Изложена общая теория математической картографии, включающая общую теорию картографических проекций и основные положения теории других элементов математической основы карт, в том числе общие положения отображения поверхности Земли и других небесных тел на плоскости, теория искажений и отображения одних поверхностей на другие, определение и использование масштабных рядов карт, их компоновок, разграфок, координатных сеток, и номенклатур Рассмотрена теория классов картографических проекций, их классификации, даны конкретные формулы наиболее известных проекций. Приведены проекции для создания разнообразных карт конкретного назначения: топографических, морских, аэронавигационных, используемых в различных странах, проекции, применяемые для обработки геодезических измерений, с формулами редукций и другие. Изложены теоретические основы наилучших проекций и конкретные способы получения наиболее разработанных из них - равноугольных проекций, решения прямой и обратной задач математической картографии. Описаны методы анализа, выбора, изыскания, опознавания и преобразования картографических проекций, в том числе планов масштаба 1:500 -1:2 000, составленных в прямоугольной разграфке, в проекцию Гаусса-Крюгера, перехода из зоны в зону этой проекции; рассмотрены направления автоматизации в математической картографии. Для студентов вузов, аспирантов, обучающихся по специальности "Картография".

Предисловие

Настоящий учебник написан в соответствии с Государствeнным образовательным стандартом "Требования к минимуму содержания и уровню подготовки инженера по специальности 300400 — Картография", Государственным образовательным стандартом "Государственные требования к минимуму содержания и уровню подготовки магистра по направлению 552300 — Геодезия", утвержденному Государственным Kомитетом Российской Федерации по высшему образованию, в соответствии с учебными программами подготовки инженеров, магистров и аспирантов вузов России по дисциплине "Математическая картография". Книга предназначена для обучения студентов вузов, магистров и аспирантов картографической специальности. Основной целью данного издания является освещение и передача учащимся системы знаний по теории и практическим вопросам математической картографии, которая позволила бы им самостоятельно выполнять выбор и изыскание оптимальных картографических проекций и других элементов математической основы для создания разнообразных картографических произведений, решать различные задачи по картам с учетом свойств проекций, осуществлять их преобразование и сравнительный анализ. Полнота изложения в книге вопросов математической картографии обеспечивает студентам, аспирантам, преподавателям вузов и специалистам других учреждений проведение самостоятельных исследований на основе рассмотренных положений. Учебник может быть использован как пособие в работе научных сотрудников и инженеров при решении научных и практических задач как картографии, так и других наук и отраслей производства, использующих аппарат математической картографии, карты и космические снимки. При написании учебника использовались труды ученых, главным образом, российской школы математической картографии: Ф. Н. Красовского, В. В. Каврайского, Н. А. Урмаева, М.Д.Соловьева, Г.А.Гинзбурга, Л.А.Вахрамеевой, Г.А. Мещерякова, Г. И. Конусовой и других. Ряд вопросов этой научно-технической дисциплины изложен в учебнике впервые. Автор выражает свою благодарность руководству МИИГАиК за помощь в издании данного учебника.

Оглавление

Предисловие.............................................................................................. 3

Введение......................................................................................................4

Раздел 1. Общая теория математической картографии..........................12

1.1. Закономерности и общие положения отображения поверхностей небесных тел на плоскости.............................................................,............................................ 12

1.1 Л.Понятие о физической поверхности Земли и поверхностях относимости...........................,...................12

1.1.2. Системы координат, применяемые в математической картографии................................ . ........14

1.1.3. Системы координат трехосного эллипсоида..............................................................,.,............,.................24

1.1.4. Геодезические системы координат и высот, используемые при создании карт........................................29

1.1.5 Отображение бесконечно-малой сфероидической трапеции на плоскости......................................... 30

1 1.6. Определение картографической проекции; уравнения меридианов и параллелей; картографическая

сетка и условия ее изображения..............................................................................,................................35

1.1.7. Масштабы.......„..,..,......................................................................................................................... .„............38

1.1.8. Условия равноугольного, равновеликого и равнопромежуточного отображения поверхности эллипсоида (сферы) на плоскости.....................................................................................................„.„..........46

1.2. Теория искажений................................................................................................. 49

1.2.1. Эллипс искажений. Наибольшие искажения углов.............................................................50

1.2.2. Искажения азимутов......................................,....................................................................54

1.2.3. Искажения длин на проекции..............................................................................................55

1.2.4. Искажения площадей на проекции......................................................................................58

1.2.5. Соотношения искажений углов и площадей на проекции.....,.......................................... 58

1.2.6. Кривизна меридианов на проекциях.....................................................,.............. 59

1.2.7. Кривизна параллелей на проекциях.............................................................................60

1.2.8. Искажения г углов I между изображениями меридианов и параллелей в точках проекции................................................................................................................................. 61

1.2.9. Искажения форм...................................................................................................................62

1.2.10. Искажения и поправки за счет кривизны изображения геодезической линии на проекции..............,.....................................................................,............................................63

1.2.11. Кривизна локсодромии в точках проекции.....................................................................65

1.2.12. О распределении искажений на картографических проекциях.........................................66

1.3. Теория отображения одних поверхностей на другие, проекции «двойного» («тройного») отображения..........,........................................................................66

1.3.1. Общие положения отображения одних поверхностей на другие....................................67

1.3.2. Отображение эллипсоида вращения на поверхности шара............................................70

1.3.3. Определение координат полюсов косой и поперечной полярных сферических систем координат.........................................................,.................................................................... 82

1.3.4. О преобразовании систем сферических координат и получении проекций шара.......... 83

1.4. Классификация картографических проекций.....................................................84

1.4.1. Классификация проекций по ориентировке картографической сетки в зависимости от положения точки полюса принятой системы координат.....................................................84

1.4.2. Классификация проекций по виду нормальной картографической сетки и общих уравнений картографических проекций................................................................................85

1.4.3. Классификация картографических проекций по характеру искажений...........................95

1.4.4. Классификация проекций по способам их получения........................................................96

1.5 Основные положения теории определения главных масштабов, компоновок и

других элементов математической основы карт.................................................97

1.5.1. Главные масштабы карт................................................................................................97

1.5.2. Формат и компоновки карт................................................................................................103

1.5.3. Координатные сетки, показываемые на картах..............................................................111

1.5.4. Разграфки и некоторые системы номенклатур карт........................................................ИЗ

Раздел 2. Теория классов проекции....................................................120

2.1. Картографические проекции с прямолинейными параллельными параллелями..............,.......................................................................................... 120

2Л .2 Псевдоцилиндрические проекции............»....................................,..............................138

2.2. Картографические проекции с параллелями в виде концентрических окружностей.........................................................................................................155

2.2.1. Конические проекции.................................................................................................. 156

2.2.2. Азимутальные проекции ...................................,....................................................176

2.2.3. Перспективные азимутальные проекции............................................................184

2 2.4. Псевдоконические проекции ................................................................204

2 2.5. Псевдоазимутальные проекции............................................................209

2.3. Картографические проекции с параллелями в виде эксцентрических окружностей............................................................................................. 211

2.3.1. Поликонические проекции в "широком смысле"......................................................211

2.3.2. Поликонические проекции в "узком смысле".................................................................222

Раздел 3. Картографические проекции карт конкретного назначения ... 236

3.1. Проекции топографических карт.......................................................................236

3.1 Л. Псевдоцилиндрическая трапециевидная проекция.........................................................236

3.1.2. Поперечно-цилиндрические проекции..............................................................................237

3.1.3. Проекция Гаусса-Крюгера.................................................................................................239

3.1.4. Проекция UTM (Гаусса-Боага).................,................................................................243

3.1.5. Проекция Гаусса-Крюгера для широкой полосы........................................................243

3 1.6. Перевычисление плоских координат Гаусса-Крюгера из зоны в зону, а также в координаты других проекций...................,...................................................................246

3.1.7. О преобразовании прямоугольных координат планов 1:2 ООО и крупнее, имеющих разграфку по прямоугольной координатной сетке, в проекцию Гаусса-Крюгера ...........249

