Алгоритм Метрополиса-Гастингса

Алгоритм Метрополиса-Гастингса, алгоритм семплирования, использующийся, в основном, для сложных функций распределения. Он отчасти похож на алгоритм выборки с отклонением, однако здесь вспомогательная функция распределения меняется со временем. Алгоритм был впервые опубликован Николасом Метрополисом в 1953 году, и затем обобщён К. Гастингсом в 1970 году. Семплирование по Гиббсу является частным случаем А.М.-Г. и более популярен за счёт простоты и скорости, хотя и реже применим.

А.М.-Г. позволяет семплировать любую функцию распределения. Он основан на создании цепи Маркова, то есть на каждом шаге алгоритма новое выбранное значение xt + 1 зависит только от предыдущего xt. Алгоритм использует вспомогательную функцию распределения Q(x' | xt), зависящую от xt, для которой генерировать выборку просто (например, Нормальное распределение). На каждом шаге для этой функции генерируется случайное значение x'. Затем с вероятностью

(или с вероятностью 1, если u > 1), выбранное значение принимается как новое: xt + 1 = x', а иначе оставляется старое: xt + 1 = xt.

Например, если взять нормальную функцию распределения как вспомогательную функцию, то

 .

Такая функция выдаёт новое значение в зависимости от значения на предыдущем шаге. Изначально алгоритм Метрополиса требовал, чтобы вспомогательная функция была симметрична:Q(x',xt) = Q(xt,x'), однако обобщение Гастингса снимает это ограничение.

Пусть мы уже выбрали случайное значение xt. Для выбора следующего значения сначала получим случайное значение x' для функции Q(x' | xt). Затем найдем произведение a = a1a2, где

является отношением вероятностей между промежуточным значением и предыдущим, а

это отношение между вероятностями пойти из x' в xt или обратно. Если Q симметрична, то второй множитель равен 1. Случайное значение на новом шаге выбирается по правилу:

Алгоритм стартует из случайного значения x0, и сначала прогоняется "вхолостую" некоторое количество шагов, чтобы "забыть" о начальном значении.

Лучше всего алгоритм работает тогда, когда форма вспомогательной функции близка к форме целевой функции P. Однако добиться этого априори зачастую невозможно. Для решения этой проблемы вспомогательную функцию настраивают в ходе подготовительной стадии работы алгоритма. Например, для нормального распределения настраивают его параметр σ2 так, чтобы доля "принятых" случайных значений (т.е. тех, для которых xt + 1 = x') была близка к 60%. Если σ2 слишком мала, то значения будут получаться слишком близкими и доля принятых будет высока. Если σ2 слишком велика, то с большой вероятностью новые значения будут выскакивать в зоны малой вероятности P, отчего доля принятых значений окажется низкой.