Алгебра

Для представления чисел можно использовать любые символы, но чаще берут буквы латинского алфавита. Если x и y – два числа, то их сумма обозначается x + y, а разность x – y. Так как знак умножения ґ легко спутать с буквой x, в алгебре знак ґ используется редко; обычно произведение чисел x и y обозначается xЧy или просто xy. (Позиционные обозначения, используемые при записи целых чисел и означающие, например, что 23 – это не два умножить на три, а два десятка плюс три единицы, в алгебре не применяются.) Аналогично, если одно из встречающихся в задаче чисел указано явно или заранее известно, например число 2, то сумма двойки и любого не указанного заранее числа x алгебраически записывается в виде 2 + x или x + 2, а их произведение – как 2x. Множитель 2 в произведении 2x называют коэффициентом. Частные, как правило, записывают в виде дробей; допустима запись x ё y, но или x/y встречаются чаще. Символ = означает «равно», символ № – «не равно».

Например, пусть x – число, которое, будучи удвоенным, совпадает с самим собой, увеличенным на 3. Чтобы найти x (неизвестное), мы можем рассуждать на словах, как это делали первые математики, но гораздо эффективнее воспользоваться алгебраическими обозначениями. По условиям задачи требуется, чтобы

Такая запись равенства двух чисел называется уравнением. Пользуясь известными из арифметики правилами операций над числами, уравнение можно упростить. Числа 2x и x + 3 равны. Вычитая по x из каждого числа, мы снова получим равные числа, следовательно, x = 3, и задача решена. 

Можно действовать другим способом. Перенесем x из правой части уравнения в левую часть с другим знаком, т.е. как -x. В результате получим уравнение

откуда x = 3.

Если два числа равны, будут равны также результаты их умножения на одно и то же число. Отсюда следует правило, согласно которому обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, однако запрещается деление на ноль. Например, из уравнения 3x = 6 мы заключаем, что x = 2. С другой стороны, если x = 1 и, следовательно, x – 1 = 0, мы не можем делить на x – 1 обе части уравнения x – 1 = 0, т.к. получим неверный результат 1 = 0.

Символы группировки. Возможности алгебраических символов раскрываются в полной мере, когда необходимо записать более сложные уравнения. Если требуется изменить порядок выполнения операций, применяют символы группировки членов, главным образом круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки . В некоторых случаях порядок выполнения операций несуществен, например в выражении 2 + 3 + 4; не важно, прибавим ли мы сначала 2 к 3, а затем результат, равный 5, к 4, или сначала прибавим 3 к 4, а затем полученную сумму, равную 7, прибавим к 2. Объясняется это тем, что сложение чисел подчиняется закону ассоциативности. С другой стороны, смысл выражения 12 ё 2 ё 3 определен неоднозначно: выражение могло бы означать, что 12 следует разделить на 2 (и получить частное, равное 6), а затем полученный результат разделить на 3 и получить 2; или же что 2 следует разделить на 3 (и получить частное, равное 2/3), а затем 12 разделить на 2/3 и получить 18. Чтобы исключить различные толкования, мы можем записать исходное выражение в виде (12 ё 2) ё 3 в первом случае и как 12 ё (2 ё 3) – во втором. Согласно принятому соглашению, операции, указанные в скобках, выполняются первыми.

Смысл выражения определяется также соглашение о порядке выполнения операций. Например, принято считать, что 2Ч3 + 4 означает 6 + 4, т.е. 10, а не 2Ч7, т.е. 14. Таким образом, если нет операций, заключенных в скобки, то сначала выполняются умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Если же мы хотим, чтобы сначала была выполнена операция сложения, то необходимо записать 2Ч(3 + 4) или просто 2(3 + 4). Используя закон дистрибутивности, можно раскрыть скобки: 2(3 + 4) = 2Ч3 + 2Ч4.

Если встречаются несколько пар скобок (круглых, прямоугольных, фигурных), то выполнять действия следует, начиная с внутренних. Например,

раскрывается последовательно следующим образом:

Правила, определяемые свойствами чисел, распространяются и на числа, представленные символами. Например,

здесь мы воспользовались законом дистрибутивности, а затем законами ассоциативности и коммутативности сложения. Аналогично,

В этом примере мы, помимо законов дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности, воспользовались правилом, согласно которому произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.

Системы уравнений. В некоторых задачах требуется найти одновременно несколько чисел, для чего необходимо решить несколько уравнений. Рассмотрим следующую задачу. Возраст Джона и удвоенный возраст Мэри вместе составляют 32 года, а если бы Джон был вдвое старше, а Мэри на четыре года младше, то им вместе было бы 24 года. Сколько лет Джону и Мэри? Обозначим возрасты Джона и Мэри буквами j и m соответственно. Тогда первое утверждение относительно возрастов можно записать в виде

а второе – в виде

или, после упрощения,

Когда два или больше чисел удовлетворяют двум, как в данном случае, или большему числу уравнений, говорят, что эти числа удовлетворяют системе уравнений. Существуют несколько методов решения систем уравнений. В нашей задаче левую и правую части уравнения (1) можно умножить на 2:

Уравнение (2) утверждает, что 2j + m и 28 – одно и то же число. Уравнение (3) останется в силе, если мы вычтем это число из его левой и правой частей, а именно: из левой части вычтем 2j + m, из правой – 28. В результате имеем

откуда m = 12 (т.е. Мэри 12 лет). Из уравнения (1) получаем j + 24 = 32, следовательно, j = 8 (т.е. Джону 8 лет).

Продемонстрируем другой метод решения систем уравнений (подстановкой).

Предположим, что руководителю предприятия выплачивается в качестве премии 20% от чистой прибыли, вычисляемой вычитанием из общей прибыли налогов, и что налоги взимаются в размере 30% от общей прибыли за вычетом причитающейся руководителю премии. Пусть общая прибыль составляет 50 000 долларов. Какова премия и каковы налоги? Задача может показаться неразрешимой, если подходить к ней с позиций арифметики, так как ни премия, ни налоги не могут быть представлены в численном виде, пока мы не узнаем хотя бы одну из этих величин. Однако с помощью алгебраических методов справиться с решением такой задачи не составляет труда. Если обозначить величину премии через b, а размер взимаемых налогов через t, то

Здесь первое из уравнений утверждает, что b = 10 000 – 0,2t; используя это обстоятельство во втором уравнении, последовательно находим:

или, после округления до ближайших целых чисел,

Системы уравнений такого типа (линейные) с большим количеством неизвестных решают при помощи определителей. В более сложных случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Степени и радикалы. Обозначение x² (читается «икс в квадрате») используется для сокращенной записи произведения xx (т.е. икс раз по икс); например, 3² = 9 и (–1/2)² = 1/4. Число 2 в этой записи называется показателем степени. Аналогичный смысл имеют более высокие степени: x³ (читается «икс в кубе») означает xxx, а xⁿ (читается «икс в степени n») означает произведение n сомножителей x. Например, 2⁵ = 2Ч2Ч2Ч2Ч2 = 32. Само число x можно записать как x¹, но показатель 1 обычно опускается. Так как 2²Ч2³ = 2⁵ и вообще x^mЧxⁿ = x^m+n (в этом нетрудно убедиться, если воспользоваться определением степеней), мы приходим к определениям отрицательных и нулевой степеней: x^–n = 1/xⁿ и x⁰ = 1. Например, 2^–3 = 1/2³ = 1/8; 2⁰ = 1. Для нуля отрицательные и нулевая степени не определены.

Справедливы также правила x^mЧy^m = (xy)^m и (x^m)ⁿ = x^mn. Например, 2³Ч3³ = 6³ и (2³)⁴ = 2¹² = 4096. Повторные показатели следует интерпретировать так: означает . В частности, означает . Это число часто приводят как наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами.

Корнем n-й степени из числа x называется число, n-ая степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим. Например, 3 и -3 – квадратные корни из 9, так как 3² = 9 и (–3)² = 9; 2 – кубический корень из 8, т.к. 2³ = 8; -2 – кубический корень из -8; 1/2 – кубический корень из 1/8. У любого положительного числа существуют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный квадратный корень из x обозначается , поэтому . Символ – стилизованная буква латинского алфавита r, первая буква латинского слова «radix» – корень. Произвольное положительное число имеет два действительных корня n-й степени, если n четно, и только один действительный корень, если n нечетно. Символ означает действительный корень n-ной степени из x (положительный при четном n). Например, , , , , , . Числа, записанные с использованием символов и , называют радикалами. В широком смысле слова, радикал – число, которое может быть записано при помощи этих символов, а также символов арифметических операций и рациональных чисел. Следует подчеркнуть, что всегда означает положительный квадратный корень, так что, например, справедливо только в том случае, если y – положительное число или ноль; если же y отрицательно, то означает положительное число (-y).

Альтернативные обозначения корней основаны на использовании дробных степеней. Если считать, что дробные показатели степеней подчиняются тем же законам, что и целые, то x^1/2x^1/2 должно означать (x^1/2)² = x^1/2Ч2 = x; по определению полагаем . Аналогично, x^1/n означает корень n-й степени из x, поэтому, например, 8^1/3 = 2. Естественно, x^p/q означает p-ю степень корня q-й степени из числа x или имеет эквивалентный (при отрицательных x – альтернативный) смысл корня q-й степени из p-й степени числа x. Например, 8^2/3 = 2² = 4 или 8^2/3 = 64^1/3 = 4; 8^–2/3 = 1/4. Определения дробных и отрицательных степеней положительных чисел выбраны так, чтобы при работе с ними сохранялись правила действий с целыми положительными степенями. Например,

Непротиворечиво определить такие степени для отрицательных или комплексных чисел невозможно. См. также Логарифмы.

Тождества. Важную часть алгебры составляют формулы, которые можно использовать для упрощения сложных выражений. Например, справедливо следующее соотношение:

Такое равенство называется тождеством; под этим понимается, что независимо от того, какие числа были обозначены символами a, b, c, d, результат выполнения операций, указанных в левой части равенства, совпадает с результатом операций, указанных в правой части равенства. Приведенное выше тождество используется, в частности, в арифметике:

Другие тождества, такие как

также могут использоваться для упрощения решений в арифметике:

Первые две из указанных формул являются частными случаями бинома Ньютона. См. также Бином Ньютона.

Все эти тождества можно читать и в обратную сторону, т.е. справа налево, для записи алгебраических выражений в виде произведения множителей, например,

Довольно часто приходится сталкиваться с задачей представления в виде произведения двух множителей выражений типа x² – x – 6. Если такое представление с целочисленными коэффициентами возможно, то его можно попытаться найти путем подбора; в рассматриваемом случае

Такое разложение на множители (факторизация) полезно при решении уравнений.

 Многочлены и уравнения. Многочленом n-й степени от x называется выражение вида

Иными словами, многочлен – это сумма целочисленных степеней некоторой величины, взятых с заданными коэффициентами. К примеру, десятичная запись есть, по сути дела, представление числа в виде многочлена от 10: 365 = 3Ч(10²) + 6Ч(10) + 5. Если x – переменная величина (значение не задано), то многочлену от x соответствует некоторая функция, область определения которой совпадает с множеством значений, принимаемых x. Такая функция называется полиномиальной или для краткости просто полиномом (многочленом); обычно областью определения многочлена принято считать множество всех действительных или комплексных чисел. См. также Функция.

Любое отличное от нуля число, рассматриваемое как функция, тождественная константе, представляет собой многочлен нулевой степени. Многочлены степеней 1, 2, 3, 4 называются соответственно линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Многочлены складывают и умножают так же, как обычные числа (за исключением операции переноса единицы в старший разряд), что вполне естественно в силу сделанного выше замечания. Например, для нахождения суммы многочленов 2x³ – 3x² + 4x + 5 и x² + 9x – 2 мы записываем

Чтобы найти произведение тех же многочленов, запишем

Алгебраическое уравнение (в стандартной форме) – это записанное в алгебраических обозначениях утверждение о том, что некоторая полиномиальная функция обращается в нуль при некоторых требующих отыскания значениях переменной (корнях уравнения). Например, x² – 5x + 6 = 0 – алгебраическое уравнение. Уравнения типа 5 – 2x = 6x² – 3x, приводимые к стандартной форме, также называют алгебраическими уравнениями. В тех разделах математики, где неалгебраические уравнения (e^x + 2sin x = 3) отсутствуют, вместо слов «алгебраическое уравнение» говорят просто «уравнение».

Значения переменной, при которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена и одновременно являются корнями уравнения, получающегося, если многочлен приравнять нулю. Например, многочлен x² – 5x + 6 имеет корни 2 и 3, т.к. 2² – 5Ч2 + 6 = 0 и 3² – 5Ч3 + 6 = 0; уравнение x² – 5x + 6 = 0 также имеет корни 2 и 3. Заметим, однако, что в многочлене x² – 5x + 6 переменная x означает любое число из области определения функции; в уравнении x² – 5x + 6 = 0, напротив, x означает лишь числа, удовлетворяющие уравнению, т.е. превращающие его в тождество, а именно 2 и 3.