3.2. Равноугольные проекции эллипсоида, применяемые в геодезии [28]..........252

3.2.1. Проекция Гаусса-Крюгера............,.................................................................................252

3.2.2. Равноугольная коническая проекция Ламберта ...............................................................255

3.2.3. Стереографическая проекция Руссиля..............................................................................256

3.3. Проекции, используемые для создания карт масштабов 1Л ООО ООО и 1:2 500 ООО..........................................................................................................258

3.3.1. Видоизмененная простая поликоническая проекция и ее применение для карты масштаба 1:1 ООО ООО................................................,....................... 258

3.3.2. Проекции карты мира масштаба 1:2 500 000.................................................... 258

3.4. Проекции морских карт ...........,.....................................................................259

3.5. Проекции аэронавигационных карг................................................................262

3.5.1. Назначение аэронавигационных карт, основные проекции, используемые при их создании ..........................................................................................................262

3.5.2. Двуазимугальные проекции.................................................................................264

3.5.3. Эквидистантная по двум особым точкам проекция.........................................................266

3.5.4. Проекция Литтрова...................................................................................................... 267

3.6. Отображение на картах линий положения................................,.......................268

3.6.1. Определение геодезических координат промежуточных точек геодезических линий, локсодромии и малых кругов.........,............................................................................269

3.6.2. Отображение на картах линий трасс ИСЗ..................................................................... 274

3.7. Картографические проекции реальных поверхностей.....................................277

3.8. Проекции анаморфированных карт...............,...................................................279

3.9. Картографические проекции для карт глобусов......,........................................283

ЗЛО. Картографические проекции трехосного эллипсоида. Изометрические

координаты..........................................................................................................284

Раздел 4. Теоретические основы изыскания и выбора наилучших, идеальных и других проекций. Направления автоматизации математической основы карт........................................................289

4.1. Наилучшие и идеальные картографические проекции....................................289

4.1.1. Общие положения о наилучших и идеальных проекциях........................................... 2S9

4.1.2. Прямая и обратная задачи математической картографии в теории прямых отображений поверхностей на плоскость......................................................................................... 293

4.1.3. Уравнения, описывающие "обратные" отображения........................................................296

4.1.4. Проекция Чебышева - наилучшая равноугольная проекция............................................297

4.1.5. Равноугольные проекции с приспособляемой изоколой..................................................304

4.1.6. Равноугольные проекции, определяемые при помощи эллиптических координат........309

4.2. Способы изыскания картографических проекций...........................................311

4.2.1. Изыскание картографических проекций на основе решения прямой задачи математической картографии ..............................................................................................311

4.2.2. Изыскание картографических проекций на основе решения обратной задачи математической картографии ..............................................................................................325

4.3. Выбор картографических проекций...................................................................339

4.3.1. Теоретические основы выбора картографической проекции............................................339

4.3.2. Об определении характера искажений проекций создаваемых мелкомасштабных карт . 343

4.4. Опознавание (определение) проекций по виду изображения их меридианов и параллелей............................................................................................................346

4.5. Использование численных методов в математической картографии.............349

4.5.1. Общие сведения...................................................................................................................349

4.5.2. Интерполирование (экстраполирование)...........................................................................350

4.5.3. Численное дифференцирование.........................................................................................353

4.5.4. Численное интегрирование.................................................................................................355

4.5.5. Аппроксимация...................................................................................................................356

4.6. Основные проблемы и направления автоматизации получения и применения картографических проекций...............................................................................360

4.6.1. Вычисление картографических проекций при помощи ЭВМ..........................................361

4.6.2. Преобразование картографических проекций (картографического изображения) исходных карт в заданные проекции...................................................................................365

4.6.3. Автоматизированный выбор картографических проекций...............................................382

4.6.4. Автоматическое построение элементов математической основы.....................................385

Приложение №1 Значения элементов земных референц-эллипсоидов..............................................................................................................388

Приложение №2 Математические величины и некоторые формулы.......388

Список литературы...................................................................................390

Предметный указатель..............................................................................392