Никольский С.М.
6-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с.
Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.
Из предисловия:
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).
Формат: djvu / zip
Размер: 4,2 Мб
- ОГЛАВЛЕНИЕ
- Предисловие........................................................................................................ 9
- Глава 1. Введение..................................................................................... ..... 11
- § 1.1. Вступление....................................................................................... ...... 11
- § 1.2. Множество. Интервал, отрезок...................................................... 11
- § 1.3. Функция............................................................................................ ...... 14
- § 1.4. Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24
- § 1.5. Производная..................................................................................... 27
- § 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................................. 33
- § 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной
- фигуры.............................................................................................. ..... 36
- Глава 2. Действительное число............................................................. ...... 41
- § 2.1. Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41
- § 2.2. Определение неравенства................................................................ 46
- § 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46
- § 2.4. Основные свойства действительных чисел.................................... 49
- §2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
- Физические величины ..................................................................... ...... 52
- § 2.6. Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54
- § 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55
- § 2.8. Символика математической логики................................................ ...... 56
- Глава 3. Предел последовательности.................................................... ...... 58
- § 3.1. Понятие предела последовательности .......................................... 58
- § 3.2. Арифметические действия с пределами......................................... 62
- § 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины..................... 64
-
§3.4. Существование предела у
монотонной ограниченной последо
вательности ...................................................................................... ...... 66 - § 3.5. Число е.............................................................................................. ...... 68
- §3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней
- множества и сечения во множестве действительных чисел .... 69
- §3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71
- § 3.8. Критерий Коши существования предела....................................... 76
-
§ 3.9. Счетное множество.
Счетность множества рациональных
чи
сел. Несчетность множества действительных чисел...................... ...... 77 - Глава 4. Предел функции......................................................................... ...... 80
- §4.1. Понятие предела функции .............................................................. 80
- § 4.2. Непрерывность функции в точке ................................................. 88
- § 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94
- § 4.4. Функции, непрерывные на отрезке................................................ 98
- § 4.5. Обратная функция.......................................................................... 101
- § 4.6. Показательная и логарифмическая функции................................ 104
- § 4.7. Степенная функция х ................................................................... 109
- § 4.8. Еще о числе е.................................................................................... ПО
- § 4.9. lim ^.................................................................................................. 111
- § 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................. 112
- Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной
- переменной.................................................................................................... 117
- § 5.1. Производная.................................................................................... 117
- § 5.2. Дифференциал функции.................................................................. .... 121
- § 5.3. Производная функции от функции............................................... .... 124
- § 5.4. Производная обратной функции.................................................... 125
- § 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128
- § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129
-
§ 5.7...... Возрастание и убывание функции
на интервале и в точке. Ло
кальный экстремум ......................................................................... 133 -
§ 5.8. Теоремы о среднем
значении. Критерии возрастания и
убыва
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных - экстремумов..................................................................................... .... 135
- § 5.9. Формула Тейлора............................................................................ .... 139
- § 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .... 146
- § 5.11. Ряд Тейлора...................................................................................... 151
- § 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155
- § 5.13. Выпуклость кривой на отрезке...................................................... 157
- § 5.14. Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159
- § 5.15. Асимптота.......................................................................................... 163
- § 5.16. Схема построения графика функции.............................................. 166
- § 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ................... 170
- Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой.............................. 172
- § 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172
-
§ 6.2...... Евклидово гг-мерное
пространство. Пространство со
скаляр
ным произведением.......................................................................... 173 - § 6.3. Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176
- § 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177
- § 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179
- § 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции................ 183
- § 6.7. Длина дуги кривой........................................................................... 184
- § 6.8. Касательная...................................................................................... .... 187
- § 6.9. Основной триэдр кривой .............................................................. 188
- § 6.10. Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191
- § 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................................... 192
- § 6.12. Эволюта.............................................................................................. ... 194
- § 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты............................................... 196
-
Глава 7. Дифференциальное
исчисление функций многих
пе
ременных ....................................................................................................... 200 - § 7.1. Открытое множество........................................................................ .... 200
- § 7.2. Предел функции................................................................................ ... 202
- § 7.3. Непрерывная функция..................................................................... .... 206
- § 7.4. Частные производные и производная по направлению ................ 210
- § 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211
- § 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.
