Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется

Aij = (-1)i+j * Mij.

Mij – минор элемента аij – это определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Вычислим определитель матрицы С разложением по второй строке матрицы.<......>

  Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличимых от нуля миноров этой матрицы.

Для квадратной матрицы n – го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

∆с = 39 ≠ 0. Значит, С – невырожденная матрица. Её ран равен 3.

И по теореме: ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы) r(C) = 3. Значит и число линейно независимых столбцов равно 3. Значит, все столбцы матрицы С – линейно независимыми.

Ответ: Определитель матрицы С ∆с = 39. Все столбцы С линейно независимы.<......>

1. Найти производную функции у = 3*2-хℓn3(2+2х);

Решение:

Применяемые формулы:

(u · v)' = u' · v + u · v'; (k · u)' = k · u', k – const; (uα)' = α · uα-1 · u'; (k)' = 0, k – const; (2x)' = 2x ℓn2; 2u = (2u · ℓn2) · u'; (ℓn u)' = .

y' = (3·2-x(-1)·ℓn2) ℓn3 (2+2x) + 3·2-x · 3ℓn2 (2+2x) · x · (0+2xℓn2) =

= -3·2-xℓn2·ℓn3(2+2x)+9·ℓn2(2+2x) · = 3·ℓn2(2+2x)·ℓn2(-2-x·ℓn(2+2x) + );

Ответ: у' = 3·ℓn2(2+2x)·ℓn2().<......>

1. Площадь, занимаемая печатным текстом составляет на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть ширина и высота страницы, чтобы количество израсходованной бумаги было наименьшим.

Решение:

Обозначим х – ширина страницы (см); у – высота страницы (см).

Площадь страницы, S = x · y должна быть минимальной.

Ширина текста х-3 (см),

Высота текста у – 4 (см).

у

х

Площадь текста: = (х-3) · (у-4); 432 = (х-3) · (у-4). Отсюда: у – 4 = ; у = 4 + ; у = ; у = . Тогда S = х · ; или S = ; По условию задачи х > 3.

Исследуем функцию S = ; х є (3,+∞) на наибольшее и наименьшее значения.<.....>

5. Составить уравнения касательных к графику функции у = х3 – х, перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью Ох в точке х=6 и с осью Оу в точке у=3. Сделать чертёж

Решение:

Исходя из геометрического смысла производной, уравнение касательной к графику функции, проведенной в точке (х0,у0), имеет вид:

у – у0 = f ' (x0)(x-x0). (1)

Найдем f ' (х) = (х3 – х)' = 3х2 – 1; касательная перпендикулярна прямой, отсекающей на оси Ох отрезок, равный 3. Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид:<......>

  При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «+» на «-». По первому достаточному признаку экстремума в этой точке максимум уmax = у (-1) = (-1)2 · е1-1 = 1

М1 (-1;1) – точка максимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «-» на «+». По первому достаточному условию экстремума в этой точке минимум. уmin = у (0) = 0·е1-0 = 0

М2 (0;0) – точка минимума. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с «+» на «-». В этой точке максимум. уmax = у (1) = 1· е1-1 = 1

М3 (1;1) – точка максимума.<.....>