Аксиоматика Колмогорова

Аксиоматика Колмогорова, общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике. 

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений вматематической физике, в частности, в кинетической теории газов.

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также А. Ломницкий (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

При этом А.К. они называют «моделью Колмогорова». Изредка приводятся альтернативные модели теории вероятностей.

Лит.:  Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974. Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909. Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с. 209-274.  Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99. Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71. Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.

Аксиоматика теории вероятностей исходит от основных свойств вероятности событий, к которым применимо классическое или статистическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности как частные случаи включает в себя и классическое, и статистическое определения и преодолевает недостатки каждого из них. 

В аксиоматике теории вероятностей понятие случайного события не является первичным, а строится из более элементарных понятий; как увидим, случайные события - подмножества множества элементарных случайных событий. 

В рамках аксиоматики теории вероятностей основой вероятностной модели нек-рого эксперимента служит вероятностное пространство ( G, А, Р), где Q - пространство элементарных событий ( множество исходов данного эксперимента), А - а-алгебра подмножеств Q, Р - вероятность, определенная для элементов класса А как неотрицательная, нормированная, аддитивная функция множества. Q, являющиеся элементами класса с. СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА - числа, которые могут рассматриваться как значения независимых одинаково распределенных случайны величин. Как правило, имеются в ниду значения случайных величин с равномерным распределением в промежутке ( О, 1) или приближения к таким значениям, имеющие конечное число цифр в своем представлении. [3]

Главы I-VI посвящены аксиоматике теории вероятностей по Колмогорову и ее различным статистическим приложениям, в том числе теории доверительных границ для неизвестной вероятности и доверительной зоны для неизвестной функции распределения, различным простым вариантам критерия у. Стыодента, В главах I, III и V излагаются вспомогательные математические средства; гл. II, IV и VI посвящены статистическим приложениям. 

Аксиоматика Колмогорова, В общей аксиоматике теории вероятностей сохраняется понятие множества элементарных событий Q ( которое не обязано быть счетным) и понятие события А как подмножества 0: Л О. Однако не требуется, чтобы любое подмножество Q было событием. Требуется лишь, чтобы теоретико-множественные операции, производимые над событиями в счетном числе, приводили опять к событиям. 

Из данного определения видно, что аксиоматика теории вероятностей существенно опирается на аппарат теории множеств и теории меры. В связи с этим полезно дать таблицу, показывающую, как различные понятия интерпретируются в теории множеств и в теории вероятностей. Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств и способы задании вероятностей на них будут даны в последующих двух параграфах. 

Из данного определения видно, что аксиоматика теории вероятностей существенно опирается на аппарат теории множеств и теории меры. В связи с этим полезно дать таблицу, показывающую, как различные понятия интерпретируются в теории множеств и в теории вероятностей. Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств и способы задания вероятностей на них будут даны в последующих двух параграфах. 

Однако аксиоматика теории нечетких множеств существенно отличается от аксиоматики теории вероятностей и позволяет использовать более простые вычислительные процедуры. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть операции объединения и пересечения нечетких множеств. 

Они создают теорию случайных процессов, А. Н. Колмогоров дает аксиоматику теории вероятностей.

Общее понятие случайного процесса, базирующееся на изложенной ранее аксиоматике теории вероятностей, может быть введено следующим образом.

Более ранним является иной ( и несколько менее удачный) вариант аксиоматики теории вероятностей, предложенный в 1917 г. С. Н. Бернштешюм; на известной книге А. Н. Колмогорова Основные понятия теории вероятностей ( вышедшей впервые па немецком языке в 1933 г.) история аксиоматических подходов к теории вероятностей также не закончилась. 

Наконец, что касается логического обоснования теории вероятностей, то С. Н. Бернштейну принадлежит первая систематически развитая аксиоматика теории вероятностей, построенная на понятии качественного сравнения событий по их большей или меньшей вероятности. Само численное выражение вероятности появляется в этой концепции уже в виде производного понятия. 

Специального упоминания заслуживает небольшая заметка Андрея Николаевича Общая теория меры и исчисление вероятностей, в которой был предложен первый набросок аксиоматики теории вероятностей, основанный на базе теории меры и теории функций действительного переменного. Ломницким), но именно у А. Н. Колмогорова он получил завершение в виде получивших всеобщее признание простых и четких математических формулировок.

Для научного облика А. Н. Колмогорова характерно редкое соединение в одном лице черт абстрактного математика и естествоиспытателя, теоретика и практика; от аксиоматики теории вероятностей он непосредственно переходит к статистическому контролю массовой продукции, от теоретической гидромеханики к личному участию в океанографических экспедициях. 

В главе I случайная функция была определена как семейство случайных величин, зависящих от параметра.Аксиоматика теории вероятностей непосредственно подсказывает, что под случайной функцией естественно понимать произвольное семейство случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.