Алгоритм Диффи — Хеллмана

Алгори́тм Ди́ффи — Хе́ллмана (англ. Diffie-Hellman, DH), алгоритм, позволяющий двум сторонам получить общий секретный ключ, используя незащищенный от прослушивания, но защищённый от подмены, канал связи. Этот ключ может быть использован для шифрования дальнейшего обмена с помощью алгоритма симметричного шифрования.

Алгоритм был впервые опубликован Уитфилдом Диффи (Whitfield Diffie) и Мартином Хеллманом в 1976 году.

В 2002 году Хеллман предложил называть данный алгоритм «Диффи — Хеллмана — Меркля», признавая вклад Меркля в изобретение криптографии с открытым ключом.

Схема обмена ключами Диффи — Хеллмана, изобретённая в 1976 году при сотрудничестве Уитфилда Диффи и Мартина Хеллмана, под сильным влиянием работы Ральфа Меркля (Ralph Merkle) о системе распространения публичных ключей, стала первым практическим методом для получения общего секретного ключа при общении через незащищенный канал связи. Для обеспечения устойчивости, по совету Джона Гилла (John Gill), была использована проблема дискретного логарифмирования.

Годом позже был изобретен первый алгоритм асимметричного шифрования RSA, который решил проблему общения через незащищённый канал кардинально.

В 2002 году Мартин Хеллман писал:

«Эта система … с тех пор известна под названием алгоритма Диффи — Хеллмана. Однако, когда система была впервые описана на бумаге Диффи и мной, это была система распространения публичных ключей, концепция которой была выработана Мерклем, и поэтому она должна называться „алгоритмом Диффи — Хеллмана — Меркля", если ее связывают с именами. Я надеюсь что это небольшое изменение поможет признанию равного вклада Меркля в изобретение криптографии с открытыми ключами.» 

В патенте U.S. Patent 4 200 770 (в настоящее время истекшем), описывающем данный алгоритм, изобретателями значатся Хеллман, Диффи и Меркль.

В декабре 1997 года была обнародована информация, что в 1974 году Малькольм Вильямсон изобрел математический алгоритм, основанный на коммутативности показателей при последовательном возведении в степень (то есть, (bx)y = (by)x = bxy), аналогичный алгоритму Диффи-Хеллмана.

Предположим, что обоим абонентам известны некоторые два числа g и p (например, они могут быть «зашиты» в программное обеспечение), которые не являются секретными и могут быть известны также другим заинтересованным лицам. Для того, чтобы создать неизвестный более никому секретный ключ, оба абонента генерируют большие случайные числа: первый абонент — число a, второй абонент — число b. Затем первый абонент вычисляет значение A = gamod p и пересылает его второму, а второй вычисляет B = gbmod p и передаёт первому. Предполагается, что злоумышленник может получить оба этих значения, но не модифицировать их (то есть у него нет возможности вмешаться в процесс передачи). На втором этапе, первый абонент на основе имеющегося у него a и полученного по сети B вычисляет значение Bamod p = gabmod p, а второй абонент на основе имеющегося у него b и полученного по сети Aвычисляет значение Abmod p = gabmod p. Как нетрудно видеть, у обоих абонентов получилось одно и то же число: K = gabmod p. Его они и могут использовать в качестве секретного ключа, поскольку здесь злоумышленник встретится с практически неразрешимой (за разумное время) проблемой вычисления gabmod p по перехваченным gamod p и gbmod p, если числа p,a,bвыбраны достаточно большими.

Алгоритм Диффи — Хеллмана, где K — итоговый общий секретный ключ

При работе алгоритма, каждая сторона:

1. генерирует случайное натуральное число a — закрытый ключ

2. совместно с удалённой стороной устанавливает открытые параметры p и g (обычно значения p и g генерируются на одной стороне и передаются другой), где

   p является случайным простым числом

   g является первообразным корнем по модулю p

3. вычисляет открытый ключ A, используя преобразование над закрытым ключом

   A = ga mod p

4. обменивается открытыми ключами с удалённой стороной

5. вычисляет общий секретный ключ K, используя открытый ключ удаленной стороны B и свой закрытый ключ a

   K = Ba mod p

   К получается равным с обеих сторон, потому что:

   Ba mod p = (gb mod p)a mod p = gab mod p = (ga mod p)b mod p = Ab mod p

В практических реализациях, для a и b используются числа порядка 10100 и p порядка 10300. Число g не обязано быть большим и обычно имеет значение в пределах первого десятка.

Пример:

Ева - криптоаналитик. Она читает пересылку Боба и Алисы, но не изменяет содержимого их сообщений.

• s = секретный ключ. s = 2

• g = открытое простое число. g = 5

• p = открытое простое число. p = 23

• a = секретный ключ Алисы. a = 6

• A = открытый ключ Алисы. A = ga mod p = 8

• b = секретный ключ Боба. b = 15

• B = открытый ключ Боба. B = gb mod p = 19

Данный алгоритм может также использоваться в качестве алгоритма шифрования с открытым ключом. В этом случае общая схема остаётся аналогичной приведённой выше, но с небольшими отличиями. Алиса не передаёт значения p, g и A Бобу напрямую, а публикует их заранее в качестве своего открытого ключа. Боб выполняет свою часть вычислений, после чего шифрует сообщение симметричным алгоритмом, используя K в качестве ключа, и передаёт шифротекст Алисе вместе со значением B. Однако такой подход не получил распространения, в этой области доминирует алгоритм RSA. 

Криптографическая стойкость А.Д.-Х. (то есть сложность вычисления K=gab mod p по известным p, g, A=ga mod p и B=gb mod p), основана на предполагаемой сложности проблемы дискретного логарифмирования. Однако хотя умение решать проблему дискретного логарифмирования позволит взломать А.Д.-Х., обратное утверждение до сих пор является открытым вопросом (другими словами, эквивалентность этих проблем не доказана).

Необходимо отметить, что А.Д.-Х. работает только на линиях связи, надёжно защищённых от модификации. Если бы он был применим на любых открытых каналах, то давно снял бы проблему распространения ключей и, возможно, заменил собой всю асимметричную криптографию. Однако, в тех случаях, когда в канале возможна модификация данных, появляется возможность атаки «человек посередине». Атакующий заменяет сообщения переговоров о ключе на свои собственные и таким образом получает два ключа — свой для каждого из законных участников протокола. Далее он может перешифровывать переписку между участниками, своим ключом для каждого, и таким образом ознакомиться с их сообщениями, оставаясь незамеченным.