Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa1. Скалярное поле
2. Векторное поле
3. Дивергенция. Вихрь
1. Скалярное поле
Вектор - функция скалярного аргумента.
Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента t, если каждому значению аргумента t из векторного множества T ставится в соответствие определенное значение .
В декартовой системе координат :
эквивалентно заданию трех скалярных функций
Непрерывно дифференцируемая кривая в каждой точке которой называется гладкой
В каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная - направлена по касательной в сторону возрастания параметра t.
Производная вектор функции:
а дифференциал:
- модуль дифференциала
- дифференциал длины дуги.
Пусть единичный вектор
углы вектора
с осями ox, oy, oz Þ направляющие косинусы единичного вектора касательной
Поверхность; Нормаль поверхности.
Поверхность будем рассматривать как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении.
Отображение можно задать следующим образом в векторном виде:
где x, y, z, - непрерывные в замкнутой ограниченной плоскости
В каждой точке гладкой поверхности существует нормаль векторное произведение касательных к кривым в т M0, к касательным, кривым равным g1, g2
Единичная нормаль
;
в случае , когда поверхность задается уравнением в явном виде касательные к поверхности в точке M
важно знать, что нормаль к поверхности определяется:
направляющие косинусы нормали к поверхности z=f(x;y) имеют вид
Говорят, что в системе W задано поле, если каждой точке этот области соответствует определённое значение некоторой величины числовой или векторной. Если в каждой точке рассматриваемой области W заданная величина принимает числовое значение, то поле скалярное, а если в каждой точке области W задан вектор, то поле называется векторным.
Задание скалярного поля означает, что в каждой точке , имеющей радиус вектор определенна скалярная функция . Задание векторного поля характеризуется заданием векторной функции .
Примеры скалярных полей:
Если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие её температуру T(M), то она образует поле температур внутри нагретого тела
- какой либо источник света создаёт скалярное поле освещённости и каждой точке М ставится в соответствие - освещенность в этой точке;
- каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды можно поставить в соответствие Плотность электрических зарядов – и получить скалярное поле плотности электрических зарядов;
- непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М – ставиться в соответствие плотность в этой точке.
Примеры векторных полей:
поле скоростей движущейся жидкости;
гравитационное поле;
электростатическое поле.
- Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, каждой точке М можно поставить в соответствие векторное поле скорости , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.
- Электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определённой силой на единичный электрический заряд, помещённый в точку М. Эти силы образуют векторное поле называемое электрическим полем.
Важными характеристиками скалярного поля являются:
- производная по направлению,
- gradient градиент.
Пусть в области W определёно скалярное поле . Возьмем в точке М фиксированное направление производная по направлению характеризует скорость изменения поля в направлении
– где - углы с осями координат.
Градиент скалярного поля определяется как вектор.
Производная по направлению достигает своего наибольшего значения в направлении ;
И наконец одно из важнейших свойств вектора градиента:
Вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции
2. Векторное поле
Работа векторного поля
Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии.
Векторной линией (силовой линией) поля называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.
Пусть векторное поле:
Тогда вектор направлен по касательной к линии и по определению векторной линии коллинеарен – векторному полю
Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла. Если в некоторой области задано некоторое силовое поле то при перемещении материальной точки M вдоль кривой поле L совершает некоторую работу A.
При сплошная
В случае когда F(M) - скалярное поле, то
Поток векторного поля.
Поверхностный интеграл I рода:
Пусть s – кусочно – гладкая поверхность, U(x; y; z) – скалярное поле на s.
Тогда поверхностным интегралом I рода называется:
- определяет поверхность s; D - проекция s на плоскость xoy;
Поверхностный интеграл II рода – называют потоком векторного поля через поверхность s. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа протекающего за единицу времени через поверхность s;
Пусть s-поверхность:
- скорость течения жидкости или газа - векторное поле;
- единичная нормаль к поверхности s;
Количество жидкости или газа (поток векторного поля) протекающее через s в направлении равно объему цилиндра с основанием Dsi, образующей. (......)