Центральный Дом Знаний - Курс математического анализа. Никольский С.М.

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Как Вы планируете отдохнуть летом?
Всего ответов: 854



Курс математического анализа. Никольский С.М.

  Никольский С.М.


6-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с.

Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.

Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.

Из предисловия:
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).
 

 

Формат: djvu / zip 

Размер: 4,2 Мб


            ОГЛАВЛЕНИЕ
   Предисловие........................................................................................................     9
   Глава   1.   Введение..................................................................................... .....    11
§ 1.1.   Вступление....................................................................................... ...... 11
§ 1.2.   Множество. Интервал, отрезок......................................................        11
§ 1.3.   Функция............................................................................................ ...... 14
§ 1.4.   Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24
§ 1.5.   Производная.....................................................................................        27
§ 1.6.   Первообразная. Неопределенный интеграл..................................        33
§ 1.7.   Понятие определенного интеграла.   Площадь криволинейной
фигуры.............................................................................................. ..... 36
   Глава   2.   Действительное число............................................................. ...... 41
§ 2.1.   Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41
§ 2.2.   Определение неравенства................................................................        46
§ 2.3.   Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46
§ 2.4.   Основные свойства действительных чисел....................................        49
§2.5.   Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
Физические величины ..................................................................... ...... 52
§ 2.6.   Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54
§ 2.7.   Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55
§ 2.8.   Символика математической логики................................................ ...... 56
   Глава  3.   Предел последовательности.................................................... ...... 58
§ 3.1.   Понятие предела последовательности ..........................................        58
§ 3.2.   Арифметические действия с пределами.........................................        62
§ 3.3.   Бесконечно малая и бесконечно большая величины.....................        64
§3.4.   Существование предела у монотонной ограниченной последо­
вательности ...................................................................................... ...... 66
§ 3.5.   Число е.............................................................................................. ...... 68
§3.6.   Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней
множества и сечения во множестве действительных чисел ....              69
§3.7.   Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы           71
§ 3.8.   Критерий Коши существования предела.......................................        76
§ 3.9.   Счетное множество.   Счетность множества рациональных чи­
сел. Несчетность множества действительных чисел...................... ...... 77
   Глава  4.   Предел функции......................................................................... ...... 80
§4.1.   Понятие предела функции ..............................................................        80
§ 4.2.   Непрерывность функции в точке .................................................        88
§ 4.3.   Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94
§ 4.4.       Функции, непрерывные на отрезке................................................       98
§ 4.5.       Обратная функция..........................................................................      101
§ 4.6.       Показательная и логарифмическая функции................................      104
§ 4.7.       Степенная функция х    ...................................................................      109
§ 4.8.       Еще о числе е....................................................................................      ПО
§ 4.9.        lim ^..................................................................................................      111
§ 4.10.     Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика).................      112
   Глава   5.               Дифференциальное исчисление для функций одной
переменной....................................................................................................      117
§ 5.1.       Производная....................................................................................      117
§ 5.2.      Дифференциал функции.................................................................. .... 121
§ 5.3.       Производная функции от функции............................................... .... 124
§ 5.4.       Производная обратной функции....................................................      125
§ 5.5.            Таблица производных простейших элементарных функций ....    128
§ 5.6.       Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129
§ 5.7...... Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло­
кальный экстремум ......................................................................... 133
§ 5.8.      Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва­
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных
экстремумов..................................................................................... .... 135
§ 5.9.       Формула Тейлора............................................................................ .... 139
§ 5.10.           Формула Тейлора для важнейших элементарных функций ....    146
§ 5.11.    Ряд Тейлора......................................................................................      151
§ 5.12.     Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155
§ 5.13.     Выпуклость кривой на отрезке......................................................      157
§ 5.14.     Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159
§ 5.15.    Асимптота..........................................................................................      163
§ 5.16.     Схема построения графика функции..............................................      166
§ 5.17.     Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ...................      170
   Глава  6.   n-мерное пространство. Геометрия кривой..............................      172
§ 6.1.       гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172
§ 6.2...... Евклидово гг-мерное пространство.   Пространство со скаляр­
ным произведением.......................................................................... 173
§ 6.3.       Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176
§ 6.4.       Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177
§ 6.5.       Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179
§ 6.6.       Геометрический смысл производной вектор-функции................      183
§ 6.7.      Длина дуги кривой...........................................................................      184
§ 6.8.       Касательная...................................................................................... .... 187
§ 6.9.       Основной триэдр кривой ..............................................................      188
