Алексей Абрикосов родился 25 июня 1928 года в семье видных патологоанатомов — заведующего кафедрой патологической анатомии Второго Московского государственного университета (с 1930 года — I Московский медицинский институт) академика Алексея Ивановича Абрикосова и ассистента кафедры, прозектора Кремлёвской больницы Фани Давидовны Вульф. После окончания школы в 1943 г. он начинает изучать энерготехнику, но в 1945 г. переходит к изучению физики. После получения диплома в 1948 г. он пишет под руководством Ландау кандидатскую диссертацию в институте физических проблем в Москве и защищает её в 1951 г. Тема диссертации «Термическая диффузия в полностью и частично ионизированных плазмах». В это же время его родителей отстраняют от работы в Кремлёвской больнице в ходе кампании против так называемых врачей-вредителей. После защиты он остался в институте и защитил в 1955 г. докторскую работу по теме квантовой электродинамики высоких энергий. В 1965 г. он становится во главе факультета теоретической физики сплошных сред в новооснованном институте теоретической физики. В 1975 г. Абрикосов становится почётным доктором в Университете Лозанны.

В 1991 г. он принимает приглашение аргоннской национальной лаборатории в Иллинойсе и переселяется в США. В 1999 г. он принимает американское гражданство. Абрикосов является членом разных знаменитых учреждений, напр. Национальной академии наук США, Российской Академии Наук, Королевского Научного Общества и Американской Академии Наук и Искусств.

Помимо научной деятельности он также преподавал. Сначала в МГУ — до 1969 г. С 1970 по 1972 г. в Горьковском университете, с 1976 по 1991 годы заведовал кафедрой теоретической физики в МФТИ и с 1976 по 1991 —кафедрой теоретической физики в МИСиСе, в Москве. В США он преподавал в университете Иллинойса (Чикаго) и в университете штата Юта. В Англии он преподавал в университете Лорборо.

Абрикосов женат. Имеет двух сыновей и дочь.