Информационный центр "Центральный Дом Знаний"
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa1. Скалярное поле 2. Векторное поле 3. Дивергенция. Вихрь 1. Скалярное поле Вектор - функция скалярного аргумента. Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента t, если каждому значению аргумента t из векторного множества T ставится в соответствие определенное значение . В декартовой системе координат : эквивалентно заданию трех скалярных функций Непрерывно дифференцируемая кривая в каждой точке которой называется гладкой В каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная - направлена по касательной в сторону возрастания параметра t. Производная вектор функции: а дифференциал: - модуль дифференциала - дифференциал длины дуги. Пусть единичный вектор углы вектора с осями ox, oy, oz Þ направляющие косинусы единичного вектора касательной Поверхность; Нормаль поверхности. Поверхность будем рассматривать как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении. Отображение можно задать следующим образом в векторном виде: где x, y, z, - непрерывные в замкнутой ограниченной плоскости В каждой точке гладкой поверхности существует нормаль векторное произведение касательных к кривым в т M0, к касательным, кривым равным g1, g2 Единичная нормаль ; в случае , когда поверхность задается уравнением в явном виде касательные к поверхности в точке M важно знать, что нормаль к поверхности определяется: направляющие косинусы нормали к поверхности z=f(x;y) имеют вид Говорят, что в системе W задано поле, если каждой точке этот области соответствует определённое значение некоторой величины числовой или векторной. Если в каждой точке рассматриваемой области W заданная величина принимает числовое значение, то поле скалярное, а если в каждой точке области W задан вектор, то поле называется векторным. Задание скалярного поля означает, что в каждой точке , имеющей радиус вектор определенна скалярная функция . Задание векторного поля характеризуется заданием векторной функции . Примеры скалярных полей: Если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие её температуру T(M), то она образует поле температур внутри нагретого тела - какой либо источник света создаёт скалярное поле освещённости и каждой точке М ставится в соответствие - освещенность в этой точке; - каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды можно поставить в соответствие Плотность электрических зарядов – и получить скалярное поле плотности электрических зарядов; - непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М – ставиться в соответствие плотность в этой точке. Примеры векторных полей: поле скоростей движущейся жидкости; гравитационное поле; электростатическое поле. - Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, каждой точке М можно поставить в соответствие векторное поле скорости , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости. - Электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определённой силой на единичный электрический заряд, помещённый в точку М. Эти силы образуют векторное поле называемое электрическим полем. Важными характеристиками скалярного поля являются: - производная по направлению, - gradient градиент. Пусть в области W определёно скалярное поле . Возьмем в точке М фиксированное направление производная по направлению характеризует скорость изменения поля в направлении – где - углы с осями координат. Градиент скалярного поля определяется как вектор. Производная по направлению достигает своего наибольшего значения в направлении ; И наконец одно из важнейших свойств вектора градиента: Вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции 2. Векторное поле Работа векторного поля Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии. Векторной линией (силовой линией) поля называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля. Пусть векторное поле: Тогда вектор направлен по касательной к линии и по определению векторной линии коллинеарен – векторному полю Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла. Если в некоторой области задано некоторое силовое поле то при перемещении материальной точки M вдоль кривой поле L совершает некоторую работу A. При сплошная В случае когда F(M) - скалярное поле, то Поток векторного поля. Поверхностный интеграл I рода: Пусть s – кусочно – гладкая поверхность, U(x; y; z) – скалярное поле на s. Тогда поверхностным интегралом I рода называется: - определяет поверхность s; D - проекция s на плоскость xoy; Поверхностный интеграл II рода – называют потоком векторного поля через поверхность s. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа протекающего за единицу времени через поверхность s; Пусть s-поверхность: - скорость течения жидкости или газа - векторное поле; - единичная нормаль к поверхности s; Количество жидкости или газа (поток векторного поля) протекающее через s в направлении равно объему цилиндра с основанием Dsi, образующей. (......) |
Loading
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa