Зарубин В.С., ИвановаЕ.Е., Кувыркин Г.Н.
Интегральное исчисление функций
одного переменного.
Интегральное исчисление функций
одного переменного. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.— 528 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI ).
Книга является шестым выпуском комплекса учебников "Математика в техническом университете". Знакомит читателя с понятиями неопределенного и определенного интегралов и методами их вычисления. Уделено внимание приложениям определенного интеграла, приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Для студентов технических вузов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Формат: djvu / zip
Размер: 5,9 Мб
Основные обозначения 10
1. Неопределенный интеграл 13
1.1. Вводные замечания 13
1.2. Понятия первообразной и неопределенного интеграла 14
1.3. Свойства неопределенного интеграла 19
1.4. Основные неопределенные интегралы 25
1.5. Интегрирование подстановкой и заменой переменного 29
1.6. Интегрирование по частям 38
Д. 1.1. Первообразная непрерывной функции 44
Вопросы и задачи 51
2. Интегрирование рациональных дробей 54
2.1. Дробно-рациональные подынтегральные функции 54
2.2. Интегралы от простейших рациональных дробей 56
2.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие 63
2.4. Интегрирование дробно-рациональных функций 73
Д.2.1. Метод Остроградского 81
Д.2.2. Интегрирование рациональных функций, содержащих биномы 93
Вопросы и задачи 97
3. Интегрирование иррациональных выражении 99
3.1. Рациональные функции от радикалов 99
3.2. Интегрирование функций, содержащих радикалы от дробно-линейной функции 101
3.3. Подстановки Эйлера 104
3.4. Другие приемы интегрирования 108
3.5. Тригонометрические и гиперболические подстановки 121
3.6. Интегралы от дифференциального бинома 125
Д.3.1. Геометрический смысл подстановок Эйлера 133
Д.3.2. Об интегрировании функций вида R(x} у/Рп(х)) 136
Вопросы и задачи 145
4. Интегралы от некоторых трансцендентных функций 148
4.1. Рациональные функции синуса и косинуса 148
4.2. Рациональные степени синуса и косинуса 159
4.3. Экспоненциальные и гиперболические функции 163
4.4. Различные трансцендентные выражения 171
Вопросы и задачи 177
5. Интеграл Ньютона 180
5.1. Понятие определенного интеграла Ньютона 180
5.2. Формула Ньютона — Лейбница 181
5.3. Свойства интеграла Ньютона 185
5.4. Теорема о среднем значении и ее следствия 187
5.5. Интеграл Ньютона с переменными пределами 193
5.6. Геометрическая и механическая интерпретации интеграла Ньютона 196
5.7. Способы вычисления интеграла Ньютона 202
Вопросы и задачи 208
6. Определенный интеграл 211
6.1. Интегральная сумма и ее предел 211
6.2. Интеграл Римана 214
6.3. Суммы и интегралы Дарбу 217
6.4. Критерий существования определенного интеграла . 222
6.5. Классы интегрируемых функций 227
6.6. Свойства интегрируемых функций 228
6.7. Основные свойства определенного интеграла 231
6.8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла 241
6.9. Определенный интеграл с переменным пределом 245
6.10. Вычисление определенного интеграла 250
Д.6.1. Доказательство теорем о классах интегрируемых функций 260
Д.6.2. Доказательство теорем 6.19 и 6.20 263
Д.6.3. Связь интегралов Ньютона и Римана 267
Д.6.4. Обобщение теорем о среднем значении 269
Вопросы и задачи 273
7. Несобственные интегралы 275
7.1. Интегралы по бесконечному промежутку 275
7.2. Основные свойства сходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку 283
7.3. Признаки сходимости интегралов по бесконечному промежутку 287
7.4. Интегралы от неограниченных функций 296
7.5. Сходимость интегралов от неограниченных функций 302
7.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов 305
7.7. Другие признаки сходимости несобственных интегралов 310
7.8. Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость 318
7.9. Преобразование несобственных интегралов 324
7.10. Главные значения несобственных интегралов 330 Вопросы и задачи 333
8. Интегралы, зависящие от параметра 336
8.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра . 336
8.2. Дифференцирование интегралов по параметру .... 341
8.3. Интегрирование по параметру 345
8.4. Равномерная сходимость несобственных интегралов 347
8.5. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов 351
8.6. Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов по параметру 356
8.7. Интегрирование несобственных интегралов по параметру 361
8.8. Эйлеровы интегралы 364
Вопросы и задачи 371
9. Приложения определенного интеграла 373
9.1. Общая схема применения интеграла 373
9.2. Длина кривой 374
9.3. Площадь плоской фигуры 384
9.4. Объем тела 400
9.5. Площадь поверхности 410
9.6. Вычисление масс и моментов инерции 419
9.7. Статические моменты и координаты центра масс 427
9.8. Работа, энергия, сила давления 434
Д.9.1. Движение материальной точки в центральном поле тяготения 445
Вопросы и задачи 450
10. Численное интегрирование 455
10.1. Существо подхода к численному интегрированию . . 455
10.2. Формула трапеции 459
10.3. Формула парабол 462
10.4. Формулы прямоугольников 467
10.5. Приближение многочленами высших степеней 471
10.6. Квадратурная формула Гаусса 476
10.7. Практическая оценка погрешности численного интегрирования 482
10.8. Учет особенностей поведения подынтегральной функции 488
10.9. Приближенное вычисление несобственных интегралов 492
10.10. Особенности вычисления неопределенных интегралов 497
Вопросы и задачи 499
Приложение. Таблица неопределенных интегралов 500
Интегралы от алгебраических функций 500
Интегралы от трансцендентных функций 510
Список рекомендуемой литературы 516
Предметный указатель 519