой противоречит эвклидовой. Эта геометрия оказалась, тем не менее, логически состоятельной и математически весьма содержательной. Создание Лобачевским неэвклидовой геометрии нанесло сокру­шительный удар по идеалистическим кантианским воззрениям на априорность геометрических А.

Следует ясно представлять себе, что опытным пу­тём может быть установлена только приближённая, а не абсолютно точная применимость А. той или иной геометрии (эвклидовой или неэпклидопой — безразлично) к действительным пространственным отношениям. За пределами точности доступных нам способов измерения те или иные утверждения о гео­метрических свойствах реальных тел могут быть только гипотезами. Это значит, что их отрицание не является бессмысленным, т. е. с чисто логиче­ской точки зрения мыслима не одна единственная геометрия, а много различных. Выбор между ними может быть сделан только на основе опыта; в силу же приближённости последнего этот выбор ни на каком этапе увеличения наших знаний не может привести к окончательной, раз навсегда данной, единственной абсолютно истинной системе геомет­рии. Таков окончательный взгляд на отношения, существующие между различными системами гео­метрии, разрабатываемыми в чистой математике, и опытным изучением реальногофизич.пространства, к-рый был введён в науку Лобачевским и получил своё полное философское обоснование в философии диалектич. материализма.

В настоящее время установлено, что «геометрий», в смысле абстрактных математич. схем, имеется мно­го. Каждая из них может быть основана па своей системе А. Вопрос о том, какая из них лучше соот­ветствует свойствам реального пространства, яв­ляется вопросом не чистой математики, а физики. В каждой из этих «геометрий» выводы теорем из А. совершенно точны, но в приме­нении к реальному пространству теоремы должны оправдываться, естественно, лишь с той степенью точности, к-рая соответствует точности осуществле­ния в реальном пространстве А. Это положение не меняется тем обстоятельством, что в масштабах на­шего обычного геометрич. опыта эвклидова геомет­рия, как уже говорилось, осуществляется с очень большой точностью.

О дальнейшем развитии геометрии как науки о различных эвклидовых и неэвклидовых «простран­ствах» различного числа измерений — см. соответ­ствующие разделы статьи Геометрия и других специальных геометрич. статей. Заметим только, что исследование этих абстрактных математических «пространств» вовсе не имеет своей единственной целью создание запаса гипотетических систем отра­жения свойств реального пространства. Практиче­ские применения современной геометрии чрезвы­чайно широки. Например состояние механической системы из п материальных точек изображается точ­кой фазового пространства системы, которое, во­обще говоря, бл-мерно (точка фазового простран­ства определяется Ъп декартовыми координатами п материальных точек и Зл компонентами их скоро­стей), и т. п.

Аксиоматический метод в математике вообще. Возможность, исходя из различных систем А., по­строить различные «геометрии», многие из к-рых оказываются не только логически свободными от внутренних противоречий, но и допускают важпые реальные применения, приводит нас вплотную к со­временному аксиоматическому методу в математике. Именно, с развитием математики всё более выяс­нялось, что система А. является по существу неяв­ным определением свойств системы объектов, к-рые изучаются какой-либо математической дисциплиной. Особенно легко в этом убедиться на примере теории групп: т. н. аксиомы теории групп являются просто определением понятия группы. Подобно этому система А. теории действительных чисел может рассматриваться как определение системы дей­ствительных чисел. Ещё один простой пример представляют А., определяющие понятие величины.

Правда, таким неявным образом, при помощи А., система объектов, изучаемых математич. теорией, может быть определена лишь с точностью до изомор­физма. Но такое рассмотрение, при к-ром изоморфные системы объектов совершенно равно­правны, вообще свойственно математике. Напри­мер, различные построения действительных чисел приводят, строго говоря, к различным системам объектов, лишь изоморфным друг другу (по Дедекинду действительное число есть сечение в системе рациональных чисел, по Кантору — класс последо­вательностей рациональных чисел, и т. д.); но после того как построение осуществлено, любая из этих систем с одинаковым правом может быть положена в основу теории.

Система А., определяющая соответствующую си­стему объектов с точностью до изоморфизма, назы­вается полной. Система А., к-рой вообще соот­ветствует хотя бы одна система объектов, называется совместной. Вместе с указанным ранее поня­тием независимости, понятия полноты и совмест­ности являются основными характеристиками си­стемы А. Естественно, что положительный интерес могут иметь только совместные системы А. Требова­ние независимости не столь безусловно: к вей есте­ственно стремиться, но в тех случаях, когда достиже­ние независимости возможно лишь за счёт больших усложнений, от неё иногда отказываются, особен­но в изложении, рассчитанном на начинающих. Впрочем, хотя фактически построить для какой-либо теории систему из взаимно независимых А. мы не всегда умеем, можно доказать, что такая система А. существует: любая система А. экви­валентна некоторой системе А. взаимно независи­мых. Иначе дело обстоит с полнотой системы А.: система А., равносильная полной, всегда полна, а система, равносильная неполной,— неполна. Одни математич. теории допускают полную систему А., а другие не допускают. Например, система А. теории групп принципиально неполна (потому что суще­ствуют ве изоморфные группы); наоборот, всякая система А., определяющая систему действительных чисел или пригодная служить основой эвклидовой геометрии,— полна,

Можно говорить лишь о системах А. отдельных математич теорий, а не о системе А. всей матема­тики в целом. Математика в целом не может быть до конца аксиоматизирована, т. е. выведена из раз навсегда данной конечной системы А. Решаю­щей причиной этого является всё более глубокое, никогда не останавливающееся изучение свойств объектов реального мира.

Изложенная выше общая концепция аксиомати­ческого построения математич. теории не вызывает никаких сомнений в случае, когда рассматривае­мые системы объектов конечны, как это имеет место, например, в теории конечных групп. Этот простой случай, однако, совсем не типичен для математики в целом: уже система всех натуральных чисел бес­конечна, и, вообще, основное значение в матема­тике имеет аксиоматич. изложение теорий, отно­сящихся к бесконечным системам объектов. Хотя в свете философии диалектич. материализма несом­ненно, что сама возможность построения и изуче­ния в математике бесконечных систем объектов (бесконечной системы чисел, геометрий с бесконеч­ным числом точек, прямых и плоскостей) является лишь отражением в математике бесконечности дей­ствительного материального мира, вопрос о харак­тере и так сказать, механизме этого отражения не­достаточно разработан. Воз­никающие здесь трудности привели к тому, что весьма авторитетное в буржуазной науке течение формалистов (Гильберт) пришло к отрицанию за математич. теориями, относящимися к бесконечным системам объектов (т. е., собственно говоря, за всей классич. математикой), права на реальное пред­метное содержание. Вместо этого формалисты пред­лагают рассматривать такие теории как чисто фор­мальные «символические исчислевия». Ошибочные, ликвидаторские общие установки формалистов убе­дительно опровергаются повседневной практикой математич. работы, на к-рой их построения никак не отразились. На советских математиках лежит не­сомненная обязанность дать развёрнутое положи­тельное материалистич. разрешение тех трудностей в понимании математического бесконечного, к-рые испугали формалистов. Далеко еще не достаточные достижения советских исследователей в этом направ­лении будут освещены в статье математика.

Что касается изучения строения математических теорий при помощи аппарата математической логики, то ему советскими математиками придаётся совер­шенно не связанный с формализмом положительный смысл.  

Аксиоматический метод за пределами матема­тики. Делались попытки аксиоматического постро­ения, по образцу геометрии, самых различных дис­циплин, вплоть до этики включительно. Положительное значение аксиоматический метод изложения приобрёл в механике и в теоретич. фи­зике. Аксиоматическое построение статики восходит еще к Архимеду, всем классической механики — к Ньютону. Классическим примером аксиоматиче­ского изложения раздела физики может служить термодинамика. На примере термодинамики можно с особенной убедительностью обнаружить, что ак­сиоматическое построение физич. теории вовсе не является её завершением: формальная термоди­намика, отвлекающаяся от молекулярного строения материи, при всей её формальной законченности, получает более глубокое обоснование в кинетиче­ской теории материи.

Особенно велико значение аксиоматич. метода в случае необходимости сравнения двух или многих различных концепций какой-либо большой области математич. естествознания. Например при сопостав­лении классической и релятивистской механики по­ложение логически сходно с сопоставлением эвкли­довой геометрии и неэвклидовой геометрии Лоба­чевского. И там, и здесь важно убедиться во внутренней непротиво­речивости каждой из сравниваемых систем, развить каждую из них строго логически из небольшого числа исходных предложений и исследовать, не упу­щены ли при этом ещё какие-либо дальнейшие мыс­лимые варианты теории.

В отношении к А. механики, подобно аксиомам геометрии, до возникновения теории относительно­сти существовало метафизич. представление об их априорной абсолютной достоверности и общеобяза­тельности. Возникновение теории относительности с её новой механикой положило конец идеалистич. концепции априорной достоверности принципов классич. механики — концепции, к-рая не выдви­галась в философской литературе так настойчиво, как соответствующая априористическая концепция происхождения А. эвклидовой геометрии, по, по существу, руководила многими учёными па более ранних этапах развития механики.

Аксиома (греч. axíōma — удостоенное, принятое положение, от axióō — считаю достойным), положение некоторой данной теории, которое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве А. выбирают такие предложения рассматриваемой теории, которые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными.

  Возникнув в Древней Греции, термин «А.» впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Евклида прочно входит в геометрию. В средние века господство аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через неё и в обыденную жизнь. А. стали называть такое общее положение, которое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим ещё от Платона, в прирождённости человеку таких основных истин, как математическая А. Учение И. Канта об априорности последних, т. е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Первым крупным ударом по взгляду на А. как на вечные и непреложные «априорные» истины явилось построение Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии.

  Критикуя взгляды Гегеля на логическую А. (на фигуры аристотелевских силлогизмов), В. И. Ленин писал: «...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» («Философские тетради», 1969, с. 172). Именно в обусловленности многовековым человеческим опытом, практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки,— причина очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

  Вместе с тем крушение взгляда на А. как на «априорные» истины привело к раздвоению понятия А. Всё возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять одну А. другой, а также их относительность, зависимость от ранее встречающихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве А. такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях, — всё это обусловило появление понятия А. в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие А. в этом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. А. данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, которые при данном построении её как дедуктивной теории принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны. Более того, уже из опыта, например, построения различных неевклидовых геометрий и их последующего истолкования и практического использования стала ясной невозможность при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности её А.

  С созданием развитого аппарата математической логики связано дальнейшее развитие понятия А. В формальном исчислении А. является уже не предположением некоторой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы («теоремы» этого исчисления).

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение; синоним — постулат) — утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств в рамках какой-либо теории, дисциплины и т.д.