Математический компонент музыкального языка

Вступление.

Данную тему этой работы я выбрала неслучайно. Я очень люблю музыку. Окончила музыкальную школу по классу фортепиано с красным дипломом. А в школе, уже в старших классах я увлеклась математикой. Мне нравится решать задачи, находить интересные решения, доказывать теоремы. И однажды, на уроке сольфеджио в музыкальной школе я увидела взаимосвязь между цифрами и мелодией, записанной нотами. Меня заинтересовала эта тема. Мне захотелось подробнее заняться этой проблемой. Результатом моих поисков явилась эта работа.

Основная часть.

Представление о музыки в древности.

Взаимосвязью между музыкой и математикой интересовались еще в древности. И это неудивительно, поскольку присутствие в музыке математического компонента очевидно. Самые важные характеристики звука – его высота и длительность – определяются количеством колебаний и продолжительностью звучания, которые в свою очередь выражаются посредством конкретного числа. Как известно, пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число. Более того, число в различных ипостасях: «бог-число», «вещь-число», «искусство-число» и т.д. стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй мира», действующий гармонично во всех проявлениях. Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и человеческой души и конкретной вещи.

Музыкальная гармония мыслилась древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего с математикой. В глубокой древности было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стал эмблемой музыкальной искусства.

Средневековое понимание цифр в музыке

При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо постоянно иметь в виду тот исключительно важный и в известной степени определяющий факт, что средневековыми теоретиками музыка понималась не как искусство, a, прежде всего, как наука. Именно это обуславливает специфические особенности музыкальной эстетики средневековья в отличие от современной.

Известно, что музыка входила в состав семи "свободных искусств", делившихся на "trivium" (грамматика, риторика, логика) и "quadrivium" (арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.

В IV-V веках в странах Западной Европы появляется обширная литература на латинском языке, посвященная теоретическим вопросам музыки. К IV веку относится комментарий Клавдия к платоновскому "Тимею". В начале V века Макробий пишет комментарий к цицероновскому "Сну Сципиона". В это же время появляется трактат Августина "О музыке", состоящий из шести книг, а в 430 году — книга Марциана Капеллы "О музыке". В период с 500 по 510 год пишет свои пять книг о музыке Боэций.

Взаимосвязь между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения.

Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. Чтобы, например, к двум прибавить пять нужно от 2 переместиться на 5 единиц в сторону увеличения чисел – получаем 7. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон ), если звукоряд восходящий. Соответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на полтона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду.

Ученые, изучавшие взаимосвязь между восприятием музыки и мыслительными процессами (Генрих Гетце 1994, Мария Спайхигер 2000) утверждают, что, оперируя математическим рядом чисел и выполняя любые арифметические действия «в уме», будь то сложение, вычитание, умножение, деление или даже извлечение корня и возведение в степень, человек достигает результата весьма похожими пространственными мыслительными операциями, что и при дифференциации звуковысотности и длительности. Нам также кажется весьма логичным утверждение, что существует определенная связь между арифметическими и музыкальными мыслительными операциями. При написании музыкального диктанта человек, не обладающий абсолютным музыкальным слухом вполне в состоянии записать точно и правильно прослушанную им мелодию, если он хорошо дифференцирует сравнительную звуковысотность (выше, ниже), темп (быстрее, медленнее), музыкальные длительности (дольше, короче, длиннее). Способность дифференцировать эти сравнительные соотношения тренируется и развивается музыкальными занятиями. Те же соотношения используются и в математике.

Определение интервала в музыке есть не что иное, как вычисление разности между двумя звуками. Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т.е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 - если слышат кварту, от 1 до 7, если септиму и т.д. Наверное, возможно также представление септимы как отрезок чисел от 2 до 9 или от 3 до 10 – он также равен 7.

Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию. Обычно мотив умещается в 1-2 такта, отрезок из 2-3 мотивов образует относительно законченное музыкальное построение, называемое фразой; 2фразы образуют предложение, 2 предложения составляют законченный раздел, завершающийся кадансом и который называется периодом, который состоит в свою очередь из 8 или 16 тактов. Разные способы развития и сопоставления элементов мелодии образуют различные типы музыкальных форм. Так, последование 2 периодов образуют простую двухчастную форму, 3 раздела образуют сложную трехчастную форму. Существуют и другие музыкальные формы: тема с вариациями, куплетная форма, рондо, сонатная форма, фуга, смешанные формы. Но все они представляют собой определенную формулу музыкального построения, как, например, известная 12-тактовая формула классического блюза или формула построения джазовой пьесы. Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле, точно также как и формально сочинять стихи. (Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять собой какую-либо художественную ценность). И хотя композиторами становятся далеко не все студенты музыкальных отделений, тем не менее, на занятиях по музыкальной гармонии фуги сочиняют все.

