Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.  

Матвеев Н.М. 

3-е изд., испр. и доп. - М.: Высшая школа, 1967.— 565 с. 

В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних. Являясь учебником для студентов университетов, она может быть использована в педагогических институтах и в технических вузах, а также студентами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Формат: djvu / zip

Размер:  13,47 Мб

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах 13
§ 1. Основные понятия и определения 13
1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном, относительно производной (13). 2. Решение уравнения (И). 3. Неявное и параметрическое задания решения (15). 4. Геометрическое истолкование (16). 5. Задача Коши (21). 6. Достаточное условие существования решения задачи Коши (24). 7. Достаточные условия существования н единственности решения задачи Коши (25). 8. Общее решение (28). 9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме (31). 10. Частное решение (32). II. Особое решение (33). 12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению (35). 13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у (36). 14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (37). 15. Нахождение кривых, подозрительных иа особое решение в процессе построения общего решения (общего интеграла) (41). 10. Понятие об интеграле дифференциального уравнения (41). 17. Теорема о зависимости любых двух интегралов одного и того же уравнения (46). 18. Замечание об интегрируемости в квадратурах (48).
§ 2. Неполные уравнения 50
19. Уравнение, не содержащее искомой функции (50). 20. Уравнение, не содержащее независимой переменной (52)
§ 3. Уравнение с разделяющимися переменными 55
21. Построение общего интеграла (55). 22. Особые решения (58). 23. Примеры (58)
§ 4. Однородное уравнение 60
24. Построение общего интеграла (6Л). 25. Особые решения (62). 2G. Примеры (62). 27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения (63). - 28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному (65)
§ 5. Обобщенное однородное уравнение 66
29. Построение общего интеграла. Особые решения (66). 30. Пример (68)
§ 6. Линейное уравнение 68
31. Понятие о линейном уравнении (68). 32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения (60). 33. Построение общего решения однородного линейного уравнения (71). 34. Свойства решений однородного линейного уравнения (74). 35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения (75). 36. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) (76). 37. Примеры (80). 38. Геометрическое свой¬ство интегральных кривых линейного уравнения (81)
§ 7. Уравнение Бернулли 83
39. Построение общего решения (83). 40. Особое решение (83). 41. Пример (41)
§ 8. Уравнение Дарбу 85
42. Построение общего интеграла. Особые решения (85). 43. Пример (85).
§ 9. Уравнение Риккати 86
44. Существование и единственность решения задачи Коши (8RK 45. Общие свойства уравнения Риккати (88). 46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду (89). 47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах (90). 48. Построение общего решения в случае, когда "известно одно частное решение (91). 49. Структура общего решения (93). 50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения (94). 51. Специальное уравнение Риккати (94)
§ 11. Уравнение, в полных дифференциалах 96
52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах (96). 53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла (98). 54. Решение задачи Коши (100)
§ 12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя 101
55. Понятие об интегрирующем множителе (101). 56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х (103). 57. Случай интегрирующею множителя, зависящего только от #-(104). 58. Случай интегрирующего множителя яшца и.— «А [ш (х, у)\ (104). 59. Интегрирующий множитель и особые решения (103). 60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися непеменными (106). 61. Интегрирующий множитель однородного уравнения (106)
§ 13. Интегрирующий множитель. Общая теория 108
62. Теорема о существовании интегрирующего множителя (108). 63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя (109). 64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и се следствие (110). 65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя (112).
Глава вторая
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах ИЗ
§ 1. Основные понятия и определения ИЗ
77. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (ИЗ). 67. Примеры (118). 68. Нахождение кривых подозрительных па особое решение по дифференциальному уравнению (122). 69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (124)
§ 2. Неполные уравнения 125
70. Уравнение, содержащее только производную (125). 71. Уравнение, не содержащее искомой функции (127). 72. Уравнение, не содержащее независимой переменной (131). 73. Обобщенное однородное уравнение (132)
§ 3. Общий метод введения параметра 133
74. Приведение уравнения, . не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай (133). 75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции (134). 76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной (135). 77. Уравнение Лагранжа (136) 78. Уравнение Клеро (138)
§ 4. Задача о траекториях 141
79. Зачача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат (141). 80. Примеры (143). 81. Случай полярных координат
Глава третья
Уравнения высших порядков. Общие вопросы. Простейшие уравнения n-го порядка 48
§ 1. Основные понятия и определения 148
82. Предварительные замечания (148). 83. Геометрическое истолкование (149). 84. Механическое истолкование уравнения второго порядка (149). 85. Задача Коши (150). 86. Достаточные услогшя существования и единственности решения задачи Коши (153). 87. Понятие о граничной (краевой) задаче (154). 88. Общее решение (156). 89. Общий интеграл (157). 90. Общее решение в параметрической форме (158). 91. Частное решение (158). 92. Особое решение (158). 93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы (159). 94. Замечание об уравнения n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной (160).
