Математика в музыке 1

Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

Итак, квинта является средним арифметическим частот основного тона w1 и октавы w2, а кварта - средним гармоническим w1 и w2. Или иначе: квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта - среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме. Гармонию звуков пифагорейцы считали лишь проявлением более глубокой гармонии - красоты окружающего мира. Пифагорейцы известны в истории эстетики благодаря еще одной теории. Она также была связана с музыкой, но имела иной характер. Если первая теория, как мы убедились, была построена на математических пропорциях, то вторая теория провозглашала музыку силой, способной воздействовать на душу. Хорошая музыка может улучшить душу, а плохая - испортить ее. Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами.

У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы, кроме описанного выше. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами - квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например "до" (3/2)О = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)1= 3/2 - соль, (3/2)2:2 = 9/8 - ре, (3/2)3:2 =27/16 - ля, (3/2)4:22 = 81/64 - ми, (3/2)5: 22 = 243/128 - си, (3/2)-1:2 =4/3 - фа.

Располагая эти звуки по порядку, получаем пифагоров строй лидийской гаммы. Исходя из возможных построений звукоряда были получены несколько названий тетрахорда - четырехступенного звукоряда в пределах кварты. Это были дорийский, фригийский и уже упомянутый лидийский строй музыкальной гаммы.

Последнее построение музыкальной гаммы обладает такой особенностью: двигаясь по квинтам вверх и вниз, не получится точного октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой. Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий "резала ухо" музыкантам. Взяв отношение (3/2)12:27, можно найти численное значение пифагоровой коммы (1,0136).

Итак, гармония космоса была воплощена пифагорейцами в сфере музыки. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву - 2/1, большую сексту - 5/3, малую сексту - 8/5, чистую квинту - 3/2, чистую кварту - 4/3, большую терцию - 5/4 и малую терцию - 6/5. С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений "на небе", проделав огромную вычислительную работу, И.Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим: Марс - 3/2, Юпитер - 6/5, Сатурн - 5/4. "Солнце гармонии засияло во всем блеске. Небесное движение есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся музыка", - так думал ученый. Здесь Кеплера не оставляет буйная фантазия. Небольшие расхождения в расчетах и наблюдениях он обьясняет тем, что небесный секстет должен звучать одинаково согласно и в мажоре, и в миноре, а для этого ему необходимо иметь возможность перестраивать свои инструменты.

Далее Кеплер пишет о том, что Сатурн и Юпитер "поют" басом, а Марс - тенором, Земля и Венера - альтом, а Меркурий - дискантом. Никаких доказательств он не приводит. Выполняя многочисленные расчеты, ученый устал в поисках всеобщей гармонии. "Мой мозг устает, когда я пытаюсь понять, что я написал, и мне уже трудно восстановить связь между рисунками и текстом, которую я сам когда-то нашел", - писал знаменитый астроном и математик. Наступало новое время в естествознании: на смену поискам И.Кеплера шли открытия Ньютона.

XVII век ознаменовался новыми открытиями в области математики. В 1614 году опубликованы таблицы логарифмов. Их автор - шотландец Д.Непер. Он не был математиком по профессии. Получив хорошее образование у себя на родине, Д.Непер занимался астрономией и математикой как любитель и добился некоторых важных открытий. Теперь его именем называют ряд правил и формул сферической геометрии. Впоследствии в предисловии к своему сочинению, посвященному таблицам, он писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от скуки и трудности вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".

XVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А.Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы... Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Вначале было дано физическое определение звука. Музыкальный тон, как уже говорилось, есть колебательный процесс с некоторой фиксированной частотой. Известно, что человеческое ухо способно воспринимать колебания частоты от 16 до 20000 гц. Если рассмотреть таблицу для среднего, наиболее употребительного участка частот в диапазоне первой октавы фортепиано, то увидим следующие частоты:

Эти частоты выбраны не случайно, ведь в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Шкала полностью определяется, если известно число ее ступеней между частотой w и частотой 2w. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих частот: log2w0, log2w1...log2wm. Октава (w0,2w0) при этом перейдет в промежуток от log2w0 до log2w0 = log2w0+1, т.е. в промежуток длиной 1. Геометрическая прогрессия w0,w1,..,wm будет соответствовать арифметической log2w0, , , .., или , , , .., . Разность этой прогрессии равна . Таким образом, на оси логарифмов шкала будет состоять из точек А, А+1/m; А+2/m;...; А+1, где А - величина . На сколько же частей должна быть разделена музыкальная шкала, чему равно m? Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Найдем теперь соответствующие значения логарифмов по основанию двух приведенных выше отношений. На рисунке шкала разделена на 12 равных отрезков. Здесь мы видим указанные частоты и их логарифмы. Построенная двенадцатиступенная шкала реализует перечисленные ранее условия. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно .

Органы, настроенные А. Веркмайстером, зазвучали в равномерно-темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было

осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав "Хорошо темперированный клавир", состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших "за" или "против" нового музыкального строя.

История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация.

Уже в нашем веке появлялись попытки усовершенствования равномерно-темперированного строя. Не надо забывать, что в его основу положены частоты, выражающиеся приближенными значениями чисел. А приближенное значение иррационального числа всегда определяется с заданной степенью точности. В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.

Итак, в математическом построении 12 мажорных и 12 минорных тональностей совершенно тождественны. А как в звучании? Конечно, каждая из тональностей обладает своим неповторимым музыкальным оттенком. Можно провести своего рода эксперимент для произведения разных тональностей, определяя характер их звучания и музыкальные характеристики. Слушая сонату Л.Бетховена "Аврора", написанную в до мажоре, чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Тональности ми мажор (романс П.И.Чайковского "День ли царит") присуще взволнованное, страстное переживание. Считается, что тональность фа-диез мажор ("Весной" Э.Грига) используется для выражения радостно возвышенных чувств. А тональности до минор ("Похоронный марш" из Героической симфонии Л.Бетховена) и ми-бемоль минор (романс Полины из оперы П.И.Чайковского "Пиковая дама") чаще других помогают композитору выразить глубокое трагическое состояние.

Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы - основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония. Известны и другие случаи использования математических методов в анализе музыкальных произведений. В частности, золотое сечение может быть применено к анализу построения музыкальных фрагментов. О золотом сечении говорилось в статье "Как скульптор Поликлет решал задачи" ("УГ", N 48, 1996г.).

Приемы дирижирования.

Под дирижированием, в широком смысле этого слова, подразумевается управление исполнением музыкального произведения хором, оркестром или другими крупными ансамблями.

В применении к пению или сольфеджио под дирижированием подразумевается средство: во-первых, счета, то есть указания времени продолжительности и смены долей такта; во-вторых, установления темпа для данного произведения.

В основу приемов дирижирования положены двухдольные, трехдольные и четырехдольные фигуры взмахов. Они заключаются в следующем (все схемы даны для правой руки):

А) Все простые двухдольные размеры движутся двумя взмахами – вниз и вверх:

Примечание: начало каждой доли такта наступает момент окончания взмаха. В опорной точке движения

Б) Все простые трехдольные размеры дирижируются тремя взмахами – вниз, вправо и вверх.

В) Четырехдольные размеры - четырьмя взмахами – вниз, влево, вправо, вверх.

Г) Шестидольные размеры дирижируются шестью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваиваются движения вниз и вправо.

Д) Девятидольные размеры дирижируются девятью взмахами. В основе приема лежит трехдольная фигура, в которой утраиваются все взмахи:

В быстром темпе девятидольные размеры дирижируются как простые трехдольные размеры, по три доли на взмах.

Е) Двенадцатидольные размеры дирижируются двенадцатью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов. Каждое направление движения соответствует простому такту. Каждый взмах этой фигуры устроен:

IV. Заключение

Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием "Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой "Порги и Бесс", пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...

Библиография

1. «Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.

2. Р.Глиэр. О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8