Что же касается нотной записи, то здесь без математических знаний не обойтись! То, с чего собственно и начинается музыка, один из основных элементов выразительности мелодии (наряду с различной высотой, интервальными соотношениями звуков, составляющих мелодию) – это ритм. Мелодия образуется только в том случае, если звуки организованы ритмически, т.е. определяются определенными длительностями. Чередование звуков вне ритма не воспринимается как мелодия; ритм же подчас настолько ярко характеризует мелодию, что ее можно узнать только по обозначению длительностей звуков без указания их высоты.

Основные ритмические измерения, применяемые в музыке - это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая.

Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т.е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби, обозначающей размер: например, в размере 3/4 – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты.

Так, обозначение четвертная нота = 80 указывает, что в минуту должны прозвучать 80 четвертных долей (и соответственно – 40 половинных или 160 восьмых и т.д.). Причем, абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, от которого зависит замысел музыкального произведения.

В Западной музыкальной культуре музыка строится по законам симметричных форм. Это означает, что основные цифровые соотношения внутри формы — чётные (кратные двум или трём). Сама же форма строится по принципу двух частности (как песня), или трех частности, где первая часть — «А», вторая — «Б», а третья — повторение первой («А»). Причём двух частная форма, как правило, повторяется тоже три раза. В инструментальной музыке, первая часть двух частной формы (А) может довольно значительно варьироваться и изменяться при повторах, образуя уже новую самостоятельную форму («А-Б» — «В-Б» — «Д-Б», где части «В» и «Д» являются варьированной или изменённой частью «А»). Эта форма в классической музыке получила очень широкое распространение в виде формы «рондо». Это главные элементы, по которым можно определить принадлежность какой-либо мелодии к Западной музыкальной культуре. Формы других музыкальных культур строятся по иным цифровым соотношениям. Но, вначале, попробуем разобраться в формах Западной музыкальной культуры, в основе которой лежат цифры 2 и 3.

Если мы при помощи компьютера или любого другого музыкального автомата воспроизведём какую-либо мелодию, то, при прослушивании, наш организм начнёт выделять ритмические пульсации, т.е. чередование сильных и слабых ритмических долей. Такие пульсации могут быть двух долевые (первая доля — сильная, вторая — слабая), или трёх долевые. Естественно, что ни одно музыкальное механическое устройство никаких ритмических долей сам по себе не выделяет. Эта способность — исключительное свойство человеческого организма. Тут мы сталкиваемся с первым скрытым свойством цифр в музыке — пробуждать в нас ритмические пульсации, без которых восприятие музыки невозможно. Сразу же отметим, что этим свойством обладают все цифры. Но каждая цифра обладает своим уникальным набором воздействий на человека. И, хотя, эти воздействия и взаимосвязаны, но значительно отличаются от действия цифр 2 и 3. Более подробно это мы затронем позднее. А сейчас, мы попробуем более детально разобраться в свойствах ритмов, в основе которых лежат цифры 2 и 3.

Цифра 2. Эта цифра лежит, прежде всего, в основе всей маршеобразной музыки. Любой марш вызывает в каждом человеке конкретные ощущения, связанные с линейной цикличностью. Эти ощущения обостряют в человеке контрастные восприятия. В спокойном состоянии, человек вовсе не предрасположен к контрастным ощущениям. Человек находится в определённом эмоциональном равновесии, и не склонен впадать в крайности. Это состояние делает его устойчивым к внешним раздражениям, и свободным от желания подчиняться или руководствоваться внешними влияниями. Человек максимально независим от внешних раздражающих факторов. (Кстати: состояние независимости укрепляет цифра 4.) Маршеобразные же ритмы начинают «раскачивать» это равновесие, и, в определённый момент, меняют всю картину на противоположную. В результате разрушения внутреннего равновесия, в человеке возникает психологическая потребность сосредоточиться на какой-либо цели, чтобы сохранить внешнее равновесие духовных и физических сил. Такая цель вызывает необычайный подъём воодушевления и концентрации всех сил, и человек становится способным совершить необычайную работу, на которую, в нормальном состоянии, он практически не способен. Это свойство маршеобразных ритмов всегда использовалась в процессе массовых мероприятий (на парадах в армии, на массовых работах и т.п.). Таким образом, цифра 2 обладает свойством «раскачивать» линейные свойства психики (контраст между «белым и чёрным», «хорошим и плохим», «весёлым и грустным», «страхом и смелостью», и т.д.).

Цифра 3 — связана, прежде всего, с круговой цикличностью. Эта цифра лежит в основе всех вальсообразных ритмов. А эти ритмы вызывают в человеке ощущения вращения. Если цифра 2 связана с линейным движением (от «+» к «-»), то цифра 3 связана с маятникообразным колебательным движением, где движение от одной крайности к другой всегда проходит через третью точку — точку равновесия, к которой оно тяготеет. Поэтому, действие цифры 3 на организм человека скорее успокаивающее. Замечено, что когда человек слышит музыку с основой цифры 2 (марш), то его мышцы невольно начинают линейно сокращаться. Когда же звучит музыка с основой цифры 3 (вальс), мышцы сокращаются колебательно. Сочетание же этих цифр в музыкальных ритмах, вызывает в человеке чувство сосредоточенности. Рассмотрим это подробнее.

Прежде всего, надо отметить, что здесь речь идёт не о количественных свойствах цифр, а о качественных. Говоря о качестве, мы рассматриваем взаимоотношение количеств. Например: беседа между двумя собеседниками всегда строится по иным законам, нежели между тремя, и т.д. Качественные свойства цифр проявляются, прежде всего, в соотношениях и пропорциях. Есть широко известные соотношения, такие как число «Пи», «Золотое сечение» и другие. О них очень много написано, поэтому мы не будем сейчас их затрагивать. Мы попробуем рассмотреть, где и как сочетаются в музыке цифры 2 и 3.

Все маршеобразные формы строятся по принципу кратности цифры 8, ибо любое законченное по смыслу музыкальное предложение объединяет восемь ритмических двух долевых фигур. Об этом известно из анализа распространённой музыкальной практики. Два таких предложения составляют, как правило, законченную музыкальную тему. Таким образом, музыкальная тема марша, реализующая психологически законченный период, который, как бы, возвращает слушателя к началу психологического цикла, соотносится с числом 16. И все вальсообразные формы строятся по аналогичному принципу.

Также хорошо известно, что минимальное время психологического комфорта восприятия таких форм — от двух до трёх минут. Но, при этом, эти виды пульсаций практически не встречаются и не сочетаются вместе в рамках классической музыки. Эти пульсации вызывают, как указывалось уже выше, два разных психологических побуждения. Сталкиваются же эти пульсации в самой распространённой форме джазовой музыки — в форме блюза, которая характеризуется кратностью числа 12. Это число, в свою очередь, структурируется соотношением 4х3. В чём проявляется это сочетание? Прежде всего, в том, что каждая ритмическая доля двух долевой пульсации содержит в себе трёх долевую пульсацию (4х12=48, 48х3=144). Но число 144 есть квадрат числа 12, а известно, что квадрат числа характеризует в пространстве линейные свойства самого числа. В музыке число 12 придаёт ей всепривлекательность, удовлетворяя почти все музыкальные пристрастия и вкусы.

Когда человек, слушая блюз, «включается» в эту форму, в нём возникают одновременно два психологических побуждения: двигаться вперёд, и при этом — раскачиваться как маятник (на этих движениях и основаны все джазовые танцы). Отсюда следует свойство цифры 12 сочетать в себе ритмически качественные свойства цифр 2 и 3, чего теоретически лишены формы, кратные числу 16. Я подчёркиваю — теоретически, ибо на практике встречается всякое. Но это «всякое» всегда требует конкретного рассмотрения, в результате которого, почти всегда, удаётся определить границы синтеза форм, кратных 12 и 16, в результате чего и возникает определённое смешение, которым изобилует, особенно, современная музыка. Из джаза же в музыкальную культуру пришло очень необычное для классической музыки понятие — свинг, которое, по сути, и является «оплетением» каждой из двух долевой ритмической доли тремя долями трёх долевой пульсации. В классической музыке есть аналогия, когда накладывается трёх долевая пульсация на двух долевую в виде триолей. Но это встречается в классике не часто в противоположность джазу, где это — основной принцип ритмообразования. Но здесь важно ещё раз напомнить, что двух долевые размеры присущи, в основном, маршеобразной музыке. В более развитой музыкальной практике, двух долевые пульсации объединяются в четырёх дольные размеры. Появляется новая цифра — 4. Чем вызвано это объединение?