§ 2. Уравнения, интегрируемые в квадратах, и уравнения, допускающие понижение порядка 161
95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка п (161). 96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных (168). 97. Уравнение, не содержащее независимой переменной (171). 98. Уравнение, однородное относительно искомой функции н ее производных (173). 99. Обобщенное однородное уравнение (174). 100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная (177)
Глава четвертая
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие вопросы. 180
§ 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений 180
101. Понятие о нормальной системе. Линейная система (180). 102. Решение системы (181). 103. Геометрическое истолкование нормальной системы (182). 104. Механическое истолкование нормальной системы (183). 105. Задача Коши (180). 106. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (188). 107. Общее решение (189). 108. Частное решение (191). 109. Особое решение (191). ПО. Понятие об интеграле нормальной сис1емы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов (192). 111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов (203). 112. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка и обратная задача (205). 113. Одни общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши — Римана (210). 114. Понятие с системе уравнений высших порядков (211). 115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных, уравнений, имеющих заданную траекторию (213)
§ 2. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме 216
116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме (216). 117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (218).
Глава пятая
Теоремы существования 225
§ 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара) 225
118. Предварительные замечания (225). 119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы уравнений (227). 120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений (229). 121. Замечание о выборе нулевого приближения (241). 122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной (241). 123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям (242). 124. Случай области, не ограниченной по всем переменным (243). 125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара (247). 126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений (250). 127. О решении однородной линейной системы с нулевыми начальными значениями искомых функций (254). 128. Теорема Пикара для уравнения п-го порядка (255). 129. Теорема Пикара для линейного уравнения n-го порядка (257). 130. О решении однородного линейного уравнения n-го порядка с нулевыми начальными значениями искомой функции и ее производных (258).
§ 2. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных данных. Понятие об устойчивости решения в смысле Ляпунова 259
131. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от параметров (259). 132. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальнон системы от начальных данных (267). 133. Понятие об устойчивости решения (движения) в смысле Ляпунова (272). 134. Теорема о дифференцируемости решения по начальным данным (279). 135. Обобщения (291)
§ 3. Теорема существования общего решения 292
136. Теорема существования общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений (292). 137. Замечания (297). 138. Доказательство существования п независимых интегралов нормальной системы п уравнений (297).
§ 4. Особые течки 299
139. Особые точки уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной (299). 140. Особые точки нормальной системы дифференциальных уравнений. Точки равновесия (покоя) (301). 141. Поведение интегральных . кривых уравнения с дробно-линейной однородной правой частью а окрестности особой точки (305). 142. Один физический пример (320). 143. Понятие о проблеме центра и фокуса (322)
§ 5. Теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши (теорема Коши) 327
144. Понятие о голоморфном решении (327). 145. Понятие о мажоранте (328). 146. Формулировка теоремы Коши для нормальной системы п уравнений (330). 147. Доказательство теоремы Коши для нормальной системы двух уравнений (332). 148. Теорема Коши для линейной системы (341). 149. Примеры существования голоморфных решений в случае невыполнения условия теоремы Коши (346). 150. Теорема Коши для уравнения иго порядка, разрешенного относительно старшей производной (348). 151. Теорема Коши для линейного уравнения n-го порядка (350). 152. Теорема о голоморфности решения относительно параметра (351).
§ 6. Теорема существования решения задачи Коши (теорема Пеано) 352
153. Теорема Арцеля (352). 154. Теорема существования решения дифференциального уравнения с непрерывной правой частью (теорема Псано) (355). 155. Теорема Пеано для нормальной системы (362).
Глава шестая
Общая теория линейных дифференциальных уравнений n-го порядка 363
§ 1. Общие свойства линейного уравнения 363
136. Предварительные замечания (3G3). 157. Инвариантность линейного уравнении относительно любого преобразования независимой переменной (365). 158. Инвариантность линейного уравнения относительно линейного преобразовании искомой функции (366).
§ 2. Однородное линейное уравнение n-го порядка 367
159. Свойства решений (367). 160. Понятие о линейной независимости функции (371). 161. Необходимое условие линейной зависимости п функций (374). 162. Необходимое и достаточное условие линейной независимости п решений однородного линейного уравнения n-го порядка (375). 163. Формула Остроградского — Лиувилля (377). 164. Понятие о фундаментальной системе решений (379). 165. Доказательство существования фундаментальной системы решений (379). 106. Построение общего решения (380). 167. Число линейно-независимых решений однородного линейного уравнения n-го порядка (384). 168. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фундаментальную систему решений (384). 169. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений (387).
