Число 18 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых так,
чтобы одно из них было вдвое больше другого, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.
Решение:
Обозначим первое a, второе – 2а, а третье –b.
Их произведение будет равно P=2a2b,
а cумма - S(a,b)=3a+b.
Найдём максимум P(a, b) при условии S(a,b) =18.
Составляем функцию Лагранжа
L(a, b, λ)= 2a2b+ λ(3a+b-18)
Находим её критические точки<......>
Составить уравнение касательной к кривой y=e-2x,
перпендикулярной прямой x-2y=0. Сделать чертёж.
Решение:
Для прямой x-2y=0 угловой коэффициент равен k1=<.......>
Имеем y’(x0)=-2e-2x = 2;
e-2x =1; x0=0;
y(x0)=e0=1.
Составляем уравнение касательной y-1= 2 (x- 0) => y= 2x+1.<.......>
Нули y’(x): x=0, x=1, x=2
Критические точки x=0, x=2 – минимум; x=1 – максимум.
y(0)=0; y(1)=1; y(2)=0;
y(x) возрастает на интервалах (0;1) и (2;+∞);
y(x) убывает на интервалах (-∞;0) и (1;2).
Точки пересечения с осями координат и доп. точки.
Точки пересечения с осью OX :
y(x)=0 => (0,0), (2,0).
Точка пересечения с осью OY
x=0 =>y=0 т. (0;0).<.......>