Линейное уравнение в общем виде записывают как ax + b = 0, где a и b – числа, причем a № 0. Оно имеет единственное решение x = –b/a; таким образом, линейное уравнение имеет ровно один корень.

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a № 0. Некоторые простые квадратные уравнения удается решить методом факторизации; к примеру, уравнение

можно записать в эквивалентной форме

а последнее выполняется только в том случае, когда x = 1 или x = 4 (т.к. произведение двух чисел равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю). Следовательно, у интересующего нас уравнения два корня: 1 и 4. Однако, например, у уравнения

только один корень. Считается, что в этом случае оба корня уравнения совпадают, так как многочлен, стоящий в левой части уравнения, можно представить в виде двух линейных сомножителей:

Квадратное уравнение

не имеет действительных корней, т.к. x² + 2x + 4 = x² + 2x + 1 + 3 = (x + 1)² + 3, т.е. значение многочлена x² + 2x + 4 положительно при любом действительном x; однако у этого уравнения есть, как будет показано ниже, два комплексных корня. Так называемая основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен положительной степени n можно разложить в произведение n линейных сомножителей (с комплексными коэффициентами), поэтому в общем случае можно сказать, что алгебраическое уравнение степени n имеет n корней (хотя некоторые могут совпадать).

Общий метод решения квадратных уравнений (называемый дополнением до полного квадрата) основан на идее, с помощью которой мы показали, что у уравнения x² + 2x + 4 = 0 нет действительных корней. В качестве примера возьмем уравнение, имеющее действительные корни:

Запишем это уравнение в виде

и прибавим 1 к левой и правой частям:

Теперь в левой части стоит полный квадрат:

Это означает, что число x + 1 – один из квадратных корней из 3, т.е.

откуда

Иногда для краткости пишут

что следует понимать как альтернативу (x принимает либо одно, либо другое значение), но отнюдь не как утверждение о том, будто бы x принимает два значения одновременно.

Действуя аналогично, мы можем решить квадратное уравнение в общем виде и получить формулу для его корней. Запишем уравнение в виде

перенесем свободный член в правую часть с противоположным знаком и разделим каждый член уравнения на a:

Тогда

Величина D = b² – 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. Если D положителен, то формула дает ровно два корня; если D = 0, то x = –b/(2a), и мы говорим, что уравнение имеет два равных корня; если же D отрицателен, то нам приходится вводить мнимую единицу i, определяемую как квадратный корень из -1, и оба корня уравнения становятся комплексными. Так, если, например, D = b² – 4ac = –4, то

См. также Число.

Чтобы продемонстрировать, как действует полученная формула при отрицательном дискриминанте, рассмотрим уравнение

Здесь a = 2, b = –4, c = 3, и корни равны

Формула для корней квадратного уравнения остается в силе и при комплексных коэффициентах, однако это приводит к трудоемкой процедуре извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Формулы для корней кубических и биквадратных уравнений выглядят гораздо сложнее, а для уравнений пятой и более высоких степеней они существуют лишь в отдельных случаях. Когда же коэффициенты уравнения достаточно сложны, например, выражаются числами со многими значащими цифрами, такие формулы теряют практическое значение, и эффективнее пользоваться приближенными методами. См. также УРАВНЕНИЯ.

 Неравенства. Символы > и < означают соответственно «больше, чем» и «меньше, чем»; например, 2 < 4 и –3 > –5. Неравенства, содержащие неизвестную величину, решают методами, похожими на используемые при решении уравнений. Применимы три правила: (i) к обеим частям неравенства можно прибавлять одно и то же число; (ii) обе части неравенства можно умножать на одно и то же положительное число; (iii) при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства меняется на противоположный (т.е. «больше, чем» переходит в «меньше, чем», и наоборот). При умножении на неизвестную величину следует учитывать, что эта величина может быть как положительной, так и отрицательной. В качестве примера решим неравенство

Пользуясь правилом (i), заменим это неравенство новым:

далее

По правилу (iii) последнее неравенство эквивалентно неравенству

которое, в свою очередь, по правилу (ii) эквивалентно неравенству

Таким образом, числа x, удовлетворяющие неравенству –2x – 7 > 2 – 5x, суть числа, большие 3.