§ 6.10.     Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191
§ 6.11.     Кривизна и радиус кривизны кривой...........................................      192
§ 6.12.   Эволюта.............................................................................................. ... 194
§ 6.13.   Формулы Френе. Свойства эволюты...............................................     196
   Глава   7.   Дифференциальное исчисление функций многих пе­
ременных .......................................................................................................     200
§ 7.1.     Открытое множество........................................................................ .... 200
§ 7.2.     Предел функции................................................................................ ... 202
§ 7.3.     Непрерывная функция..................................................................... .... 206
§ 7.4.     Частные производные и производная по направлению ................      210
§ 7.5.     Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211
§ 7.6.     Производная сложной функции. Производная по направлению.
Градиент............................................................................................      215
§ 7.7.     Независимость от порядка дифференцирования...........................      220
§ 7.8.     Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка ....          222
§ 7.9.     Теорема Больцано-Вейерштрасса ..................................................      226
§ 7.10.   Замкнутые и открытые множества..................................................     227
§ 7.11.   Функции на множестве.      Свойства непрерывных  функций
на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229
§ 7.12.   Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233
§7.13.    Формула Тейлора.............................................................................      234
§ 7.14.   Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237
§ 7.15.   Теоремы существования неявной функции................................... .... 241
§ 7.16.   Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247
§ 7.17.   Отображения..................................................................................... .... 251
§7.18.    Гладкая поверхность ........................................................................      255
§ 7.19.   Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ......................     257
§ 7.20.   Локальный относительный экстремум............................................     259
§ 7.21.   Замена переменных в частных производных................................... ... 267
§ 7.22.   Система зависимых функций............................................................     270
   Глава  8.  Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов                     272
§ 8.1.     Введение.   Методы замены переменной и интегрирования по
частям................................................................................................ ... 272
§ 8.2.     Комплексные числа........................................................................... .... 278
§ 8.3.     Комплексные функции......................................................................     283
§ 8.4.     Многочлены...................................................................................... .... 285
§ 8.5.     Разложение рациональной функции на простейшие дроби ....            288
§ 8.6.     Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293
§ 8.7.     Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294
§ 8.8.     Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295
§ 8.9.     Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева....................     297
§ 8.10.   Интегрирование тригонометрических выражений.........................     298
§ 8.11.   Тригонометрические подстановки................................................... ... 301
§ 8.12.   Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
функциях...........................................................................................      302
   Глава  9.   Определенный интеграл Римана..................................................    303
§ 9.1.       Вступление.......................................................................................    303
§ 9.2.       Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304
§ 9.3.      Суммы Дарбу.................................................................................... . 305
§ 9.4.       Основная теорема............................................................................ .. 306
§ 9.5.       Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно­
тонной функции на [а, Ь]  ...............................................................    309
§ 9.6.      Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310
§ 9.7.       Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312
§ 9.8.       Интеграл как функция верхнего предела.   Теорема Ньютона-Лейбница ..........................................................................................   314
§ 9.9.      Вторая теорема о среднем...............................................................    318
§ 9.10.     Видоизменение функции................................................................. .. 318
§ 9.11.     Несобственные интегралы..............................................................    319
§ 9.12.     Несобственные интегралы от неотрицательных функций............   323
§ 9.13.     Интегрирование по частям ............................................................    325
§ 9.14.     Несобственный интеграл и ряд.......................................................   327
§9.15.     Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках   330
§ 9.16.     Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331
§ 9.17.     Формулы Валлиса и Стирлинга.....................................................    332
   Глава   10.   Некоторые приложения интегралов.  Приближен­
ные методы.....................................................................................................   333
§ 10.1.     Площадь в полярных координатах.................................................   333
§ 10.2.     Объем тела вращения...................................................................... .. 334
§ 10.3.    Длина дуги гладкой кривой.............................................................   335
§ 10.4.     Площадь поверхности тела вращения............................................   337
§ 10.5.     Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339
§ 10.6.     Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340
§ 10.7.     Формула Симпсона..........................................................................   341
   Глава   11.   Ряды..............................................................................................    343
§ 11.1.     Понятие ряда...................................................................................    343
§ 11.2.    Действия с рядами............................................................................    345
§ 11.3.     Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346
§ 11.4.     Ряд Лейбница.................................................................................... . 350
§ 11.5.    Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350
§ 11.6.    Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными
членами............................................................................................. .. 354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость       356
§ 11.8.     Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке ............................................................................. .. 362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов ..         368
§ 11.10.   Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических ...............................................................................    371
§ 11.11.   Степенные ряды...............................................................................      372
§ 11.12.  Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............     377
§ 11.13.   Степенные ряды функций ez,   cosz,   smz комплексной пере­менной ..............................................................................................       380
   Глава   12.   Кратные интегралы...................................................................       383
§ 12.1.    Введение ...........................................................................................       383
§ 12.2.    Мера Жордана................................................................................. ..... 385
§ 12.3.     Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390
§ 12.4.     Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди­наты ................................................................................................... .... 392
§ 12.5.    Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393
§ 12.6.     Понятие кратного интеграла...........................................................     394
§ 12.7.     Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ..... 397
§ 12.8.     Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери­мом множестве. Другие критерии   ..............................................................      403
§ 12.9.     Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404
§ 12.10.   Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным.......................................................................................     406
§ 12.11.   Непрерывность интеграла по параметру......................................     412
§ 12.12.   Геометрическая интерпретация знака определителя....................     414
§12.13.   Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай         415
§ 12.14.   Замена переменных в кратном интеграле .....................................      417
§ 12.15.  Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420
§ 12.16.   Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424
§ 12.17.   Полярные и цилиндрические координаты в пространстве..........      426
§ 12.18.   Гладкая поверхность ......................................................................      428
§ 12.19.   Площадь поверхности..................................................................... ..... 431
   Глава   13.   Теория поля. Дифференцирование и интегрирова­
ние по параметру. Несобственные интегралы........................................     438
§ 13.1.     Криволинейный интеграл первого рода........................................     438
§ 13.2.     Криволинейный интеграл второго рода........................................     439
§ 13.3.     Поле потенциала.............................................................................. .... 442
§ 13.4.     Ориентация плоской области ........................................................      450
§ 13.5.     Формула Грина.   Выражение площади через криволинейный
интеграл............................................................................................. .... 451
§ 13.6.     Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454
§ 13.7.     Ориентация поверхностей .............................................................      457
§ 13.8.     Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461
§ 13.9.     Поток вектора через ориентированную поверхность..................     463
§ 13.10.  Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................     466
§ 13.11.   Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472
§ 13.12.  Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476
§ 13.13.   Несобственный интеграл ...............................................................      478
§ 13.14.   Равномерная сходимость несобственного интеграла....................      485
       § 13.15.   Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области........ 491
   Глава   14.   Линейные нормированные пространства.   Ортого­
   нальные системы.................................................................................................      498
§ 14.1.     Пространство С непрерывных функций.......................................     498
§ 14.2.     Пространства l! (L) .........................................................................       500
§ 14.3.     Пространство L2 (L2)....................................................................... .... 504
§ 14.4.    Пространство Ь'р(П) (ЬР(П))........................................................... .... 507
§ 14.5.     Полнота системы элементов в банаховом пространстве...............      507
§ 14.6.     Ортогональная система в пространстве со скалярным произве­
дением ............................................................................................... ... 507
§ 14.7.     Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515
§ 14.8.     Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L   (L) ........................... .... 517
   Глава   15.   Ряды Фурье. Приближение функций полиномами                    519
§ 15.1.     Предварительные сведения ...........................................................       519
§ 15.2.     Сумма Дирихле................................................................................      525
§ 15.3.     Формулы для остатка ряда Фурье................................................      527
§ 15.4.     Теоремы об осцилляции................................................................. ..... 530
§ 15.5.     Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес­
кой системы функций.......................................................................       534
§ 15.6.     Комплексная форма записи ряда Фурье........................................      541
§ 15.7.    Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544
§ 15.8.     Оценка остатка ряда Фурье............................................................      546
§ 15.9.    Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548
§ 15.10.  Теорема Вейерштрасса.....................................................................      549
§ 15.11.  Многочлены Лежандра....................................................................      550
   Глава   16.   Интеграл Фурье. Обобщенные функции............................... .... 553
§ 16.1.     Понятие интеграла Фурье .............................................................       553
§ 16.2.     Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
функции............................................................................................       556
§ 16.3.     Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-
и синус-преобразования Фурье......................................................      558
§ 16.4.     Производная преобразования Фурье............................................ .... 562
§ 16.5.     Обобщенные функции в смысле D.................................................       563
§ 16.6.     Пространство S................................................................................      570
§ 16.7.     Пространство Sf обобщенных функций.........................................       574
     Предметный указатель........................................................................................... ..... 583

Loading

Календарь

«  Август 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей