Проект по теме "Замечательные точки треугольника"

Проект по теме "Замечательные точки треугольника"

ОГЛАВЛЕНИЕ  

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ……………………………………………………………………………………………..3-4

ИЗ ИСТОРИИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА………………………………….5

ТРЕУГОЛЬНИКПРОСТЕЙШИЙ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ………………………………………5-6

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА……………………………………………………………………………….6

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА……………………………………………………… 6

ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ……………………………………………………………6-7

ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ……………………………………………………………… 7

ОРТОЦЕНТР…………………………………………………………………………………………………… 7

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ……………………………………………………………………………………………8

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА …………………………………………………………………………………………………8

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК…………………………………………………………………………… 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………………………………………………9

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………10

  ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………………………………………… 11-23

Вводная часть

Слово геометрия греческого происхождения, и нетрудно догадаться, как оно переводится на русский язык. Гея – богиня земли в древнегреческой мифологии, метр - единица измерения длины, поэтому геометрия - это, можно сказать, землемерие. Из перевода следует, что геометрия возникла непосредственно из практической потребности, где задача измерения земельных участков была исключительно важной. Ее возникновение уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур.
Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линум» (льняная нить). И факты геометрии сначала имели опытное происхождение.
Еще 5 тыс. лет назад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. И это было очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. В египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах того времени мы находим другие геометрические факты, найденные опытным путем при измерении земельных участков, постройке зданий и т.д. Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными теоремами; при изготовлении технических чертежей — выполнять геометрические построения. Проанализировав учебник математики для 6 класса Г.Ю.Дорофеева и Л.Г.Петерсона, сборник задач к этому учебнику, сборник задач по геометрии Е.С.Смирновой "Геометрическая линия”, я отобрала материал и систематизировала его, сделала подборку исследовательских задач на построение с решениями, как практическое приложение к работе для развития геометрического мышления у других учеников. Большую помощь для решения геометрических задач и выполнения качественных построений в данной работе мне оказала программа WGEO, с которой я хочу вас познакомить.

Целью моей работы является:

- оказание помощи ученикам и учителям в освоении программы WGEO; в использовании её для решения геометрических задач на построение; в ознакомлении учащихся с замечательными точками треугольника и с методами их построения.

Задачи, которые я поставила перед собой при выполнении этой работы:

- углубить представления о треугольнике;

- научить строить замечательные точки в треугольнике;

- решать простейшие и нестандартные задачи с помощью программы WGEO;

- изучить возможности данной программы для использования её при решении геометрических задач на построение на уроках геометрии, используя информационные технологии в обеспечении наглядности;

 - познакомить с приемами построения прямой Эйлера и окружности девяти точек.

Из истории замечательных точек треугольника

        В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника.

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг гла - BAC, CBA, ACB – называются углами треугольника

Треугольник простейший и неисчерпаемый.

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь: о треугольнике. Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.
        Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других, оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида. Среди "определений", которыми начинается эта книга, имеются и следующие: "Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны". Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности. Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.  Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков Лемуан, Брокар, Тебо и другие

Элементы треугольника.

  Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольник. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Замечательные точки треугольника

Центр описанной окружности

Начертим произвольный треугольник ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины. Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около него. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности. Этот вывод верен для любого треугольника, однако расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: у остроугольного он находится внутри, у прямоугольного – в середине гипотенузы, а у тупоугольного – вне треугольника..

Центр вписанной окружности

В произвольном треугольнике ABC проведем биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA 1=DB1=DC1.

Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DA 1, то она будет касаться всех трех сторон треугольника (то есть будет иметь с каждым из них только одну общую точку). Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Ортоцентр

Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны (их называют высотами), то все они пересекутся в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром. С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному: у остроугольного треугольника – внутри, у прямоугольного – на гипотенузе, а у тупоугольного – снаружи. Таким образом мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Центр тяжести

Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие отрезки называются медианой. И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан , то сможете проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин. И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести(барицентр). Центр равных масс иногда называют центроидом. Поэтому свойства медиан треугольника можно сформулировать так: медианы треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Прямая Эйлера

 Во всяком треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности лежат на одной прямой. Причем точка пересечения медиан (центр тяжести) делит эту прямую в отношении 1:2! Эта прямая называется прямой Эйлера.

Окружность девяти точек

Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот ( точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, N и L) лежат на одной окружности. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности. Такая окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Заключение.

В работе последовательно излагаются приемы построения замечательных точек треугольника, показаны конкретные приемы построения этих точек с использованием компьютерной программы, приведены исторические сведения о геометрических построениях.

В приложении предложены для решения задачи на построение, а так же приведены поэтапные решения этих задач с помощью программы WGEO.Умение пользоваться этой программой поможет учителям и ученикам в решении нестандартных задач на построение.

Cчитаю, что данная работа может быть использована , как учебное пособие учащимися при решении задач на построение и учителями для использования этого материала на уроках геометрии. Для решения различных задач на построение я использовала компьютерную программу WGEO, которая позволяет выполнять следующие функции:

-построение точки, отрезка, прямой, луча, угла ,треугольника, многоугольника, окружности;

-измерение длины отрезка, градусной меры угла;

-построение перпендикулярных и параллельных прямых;

-деление отрезка и угла пополам;

-осуществлять осевую симметрию и симметрию относительно прямой;

-осуществлять параллельный перенос, поворот вокруг точки и вокруг оси на определенное число градусов;

-строить вписанную и описанную окружности;

-выполнять различные действия с векторами и многие другие функции.

  Тема моей работы обширна и интересна, рассмотреть все вопрос(.....)