- Градиент............................................................................................ 215
- § 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........................... 220
- § 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222
- § 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса .................................................. 226
- § 7.10. Замкнутые и открытые множества.................................................. 227
- § 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
- на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229
- § 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233
- §7.13. Формула Тейлора............................................................................. 234
- § 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237
- § 7.15. Теоремы существования неявной функции................................... .... 241
- § 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247
- § 7.17. Отображения..................................................................................... .... 251
- §7.18. Гладкая поверхность ........................................................................ 255
- § 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ...................... 257
- § 7.20. Локальный относительный экстремум............................................ 259
- § 7.21. Замена переменных в частных производных................................... ... 267
- § 7.22. Система зависимых функций............................................................ 270
- Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272
- § 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по
- частям................................................................................................ ... 272
- § 8.2. Комплексные числа........................................................................... .... 278
- § 8.3. Комплексные функции...................................................................... 283
- § 8.4. Многочлены...................................................................................... .... 285
- § 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .... 288
- § 8.6. Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293
- § 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294
- § 8.8. Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295
- § 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.................... 297
- § 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 298
- § 8.11. Тригонометрические подстановки................................................... ... 301
- § 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
- функциях........................................................................................... 302
- Глава 9. Определенный интеграл Римана.................................................. 303
- § 9.1. Вступление....................................................................................... 303
- § 9.2. Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304
- § 9.3. Суммы Дарбу.................................................................................... . 305
- § 9.4. Основная теорема............................................................................ .. 306
-
§ 9.5. Теоремы о
существовании интеграла от непрерывной
и моно
тонной функции на [а, Ь] ............................................................... 309 - § 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310
- § 9.7. Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312
- § 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница .......................................................................................... 314
- § 9.9. Вторая теорема о среднем............................................................... 318
- § 9.10. Видоизменение функции................................................................. .. 318
- § 9.11. Несобственные интегралы.............................................................. 319
- § 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций............ 323
- § 9.13. Интегрирование по частям ............................................................ 325
- § 9.14. Несобственный интеграл и ряд....................................................... 327
- §9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330
- § 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331
- § 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга..................................................... 332
-
Глава 10. Некоторые
приложения интегралов. Приближен
ные методы..................................................................................................... 333 - § 10.1. Площадь в полярных координатах................................................. 333
- § 10.2. Объем тела вращения...................................................................... .. 334
- § 10.3. Длина дуги гладкой кривой............................................................. 335
- § 10.4. Площадь поверхности тела вращения............................................ 337
- § 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339
- § 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340
- § 10.7. Формула Симпсона.......................................................................... 341
- Глава 11. Ряды.............................................................................................. 343
- § 11.1. Понятие ряда................................................................................... 343
- § 11.2. Действия с рядами............................................................................ 345
- § 11.3. Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346
- § 11.4. Ряд Лейбница.................................................................................... . 350
- § 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350
- § 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными
- членами............................................................................................. .. 354
-
§ 11.7. Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке ............................................................................. .. 362 -
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно
сходящихся рядов .. 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних - арифметических ............................................................................... 371
- § 11.11. Степенные ряды............................................................................... 372
- § 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............ 377
- § 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, smz комплексной переменной .............................................................................................. 380
- Глава 12. Кратные интегралы................................................................... 383
- § 12.1. Введение ........................................................................................... 383
- § 12.2. Мера Жордана................................................................................. ..... 385
- § 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390
- § 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные координаты ................................................................................................... .... 392
- § 12.5. Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393
- § 12.6. Понятие кратного интеграла........................................................... 394
-
§ 12.7. Верхняя и нижняя
интегральные суммы. Основная
теорема ..... 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии .............................................................. 403 - § 12.9. Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404
- § 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным....................................................................................... 406
- § 12.11. Непрерывность интеграла по параметру...................................... 412
- § 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя.................... 414
- §12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415
- § 12.14. Замена переменных в кратном интеграле ..................................... 417
- § 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420
- § 12.16. Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424
- § 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.......... 426
- § 12.18. Гладкая поверхность ...................................................................... 428
- § 12.19. Площадь поверхности..................................................................... ..... 431
-
Глава 13. Теория
поля. Дифференцирование и интегрирова
ние по параметру. Несобственные интегралы........................................ 438 - § 13.1. Криволинейный интеграл первого рода........................................ 438
- § 13.2. Криволинейный интеграл второго рода........................................ 439
- § 13.3. Поле потенциала.............................................................................. .... 442
- § 13.4. Ориентация плоской области ........................................................ 450
- § 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный
- интеграл............................................................................................. .... 451
- § 13.6. Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454
- § 13.7. Ориентация поверхностей ............................................................. 457
- § 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461
- § 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.................. 463
- § 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................ 466
- § 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472
- § 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476
- § 13.13. Несобственный интеграл ............................................................... 478
- § 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла.................... 485
-
§ 13.15.
Равномерно сходящийся интеграл для
неограниченной области........ 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортого
нальные системы................................................................................................. 498 - § 14.1. Пространство С непрерывных функций....................................... 498
- § 14.2. Пространства l! (L) ......................................................................... 500
- § 14.3. Пространство L2 (L2)....................................................................... .... 504
- § 14.4. Пространство Ь'р(П) (ЬР(П))........................................................... .... 507
- § 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве............... 507
-
§ 14.6. Ортогональная система
в пространстве со скалярным произве
дением ............................................................................................... ... 507 - § 14.7. Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515
- § 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L (L) ........................... .... 517
- Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519
- § 15.1. Предварительные сведения ........................................................... 519
- § 15.2. Сумма Дирихле................................................................................ 525
- § 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье................................................ 527
- § 15.4. Теоремы об осцилляции................................................................. ..... 530
-
§ 15.5. Критерий сходимости
рядов Фурье. Полнота тригонометричес
кой системы функций....................................................................... 534 - § 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье........................................ 541
- § 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544
- § 15.8. Оценка остатка ряда Фурье............................................................ 546
- § 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548
- § 15.10. Теорема Вейерштрасса..................................................................... 549
- § 15.11. Многочлены Лежандра.................................................................... 550
- Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции............................... .... 553
- § 16.1. Понятие интеграла Фурье ............................................................. 553
- § 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
- функции............................................................................................ 556
- § 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-
- и синус-преобразования Фурье...................................................... 558
- § 16.4. Производная преобразования Фурье............................................ .... 562
- § 16.5. Обобщенные функции в смысле D................................................. 563
- § 16.6. Пространство S................................................................................ 570
- § 16.7. Пространство Sf обобщенных функций......................................... 574
- Предметный указатель........................................................................................... ..... 583
-