В музыке есть понятие синкопы, когда ритмический акцент в мелодии переносится с ритмически сильной доли пульсации на слабую. В мелодии, наиболее остро это проявляется на стыке двух двухдолевых пульсаций. При этом практически стирается ритмическая граница между этими двумя пульсациями. «Психология» синкопы более полно реализуется уже в четырёх долевом периоде. При этом возникает очень много психологических эффектов, связанных с ещё одним обстоятельством, о котором мы поговорим несколько позже. Конечно же, здесь можно было бы привести множество цифровых соотношений. Но мы не будем вдаваться в увлекательные фокусы соотношений цифр, которые, на самом деле, скорее всё запутывают, чем проясняют. Мы пытаемся описать общий механизм взаимодействия качеств цифр в музыке, при этом, хорошо понимая, что рамки этой статьи позволяют задеть лишь «верхушку айсберга» музыки, ибо сущность цифр — одна из самых ёмких тем, требующая многотомных изложений.

Западная музыкальная культура оперировала качествами цифр 2, 3 и 4, максимально реализовав их свойства в музыке, ибо сущность этих цифр связана непосредственно с нашим миром материи, в котором восприятие построено на принципе: «верю лишь в то, что ощущаю через органы своих чувств». И, возведя этот принцип в ранг философии, Западная музыкальная культура развивала исключительно это направление, существуя как некое замкнутое на само себя явление, что отражает духовную сущность цифр 2 и 3, намекая, что эти цифры лежат в основе духовной сущности нашего мира. И здесь очень важно обратить внимание на некий принцип связи между этими числами через число 5. При этом мы уже вторгаемся на совершенно новую территорию для Западной музыкальной культуры — территорию психотропного воздействия музыки на человека.

Числа 2 и 3 связаны с цифрой 5 непосредственно суммой (2+3=5). Числа 3 и 4 — через второй уровень, т. е. через квадратную степень (три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате, т.е. через теорему Пифагора). Эту связь можно также выразить так: три в квадрате плюс два в четвёртой степени равняется пяти в квадрате. Здесь уместно также отметить одно особенное качественное свойство цифры 2, выраженное всем хорошо известной формулой: 2+2=2х2. Другими словами: количественный размер двух долевой пульсации не оказывает никакого влияния на качество суммы этих пульсаций, и не зависит ни от сложения двух разных по размеру пульсаций, ни от удвоения той же самой. То есть, эффект влияния двух долевой пульсации не зависит от её размера, но зависит только от её наличия. Поэтому, присутствие двух долевой пульсации в любой структуре воспринимается человеческим организмом однозначно: возникает желание линейного движения. Именно поэтому введение и использование в музыке ударных инструментов по принципу двух долевой пульсации — всегда вносит в любую музыку ощущение маршеобразности.

Мы уже упоминали про форму блюза и ритмическое качество джаза. Но есть и другое направление этого сочетания. Сложение цифр 2 и 3 в музыкальных ритмах даёт пяти долевые структуры. Каковы основные свойства этих структур?

Пяти размерные или пяти долевые ритмы всегда на слух воспринимаются как составные: 3+2. Это вносит определённое напряжение в музыку и всегда обращает на себя внимание от ощущения, что, либо что-то мешает восприятию, либо чего-то в этой музыке не хватает. Возникает ощущение, что пяти дольный период музыкального ритма, психологически, как бы отбрасывает или возвращает слушателя в исходную точку восприятия, мешая уловить музыкальный образ. И это, психологически, держит слушателя в неустойчивом эмоциональном состоянии. Это свойство, в виде определённого приёма, широко используется в джазовой музыке во время импровизаций. Импровизатор выходит из пяти дольного размера и создаётся эффект полиритмии, который очень «держит» внимание слушателя. Возникает ассоциативное ощущение сложного подъёма на горную вершину (хорошо знакомое всем альпинистам, когда азартное желание покорить эту вершину становится всепоглощающим). Когда же это заканчивается, всегда приходит и физическое и психологическое облегчение. Это же свойство широко используется и в музыке, сопровождающей идолослужение. Именно из-за этого вся музыка в древнем Египте строилась вокруг цифры 5. Известно, что в древнем Египте не было светского музицирования. Вся музыка была культовой, о чём свидетельствуют многочисленные изображения на фресках. Пяти долевой ритмический цикл вызывал дискомфорт психологического состояния слушателя и сильное желание избавиться от него. Человек становился очень зависимым от этого желания. И в этом состоянии он был легко уязвим и подвержен всяким влияниям, которые он воспринимал гораздо легче, нежели в обычном состоянии. Человеком можно было манипулировать. Человек был «готов» к подчинению разным влияниям, чем и пользовались египетские жрецы, чтобы сконцентрировать мыслительную энергию и направить её в определённом направлении и вызвать эффект гипнотического транса, который и открывал «ворота» к контактам с представителями «тёмных» сил. Цифра 5 являлась и является очень важным звеном в цепи связи человека и потусторонних сил нижних миров. Кстати: если цифра 4 (2х2), как известно из традиции, выражает духовную суть женского начала, цифра 3 — мужского, то цифра 5 — детского начала, которое очень сильно подвержено влиянию дурных воздействий, что хорошо известно всем родителям. Поэтому влияние музыки на становление духовного мира ребёнка — огромно.

