Центральный Дом Знаний - Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Я учусь (закончил(-а) в
Всего ответов: 2654

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

1. Скалярное поле
2. Векторное поле
3. Дивергенция. Вихрь

1. Скалярное поле

Вектор - функция скалярного аргумента.
Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента t, если каждому значению аргумента t из векторного множества T ставится в соответствие определенное значение  .

 

В декартовой системе координат  :
эквивалентно заданию трех скалярных функций

 

Непрерывно дифференцируемая кривая   в каждой точке которой   называется гладкой
В каждой точке гладкой кривой   существует касательная и производная   - направлена по касательной в сторону возрастания параметра t.
Производная вектор функции:

 

а дифференциал:

 

  - модуль дифференциала

 

- дифференциал длины дуги.
Пусть единичный вектор

   
  углы вектора

 с осями ox, oy, oz Þ направляющие косинусы единичного вектора касательной

 

Поверхность; Нормаль поверхности.
Поверхность будем рассматривать как образ замкнутой плоской области   при непрерывном отображении.
Отображение можно задать следующим образом в векторном виде:

 

где x, y, z, - непрерывные в замкнутой ограниченной плоскости  
 

В каждой точке гладкой поверхности существует нормаль векторное произведение касательных к кривым в т M0,  к касательным, кривым равным g1, g2
Единичная нормаль

 ;

в случае  , когда поверхность задается уравнением в явном виде   касательные к поверхности в точке M

 
 

важно знать, что нормаль к поверхности определяется:

 

направляющие косинусы нормали  к поверхности z=f(x;y) имеют вид

 

Говорят, что в системе W задано поле, если каждой точке этот области соответствует определённое значение некоторой величины числовой или векторной. Если в каждой точке рассматриваемой области W заданная величина принимает числовое значение, то поле скалярное, а если в каждой точке области W задан вектор, то поле называется векторным.
Задание скалярного поля означает, что в каждой точке  , имеющей радиус вектор   определенна скалярная функция  . Задание векторного поля характеризуется заданием векторной функции  .
Примеры скалярных полей:
Если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие её температуру T(M), то она образует поле температур внутри нагретого тела
- какой либо источник света создаёт скалярное поле освещённости и каждой точке М ставится в соответствие   - освещенность в этой точке;
- каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды можно поставить в соответствие Плотность электрических зарядов   – и получить скалярное поле плотности электрических зарядов;
- непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М – ставиться в соответствие плотность   в этой точке.
Примеры векторных полей:
поле скоростей движущейся жидкости;
гравитационное поле;
электростатическое поле.
- Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, каждой точке М можно поставить в соответствие векторное поле скорости  , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.
- Электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определённой силой   на единичный электрический заряд, помещённый в точку М. Эти силы образуют векторное поле называемое электрическим полем.
Важными характеристиками скалярного поля являются:
- производная по направлению,
- gradient градиент.
Пусть в области W определёно скалярное поле  . Возьмем в точке М фиксированное направление   производная по направлению характеризует скорость изменения поля в направлении  

 

– где   - углы   с осями координат.
Градиент скалярного поля определяется как вектор.

 

Производная по направлению   достигает своего наибольшего значения в направлении ;

 

И наконец одно из важнейших свойств вектора градиента:
Вектор   направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции

 
 

2. Векторное поле

Работа векторного поля
Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии.
Векторной линией (силовой линией) поля   называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.

 

Пусть   векторное поле:
Тогда вектор   направлен по касательной к линии   и по определению векторной линии коллинеарен   – векторному полю  
Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла. Если в некоторой области задано некоторое силовое поле   то при перемещении материальной точки M вдоль кривой поле L совершает некоторую работу A.

  

При   сплошная

 

В случае когда F(M) - скалярное поле, то

 

Поток векторного поля.
Поверхностный интеграл I рода:
Пусть s – кусочно – гладкая поверхность, U(x; y; z) – скалярное поле на s.
Тогда поверхностным интегралом I рода называется:

 
 
 
 

- определяет поверхность s; D - проекция s на плоскость xoy;
Поверхностный интеграл II рода – называют потоком векторного поля  через поверхность s. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа протекающего за единицу времени через поверхность s;
Пусть s-поверхность:
 - скорость течения жидкости или газа - векторное поле;
 - единичная нормаль к поверхности s;
Количество жидкости или газа (поток векторного поля) протекающее через s в направлении   равно объему цилиндра с основанием Dsi, образующей. (......)

Loading

Календарь

«  Август 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24