Сборник задач по высшей математике. Минорский В.П.
Минорский В.П.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 336с.
Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.
- ОГЛАВЛЕНИЕ:
-
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ
ИЗДАНИЮ....................... .......... 8
-
От редакции
.................................................................................................... .......... 8
-
Глава 1. Аналитическая
геомегрия на
плоскости ............................ ...... 9
-
§ 1. Координаты точки на прямой
и на плоскости. Расстояние
-
между двумя
точками.......................................................................... .......... 9
-
§2. Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треуголь
ника и
многоугольника........................................................................ ......... 11 -
§3. Уравнение линии как
геометрического места точек
.......................... 12
§ 4.
Уравнение прямой: 1) с угловым
коэффициентом, 2) об
щее, 3) в отрезках
на
осях.............................................................................. ........ 14 -
§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка
прямых, проходящих через
-
данную точку. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
-
Точка пересечения двух
-
прямых
............................................................................................... ........ 16
-
§6. Нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой. Уравнения
-
биссектрис. Уравнение пучка прямых,
проходящих через точку пересечения
-
двух данных прямых
............................................................................................ 19
-
§7. Смешанные задачи на
прямую.............................................................. ........ 21
-
§ 8.
Окружность.......................................................................................... ........ 22
-
§9.
Эллипс..................................................................................................... ........ 24
-
§ 10.
Гипербола............................................................................................... ........ 26
-
§11.
Парабола.................................................................................................. ........ 29
-
§ 12. Директрисы, диаметры и касательные
к кривым второго
-
порядка
.............................................................................................. ........ 32
-
§ 13. Преобразование декартовых
координат. Параболы у =
-
= ах2 + Ьх + с и х = ay2 +
by + с. Гипербола ху = к .
. . 35
-
§ 14. Смешанные задачи на кривые второго
порядка................................. ........ 38
-
§ 15. Общее уравнение линии второго
порядка.......................................... ........ 40
-
§ 16. Полярные координаты
...................................................................... ........ 44
-
§ 17. Алгебраические кривые третьего и
высших порядков .
. 48
-
§ 18. Трансцендентные кривые
.................................................................. ........ 49
-
Глава 2. Векторная
алгебра........................................................................ ........ 51
-
§ 1. Сложение векторов. Умножение
вектора на скаляр
.... 51
§
2. Прямоугольные координаты
точки и вектора -
в
пространстве...................................................................................... ........ 53
-
§3. Скалярное произведение
двух
векторов............................................. ........ 55
-
§ 4. Векторное произведение
двух векторов
........................................ ........ 58
-
§5. Смешанное произведение
трех
векторов............................................. ........ 60
-
Глава 3. Аналитическая
геометрия в
пространстве ......................... 62
-
§ 1. Уравнение плоскости
........................................................................ 62
-
§2. Основные задачи на
плоскость
.......................................................... 63
-
§ 3. Уравнения
прямой................................................................................ 65
-
§ 4. Прямая и
плоскость.............................................................................. 68
-
§5. Сферические и цилиндрические
поверхности...................................... 70
-
§6. Конические поверхности и
поверхности вращения
.... 72
-
§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды
и параболоиды......................................... 74
-
Глава 4. Высшая
алгебра ......................................................................... 78
-
§ 1.
Определители........................................................................................ 78
-
§2. Системы линейных
уравнений............................................................... 80
-
§3. Комплексные
числа................................................................................ 83
-
§ 4. Уравнения высших степеней
и приближенное решение
-
уравнений.............................................................................................. 86
-
Глава 5. Введение в
анализ......................................................................... 90
-
§ 1. Переменные величины и
функции....................................................... 90
-
§2. Пределы последовательности
и функции. Бесконечно ма
лые и
бесконечно
большие................................................................... 93 -
§3. Свойства пределов. Раскрытие
неопределенностей
-
0 °° 97
-
вида - и
—.............................................................................................. 97
-
0 оо
-
Sill Q(
-
§ 4. Предел отношения ----------
при а —У 0
........................................ 98
-
а
-
§ 5. Неопределенности вида
оо — оо и 0 •
оо........................................... 99
-
§6. Смешанные примеры на
вычисление
пределов................................... 100
-
§7. Сравнение бесконечно
малых................................................................ 101
-
§8. Непрерывность
функции...................................................................... 102
-
§ 9. Асимптоты
......................................................................................... 105
-
§ 10. Число е
................................................................................................ 106
-
Глава 6. Производная и
дифференциал .............................................. 108
-
§ 1. Производные алгебраических
и тригонометрических
-
функций................................................................................................. 108
-
§2. Производная сложной
функции........................................................... 110
-
§3. Касательная и нормаль к
плоской
кривой........................................... 111
-
§4. Случаи недифференцируемости
непрерывной функции . . 113
-
§5. Производные логарифмических
и показательных функций 114
-
§6. Производные обратных
тригонометрических функций .
. 116
-
§7. Производные гиперболических
функций
........................................ 117
-
§ 8. Смешанные примеры и задачи
на дифференцирование
. 118
-
§9. Производные высших
порядков........................................................... 119
-
§ 10. Производная неявной
функции............................................................ 121
-
§11. Дифференциал
функции......................................................................... 123
-
§ 12. Параметрические уравнения
кривой................................................... 124
-
Глава 7. Приложения
производной ....................................................... 127
-
§ 1. Скорость и
ускорение.......................................................................... 127
-
§2. Теоремы о среднем
............................................................................ 128
-
§3. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя
.... 131
-
§ 4. Возрастание и убывание
функции. Максимум и минимум 133
-
§ 5. Задачи о наибольших и
наименьших значениях
величин 136
§
6. Направление выпуклости и
точки перегиба кривой. -
Построение
кривых.............................................................................. 138
-
Глава 8. Неопределенный
интеграл......................................................... 140
-
§ 1. Неопределенный интеграл.