Есть ещё два отличительных качества цифры 5. Из музыкальной практики известно, что любые слова, сказанные под сопровождение музыки с пяти долевыми ритмами, приобретают сразу же особую силу воздействия на слушателя. То есть, эта музыка органично сочетается с любым текстом.

Другое качество — любое число, разделённое на 5, всегда даёт конечный результат (как, впрочем, и числа 2,4 и 8). Это намекает на то, что связь с верхними мирами, организованными из более тонкой духовной материи (например, — радиоволны), осуществляется через числовые соотношения, выраженные бесконечными дробями, где, как раз, бесконечно повторяющаяся цикличность и свидетельствует, что наш мир устроен более грубо и не может полностью вместиться в верхние миры. Там всегда есть пространство, не вмещающее наш мир (как невозможно квадрат полностью вписать в круг). Любая же конечная дробь указывает на связь с «нижними» мирами, которые управляют более грубой материей. (Именно из этих миров идёт энергия магии и колдовства.) Но в нашем мире эта связь заканчивается и обрывается, что и характеризуют конечные дроби. Материя в нашем мире существует только лишь в виде форм, в основе которых лежат пространственные структуры, которые, в свою очередь, всегда можно представить и описать цифрами и цифровыми соотношениями. Поэтому, в нашем мире, цифры отражают сущность существующих форм нашего мира. Но только нашего. Большая ошибка — объяснять сущность других миров цифрами нашего мира. Но и проявление свойств цифр в нашем мире, также не однозначны, а зависят, прежде всего, от совокупности и порядка соотношений. В музыке цифры проявляются в построении мелодии, ритма и аккомпонимента. По сути — три грани одной и той же сущности. Три её свойства. Но человек, всё-таки, воспринимает их дифференцировано, хотя на человека воздействует весь комплекс этих свойств, как единое целое. В этом и парадокс музыки, и её тайна.

Мы попробовали немного рассмотреть лишь некоторые свойства цифр 2 и 3, проявляющихся в музыкальном ритме, как бы в «отрыве» от их действия в мелодии и в аккомпонименте. В наше же время, в основе самой распространённой массовой музыки лежат цифры 3 и 4. Если цифра 2 вызывает линейные резонансы, то цифра 4, являясь, как бы, следующей ступенью развития цифры 2, образует уже некое плоскостное пространство, внутри которого и функционирует цифра 2. Это пространство уже создаёт «свой» замкнутый мир образов, внутри которого происходит их самореализация. Поэтому цифра 4 (при помощи синкоп и других ритмических смещений) позволяет существовать эмоциональному состоянию человека внутри его линейного мира образов. Эта же цифра составляет размер, который определяет «личную» территорию каждого человека, на которой человек может свободно перемещаться без ограничений.

Я отдаю себе отчёт в туманности и расплывчатой неясности подобного изложения. Загадки цифр — туманны и таинственны, как и загадки построения форм. К примеру, одна из загадок: каждая форма в природе стремится быть симметричной, ибо это качество определяет её устойчивость и жизнеспособность в нашем мире. Но, несмотря на симметричность, как проявление гармонии, в каждой форме есть некая точка асимметрии, которая присутствует в одной части симметрии, но отсутствует в другой. И именно наличие этой точки, существование которой не подчиняется законам существования самой формы, и является причиной разрушения этой формы. Но именно из этой точки появляется новая форма. И весь цикл повторяется. Все цифровые соотношения в этой точке выражаются бесконечными дробями по отношению к соотношениям самой формы. Но именно с этой точкой связаны процессы эволюции и развития этой формы.

Вывод.

Таким образом, общность и единообразие математических и музыкально-теоретических процессов очевидно, и это служит свидетельством того, что занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио, и наоборот – решение музыкальных задач и упражнений или даже просто активное восприятие музыки может способствовать улучшению арифметических навыков. В связи с этим нам представляется весьма интересным использование музыкальных видов деятельности при обучении детей математике.

Используемая литература и источники.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Москва: Государственное издательство физико-математической литературы,    1960 г..

2.  Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г.

3. Ценова В.С. Числовые тайны музыки Софии Губайдулиной: Монографическое исследование. - М.: Московская гос. консерватория имени П.И. Чайковского, 2000г.