§ 3. Неоднородное линейное уравнение п-го порядка 389
170. Структура общего решения неоднородного уравнения (389). 171. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (391). 172. Метод Коши (394).
Глава седьмая
Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 398
§ 1. Однородное уравнение 398
173 Предварительные замечания (398). 174. Построение фундаментальной системы решении и общего решения однородного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения (398). 175. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (403). 176. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (406).
§ 2. Неоднородное уравнение 408
177. Предварительные замечания (408). 178. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов (408). 179. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (112).
§ 3. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления 417
180. Свободные колебания (417). 181. Вынужденные колебания (421).
§ 4. Некоторые линейные уравнения n-го порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами 423
182. Приведение однородного линейного уравнения п-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной (42.3). 183. Линейное уравнение Эйлера (424). 184. Уравнение Чебышева (420). 185. Приведение однородного линейного уравнения /1-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи линейной замены искомой функции (430).
Глава восьмая
Некоторые вопросы теории однородных линейных уравнений второго порядка 431
§ 1. Приведение к простейшим формам 431
186. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной (431). 187. Приведение к самосопряженному виду (433).
§ 2. Понижение порядка 435
188. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение (435). 189. Связь меж лу однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати (437).
§ 3. Интегрирование при помощи степенных рядов 438
100. Представление решений однородного линейного уравнения второю порядка в виде степенных рядов (438). 101. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядом (439). 192. Уравнение Бесселя (449). 193. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение ( 459).
§ 4. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка 464
194. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения (464). 193. Теорема Штурма (4С7). 196. Теорема сравнения (468).
Глава девятая
Общая теория линейных систем дифференциальных уравнений 472
§ 1. Однородные линейные системы 472
197. Предварительные замечания (472). 198. Свойства решений однородной системы (474). 199. Понятие о линейной независимости систем функций (477). 200. Необходимое условие линейной зависимости п систем функций (479). 201. Необходимое и достаточное условие линейной независимости п решений однородной линейной системы п уравнений (480). 202. Формула Остроградского— Лиупилля — Якоби (480). 203. Понятие о фундаментальной системе решений (482). 204. Теорема о существовании фундаментальной системы решений (482). 205. Построение общего решения (483). 206. Число линейнонезависимых решений однородной линейной системы п уравнений. Первые интегралы (485). 207. Понятие о сопряженной (присоединенной) системе (480). 208. Построение однородной линейной системы уравнений, имеющей заданную фундаментальную систему решений (489).
§ 2 Неоднородные линейные системы 490
209. Структура общего решения неоднородной системы (490). 210. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (491).
Глава десятая
Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 494
§ 1. Метод Эйлера 494
211. Предварительные замечания (494). 212. Построение фундаментальной системы решений н общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения (495). 213. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (500). 214. Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (502). 215. Теорема о неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (503). 216. Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными .коэффициентами при помощи замены независимой переменной (503). 217. Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (505).
§ 2. Другие методы интегрирования линейных систем с 'постоянными коэффициентами 505
218. Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению п-го порядка (метод исключении) (505). 219.Метод Даламбсра (507).
§ 3. Линейные системы с постоянными коэффициентами, содержащие производные выше первого порядка . 509
220. Метод исключения (509). 221. Метод Даламбера (509).
Глава одиннадцатая
Матричный метод решения однородных линейных систем 511
§ 1. Запись и решение однородной линейной системы в матричной форме 511
222. Предварительные замечания (511). 223. Построение матричного уравнения, равносильного однородной линейной системе (516). 224. Два общих свойства матричного уравнения, соответствующего однородной линейной системе (519). 225. Основные свойства интегральной матрицы (520). 226. Случай Лаппо — Данилевского (522). 227. Сопряженное (присоединенное) матричное уравнение (523)
§ 2 Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами 525
228. Структура фундаментальной системы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Группы решений (525). 229. Приведение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду (530). 230. Понятие о приводимых I системах (537).
Глава двенадцатая
Понятие об уравнениях с частными производными первого порядка 539 
§ 1. Однородное линейное уравнение 539
231. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений и симметрической форме (539). 232. Построение общего решения однородного линейного уравнения (512). 233. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения (545).
§ 2. Неоднородное линейное уравнение 548
234. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения (518). 235. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения (551).
Предметный указатель 555