Информационный центр "Центральный Дом Знаний"
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
Золотарёва Н.Д., Попов Ю.А., Семендяева Н.Л., Федотов М.В., Алгебра. Базовый курс с решениями и указПод редакцией М. В. Федотова Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н. Д., Попов Ю.А., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.  М.: Фойлис, 2010. - 568 с: ил. Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач. Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов. От редактора Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ - школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников, используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее пособие. Сейчас изданы или готовятся к изданию пособия по алгебре, геометрии и физике. В дальнейшем предполагается продолжить эту серию силами преподавателей информатики подготовительных курсов факультета ВМК МГУ и выпустить аналогичные пособия по информатике. По каждому предмету должны выйти два пособия: базовый курс и курс, содержащий сложные задачи части С единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М. В. Ломоносова). Базовый курс содержит все разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ частей А, В и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись решать которые, Вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить все задачи). Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями, задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно, мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам. Оглавление От редактора.................................... 7 Предисловие.................................... 8 Часть I: Теория и задачи 11 1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства................................ 11 1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражений......................... 11 1.2. Сравнение чисел........................... 14 1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем........................ 15 1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета................................. 19 2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений .......................... 23 2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 23 2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений........... 26 2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования...................... 29 2.4. Смешанные задачи......................... 33 3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения........................ 34 3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов.............................. 34 3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению........ 37 3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим........................ 40 3.4. Различные задачи на отбор корней................ 44 4. Стандартные текстовые задачи...................... 46 4.1. Пропорциональные величины................... 46 4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии......... 48 4.3. Скорость, движение и время.................... 51 4.4. Работа и производительность................... 55 4.5. Проценты, формула сложного процента............. 56 5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства .................................... 59 5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений........... 59 5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования...................... 62 5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования..................... 66 5.4. Смешанные задачи......................... 70 6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций......................... 72 6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента......................... 72 6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений............. 74 6.3. Системы тригонометрических уравнений............ 77 6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства.................... 82 7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов .............................. 86 7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков ................ 86 7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат ................................... 91 7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств......................... 93 8. Элементы математического анализа................... 96 8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций....................... 96 8.2. Исследование функций с помощью производной........100 8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной................104 9. Текстовые задачи..............................108 9.1. Скорость, движение и время....................108 9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........110 9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 113 9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений........116 10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 119 10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями......................119 10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 124 10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах ....................127 11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов...........................128 11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования.....128 11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах .................................131 11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 135 11.4. Смешанные задачи.........................139 Часть II: Указания и решения 141 1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства ................................ 141 1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражений.........................141 1.2. Сравнение чисел...........................147 1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем........................152 1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета.................................158 2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений ..........................166 2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 166 2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений...........177 2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования......................182 2.4. Смешанные задачи.........................197 3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения........................216 3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . 216 3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению........221 3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим........................230 3.4. Различные задачи на отбор корней................241 4. Стандартные текстовые задачи......................254 4.1. Пропорциональные величины...................254 4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........257 4.3. Скорость, движение и время....................269 4.4. Работа и производительность...................279 4.5. Проценты, формула сложного процента.............284 5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства ....................................289 5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений...........289 5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования......................296 5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования.....................309 5.4. Смешанные задачи.........................327 6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций.........................341 6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента.........................341 6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений.............349 6.3. Системы тригонометрических уравнений............355 6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства....................369 7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов ..............................378 7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков ................378 7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат...................................386 7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств.........................395 8. Элементы математического анализа...................406 8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций.......................406 8.2. Исследование функций с помощью производной........409 8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной................417 9. Текстовые задачи..............................423 9.1. Скорость, движение и время....................423 9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.........431 9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 439 9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений........448 10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 458 10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями......................458 10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях .... 470 10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах ....................480 11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов...........................490 11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования.....490 11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах .................................502 11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 518 11.4. Смешанные задачи.........................533 Ответы.......................................554 Литература.....................................567 |
Loading
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||