Центральный Дом Знаний - Алгоритм Ремеза

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Как Вы планируете отдохнуть летом?
Всего ответов: 903

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Алгоритм Ремеза

Алгоритм Ремеза (также алгоритм замены Ремеза), итеративный алгоритм равномерного аппроксимирования функций f ∊ C[a,b], основанный на теореме П. Л. Чебышёва об альтернансе. Предложен Е. Я. Ремезом в 1934 году.

А.Р. применяется при проектировании КИХ-фильтров.

Математические основания:

Теорема Чебышёва

Теоретической основой алгоритма Ремеза является следующая теорема.

Для того, чтобы некоторый многочлен P*(x) степени не выше n был многочленом, наименее уклоняющимся от f ∊ C[a,b], необходимо и достаточно, чтобы на [a,b] нашлась по крайней мере одна система из n + 2 точек xi, a ≤ x0 < x1 < … < xn+1 ≤ b, в которых разность f(x) - P*(x):

  1. поочерёдно принимает значения разных знаков,

  2. достигает по модулю наибольшего на [a,b] значения.

Такая система точек называется чебышёвским альтернансом.

П. Л. Чебышёв, 1854

Теорема Валле-Пуссена:

Пусть En — величина наилучшего приближения функции f(x) многочленами степени n. Оценку En снизу даёт следующая теорема:

Если для функции f ∊ C[a,b] некоторый многочлен P(x) степени n обладает тем свойством, что разность f(x) - P(x) на некоторой системе из n + 2 упорядоченных точек xi принимает значения с чередующимися знаками, то

Ш.-Ж. Валле-Пуссен, 1919

Рассмотрим систему n + 1 функций Φ = {φ0,…,φn}, последовательность n + 2 точек X = a ≤ x0 < x1 < … < xn+1 ≤ b и будем искать аппроксимирующий многочлен P_X = \sum_0^n a_j\varphi_j.

  1. Решаем систему линейных уравнений относительно aj и d:
    \sum_{j=0}^n a_j\varphi_j(x_i) + (-1)^i d = f(x_i), \quad i=0,1,\ldots,n.

  2. Находим точку ξ такую, что D = |f(ξ) — P(ξ)| = max.

  3. Заменяем в X одну из точек на ξ таким образом, чтобы знак f — P чередовался в точках новой последовательности. На практике следят только за тем, чтобы точки xi были упорядочены на каждой итерации.

  4. Повторяем все шаги с начала до тех пор, пока не будет |d| = D.

На втором шаге мы можем искать не одну точку ξ, а множество Ξ точек, в которых достигаются локальные максимумы |f — P|. Если все ошибки в точках множества Ξ одинаковы по модулю и чередуются по знаку, то P — минимаксный многочлен. Иначе заменяем точки из X на точки из Ξ и повторяем процедуру заново.

В качестве начальной последовательности X можно выбирать точки, равномерно распределённые на [a,b]. Целесообразно также брать точки:

x_i = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{\pi i}{n+1}\right), \quad i=0,\ldots,n+1.

Если аппроксимирующая функция ищется в виде многочлена, то вместо решения системы на первом шаге алгоритма, можно воспользоваться следующим методом:

  1. Находим многочлен q(x) степени n такой, что q(xi) = f(xi) (задача интерполяции).

  2. Находим также многочлен q*(x) степени n такой, что q*(xi) = (-1)i.

  3. Выбирая d так, чтобы многочлен P(x) ≡ q(x) — d q*(x) имел степень n-1, получаем P(xi) + (-1)id = f(xi).

Дальше повторяются шаги по основной схеме.

Так как по теореме Валле-Пуссена |d| ≤ En(f) ≤ D, то условием остановки алгоритма может быть D — |d| ≤ ε для некоторого наперёд заданного ε.

А.Р. сходится со скоростью геометрической прогрессии в следующем смысле:

Для любой функции f ∊ C[a,b] найдутся числа A > 0 и 0 < q < 1 такие, что максимальные уклонения от функции f(x) полиномов , построенных по этому алгоритму, будут удовлетворять неравенствам

где En(f) — величина наилучшего приближения на [a,b] функции f(x) при помощи полиномов Pn(x).

Е. Я. Ремез, 1957

Пример:

f(x) = ex, n = 1, P(x) = a x+b.

Шаг 1.

X1

1

0

1

f(xi)

0.368

1.000

2.718



Решение системы даёт P = 1.175x + 1.272, d = 0.272.
max|eξ-P(ξ)| = 0.286 при ξ = 0.16.

Шаг 2.

X2

1

0.16

1

f(xi)

0.368

1.174

2.718



Решение системы даёт P = 1.175x + 1.265, d = 0.279.
max|eξ-P(ξ)| = 0.279 при ξ = 0.16.

Так как в пределах данной точности получили ту же самую точку, то найденный многочлен следует рассматривать как наилучшее приближение первой степени функции ex.

Литература:

  • DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation — 1993.

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов — 1980.

  • Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами — 1977.

  • Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация — 1975.

  • Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов — 1978.

Loading

Календарь

«  Июнь 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24