Алгебра 4

к началу

Понятия группы и кольца имеют очень большое общема-тематич. значение и поэтому весьма часто появляются ра. боты, поевнщённые введению и научению различных обоб­щений этих понятий. Тан, многочисленные исследования по теории обобщенных групп принадлежат А. К. Сушкевичу (Харьков). Появляются также и различные обоб­щения понятия структуры. Наряду с содержательными обобщениями, являющимися вкладом в науку, часто, осо­бенно в иностранной литературе, обобщения вводятся пу­тём только формального ослабления требований, входя­щих в определения группы, кольца или структуры. Такие обобщения, как правило, не подготовленные предшествую­щим развитием математики, возникают вне цепкой связи с серьёзными аапросами смежных отделов науки, а часто даже на подкрепляются сколько-нибудь содержательными примерами. Они оказываются поэтому весьма недолговеч­ными и не становятся предметом глубоком теории.

Данное выше определение А., как науки о множествах с заданными в них алгебраич. операциями, при всей его широте не может охватить всего содержания этой живой и развивающейся науки. За его пределами остаются, в частности, некоторые отделы А., пограничные с другими раздела ми математики. Такова топологическая алгебра, иосвящённая изучению групп и колец, одно­временно являющихся топологическими пространствами; имеется много важных примеров таких топологических групп и колец. Большую роль в развитии топологич. А. сыграли работы А. С. Понтрягина (Москва), особенно созданная им теория характеров топологических, абелевых групп, а также работы Л. А. Маркова млад­шего (Ленинград). К этому же разделу А. относится теория нормированных алгебр, выросшая из теории колец.

Алгебра (от араб. الجبر‎‎, «аль-джабр» — восполнение), раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «А.» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под А. понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

А. — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств A(R,E). Первое множество (R) — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество (E) — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле. 

Истоки А.  уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «артимос», вторую степень неизвестного — «дюнамис», третью «кюбос», четвёртую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.

Как наука, алгебра стала существовать благодаря мусульманскому учёному из Средней Азии Аль-Хорезми. Впервые термин «А.» встретился в 825 году в сочинении этого учёного «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение».

В 12 веке А. попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачиинформации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной А. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации.Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодированиеинформации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использованиятеории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы А. 

А. можно грубо разделить на следующие категории:

• Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразованияматематических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй.

• Абстрактная алгебра, иногда называемая современной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются.

• Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).

• Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур.

• Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры.

• Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.

• Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

В некоторых напралениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:

• Нормированые линейные пространства

• Банаховы пространства

• Гильбертовы пространства

• Банаховы алгебры

• Нормированные алгебры

• Операторные алгебры

• Топологические группы