Алгоритм Тодда — Коксетера

В теории групп, алгоритм Тодда — Коксетера, найденный Тоддом и Коксетером в 1936 году, является алгоритмом для решения проблемы перечисления смежных классов. Для конкретных задания группы G и подгруппы H в G, алгоритм перечисляет смежные классы G по H и описывает представление перестановками G на пространстве смежных классов.

Если порядок группы G является относительно маленьким, и подгруппа H является несложной (например, циклическая группа), то алгоритм может быть выполнен вручную и дает удобное описание группы G. Используя свой алгоритм, Коксетер и Тодд показали, что конкретные системы соотношений между порождающими элементами некоторых известных групп полны, то есть составляют систему определяющих отношений.

А.Т.-К. может быть применен к бесконечным группам и завершается после конечного числа шагов при условии, что индекс H в G конечен. С другой стороны, в общем случае для пары, состоящей из задания группы и подгруппы, количество его шагов не ограничено никакой вычислимой функцией индекса подгруппы и размера данных.

Выполнение алгоритма проходит следующим образом. Предположим это , где X — множество образующих, R — множество отношений. Множество образующих X и их инверсий обозначим . Пусть  где hi — элементы . Есть три типа матриц, которые будут использоваться: смежный класс матриц, матрицы отношения для каждого отношения в R, и матрицы подгруппы для каждого множества образующих hi от H. Информация постепенно добавляется к этим матрицам, и как только они будут заполнены, все смежные классы будут перечислены, и алгоритм закончится. Смежный класс матриц используется, чтобы хранить отношения между известными смежными классами при умножении множеством образующих. Это имеет ряды, представляющие смежные классы H и колонки для каждого элемента . Пусть Ci обозначает смежные классы i-того ряда смежных классов матриц, и пусть  обозначает множество образующих j-той колонки. Ввод смежных классов матриц последователен, i и j определены так, чтобы было (если известно) k, где k — такое, что Ck = Cigj. Отношения матриц используются, чтобы обнаружить, когда некоторые из смежных классов, которые мы нашли, фактически эквивалентны. Выполняется: одно отношение матриц для каждого отношения в R. Пусть 1 = gn1,gn2,...,gnt — отношение в R, где gni ОX' . матриц отношения имеет ряды, представляющие смежных классов H, как в смежных классов матриц. Это имеет t колонки, и ввод в i-том ряду и j-том колонке определен, чтобы быть (если известно) k, где Ck=Cig1g2...gj. В частности i-тый вход - первоначально i, пока gn1gn2...gnt = 1. Наконец, матрицы подгруппы подобны матрицам отношения, за исключением того, что они держат след возможных отношений множества образующих H. Для каждого множества образующих hn=gn1gn2...gnt из H, с gniОH', мы создаем матрицу подгруппы. Это имеет только один ряд, соответствуя смежным классам H непосредственно. Это имеет t колонки, и вход в j-той колонке определен (если известно), чтобы быть k, где Ck = HCig1g2...gj . Когда ряд отношения или матриц подгруппы закончен, новая информация  найдена. Это известно как вычитание. От вычитания, мы можем быть в состоянии заполнить в дополнительных записях отношения и матриц подгруппы, приводя к возможному дополнительному вычитанию. Мы можем заполниться в записях смежных классах матриц, соответствующего уравнениям Ci = Cjg и Cj = Cig − 1. Однако, заполняясь в смежных классах матриц, возможно, что мы можем уже иметь ввод для уравнения, но ввод имеет различную ценность. В этом случае, мы обнаружили, что два из наших смежных классов - фактически то же самое, известные как совпадение. Предположим Ci = Cj, с i < j . Мы заменяем все случаи j в матриц с i. Тогда, мы заполняем во всех возможных записях матриц, возможно приводя к большему количеству вычитания и совпадений. Если есть пустые записи в матрице после всего вычитания, и о совпадениях заботились, добавляем новый смежный класс к матрице и повторяем процесс. Мы удостоверяемся, что, добавляя смежный класс, если Hx - известный смежный класс, то Hxg будет добавлен в некоторый момент для всех  . (Это необходимо, чтобы гарантировать, что алгоритм закончится обеспеченный | G:H | конечен.) Когда все матрицы заполнены, алгоритм заканчивается. Мы тогда все нуждались в информации относительно действия G на смежные классы H.

Литература:

• J.A. Todd, H.S.M. Coxeter, A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group. Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 5, 26-34 (1936). Zbl 0015.10103, JFM 62.1094.02

• H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser, Generators and relations for discrete groups. Fourth edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 14. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ix+169 pp. ISBN 3-540-09212-9 MR0562913

• Seress, A. "An Introduction to Computational Group Theory" Notices of the AMS, June/July 1997.