4. Число 18 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых так,

чтобы одно из них было вдвое больше другого, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

Решение:

Обозначим первое a, второе – 2а, а третье –b.

Их произведение будет равно P=2a2b,

а cумма - S(a,b)=3a+b.

Найдём максимум P(a, b) при условии S(a,b) =18.

Составляем функцию Лагранжа

L(a, b, λ)= 2a2b+ λ(3a+b-18)

Находим её критические точки<......>

4. Составить уравнение касательной к кривой y=e-2x,

перпендикулярной прямой x-2y=0. Сделать чертёж.

Решение:

Для прямой x-2y=0 угловой коэффициент равен k1=<.......>

Имеем y’(x0)=-2e-2x = 2;

e-2x =1; x0=0;

y(x0)=e0=1.

Составляем уравнение касательной y-1= 2 (x- 0) => y= 2x+1.<.......>

Нули y’(x): x=0, x=1, x=2

Критические точки x=0, x=2 – минимум; x=1 – максимум.

y(0)=0; y(1)=1; y(2)=0;

y(x) возрастает на интервалах (0;1) и (2;+∞);

y(x) убывает на интервалах (-∞;0) и (1;2).

1. Точки пересечения с осями координат и доп. точки.

Точки пересечения с осью OX :

y(x)=0 => (0,0), (2,0).

Точка пересечения с осью OY

x=0 =>y=0 т. (0;0).<.......>