Интегрирование разложением 140
-
§2. Интегрирование подстановкой
и непосредственное
.... 142
-
§3. Интегралы вида j -^-j, j
-/===, j -/==
-
и к ним
приводящиеся.......................................................................... 145
-
§ 4. Интегрирование по
частям................................................................... 147
-
§5. Интегрирование
тригонометрических
функций.................................. 148
-
§6. Интегрирование рациональных
алгебраических функций................. 150
§
7. Интегрирование некоторых
иррациональных алгебраиче
ских
функций................................................................................................... 152 -
§8. Интегрирование некоторых
трансцендентных
функций..................... 155
§9.
Интегрирование гиперболических
функций. Гиперболи
ческие
подстановки......................................................................................... 156 -
§ 10. Смешанные примеры на
интегрирование............................................. 157
-
Глава 9. Определенный
интеграл ......................................................... 160
-
§ 1. Вычисление определенного
интеграла................................................ 160
-
§2. Вычисление площадей
........................................................................ 163
-
§3. Объем тела
вращения............................................................................. 165
-
§ 4. Длина дуги плоской
кривой................................................................. 167
-
§5. Площадь поверхности
вращения.......................................................... 169
-
§ 6. Задачи из
физики................................................................................... 170
-
§ 7. Несобственные
интегралы.................................................................... 172
-
§8. Среднее значение
функции.................................................................... 175
-
§9. Формула трапеций и
формула
Симпсона............................................ 176
-
Глава 10. Кривизна плоской и
пространственной кривой .... 178
-
§ 1. Кривизна плоской кривой.
Центр и радиус кривизны.
-
Эволюта................................................................................................. 178
-
§2. Длина дуги кривой в
пространстве...................................................... 180
-
§3. Производная вектор-функции по скаляру
и ее механиче
ское и геометрическое
значение. Естественный трех
гранник
кривой
.................................................................................
180 -
§ 4. Кривизна и кручение
пространственной кривой
.......................... 183
-
Глава 11. Частные производные,
полные дифференциалы
-
и их
приложения ...................................................................
185
-
§ 1. Функции двух переменных и их
геометрическое изобра
жение
..................................................................................................... 185 -
§2. Частные производные первого
порядка
.......................................... 187
-
§3. Полный дифференциал первого
порядка............................................ 189
-
§4. Производные сложных
функций
...................................................... 191
-
§5. Производные неявных
функций........................................................... 192
-
§ 6. Частные производные и
полные дифференциалы высших
-
порядков................................................................................................ 194
-
§ 7. Интегрирование полных
дифференциалов......................................... 198
-
§8. Особые точки плоской
кривой.............................................................. 199
-
§9. Огибающая семейства плоских
кривых................................................ 200
-
§ 10. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности............................... 201
-
§11. Скалярное поле. Линии и поверхности
уровней.
-
Производная в данном направлении.
Градиент................................. 203
-
§ 12. Экстремум функции двух
переменных................................................ 205
-
Глава 12. Дифференциальные
уравнения ..........................................
207
-
§ 1. Понятие о дифференциальном
уравнении..........................................
207
-
§ 2. Дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися
-
переменными.
Ортогональные траектории . . .
208
-
§ 3. Дифференциальные уравнения
первого порядка:
-
1) однородное, 2) линейное, 3)
Бернулли...........................................
211
-
§ 4. Дифференциальные уравнения,
содержащие дифферен
циалы
произведения и
частного...........................................................
213 -
§ 5. Дифференциальные уравнения
первого порядка в полных
-
дифференциалах. Интегрирующий
множитель ..............................
213
-
§6. Дифференциальные уравнения
первого порядка, не раз
решенные
относительно производной. Уравнения
Лагранжа
и
Клеро.................................................................................
215 -
§ 7. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допус
кающие понижение
порядка.................................................................
217 -
§8. Линейные однородные
дифференциальные уравнения с
-
постоянными
коэффициентами............................................................
218
-
§9. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения
-
с постоянными
коэффициентами..........................................................
219
-
§ 10. Примеры дифференциальных уравнений
разных типов 221
-
§ 11. Линейное дифференциальное уравнение
Эйлера хпу^п' +
-
+ mi-'-V"-11 + • • •
+ ап_1ху1 + апу = f(x) ...........................................
222
-
§ 12. Системы линейных дифференциальных
уравнений с по
стоянными
коэффициентами
............................................................ 223 -
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
в частных про
изводных второго
порядка (метод
характеристик)............................ 224 -
Глава 13. Двойные, тройные
и криволинейные интегралы .
. 226
-
§ 1. Вычисление площади с
помощью двойного интеграла .
................. 226
§ 2. Центр
масс и момент инерции площади с равномерно
рас
пределенной массой (при
плотности /i =
1)................................................... 228 -
§3. Вычисление объема с помощью
двойного интеграла . .
. 230
-
§4. Площади кривых
поверхностей............................................................ 231
-
§5. Тройной интеграл и его
приложения
............................................... 232
-
§6. Криволинейный интеграл.
Формула
Грина......................................... 234
-
§ 7. Поверхностные интегралы.
-
Формулы Остроградского-Гаусса и
Стокса
.................................. 238
-
Глава 14. Ряды................................................................................................ 242
-
§ 1. Числовые
ряды...................................................................................... 242
-
§2. Равномерная сходимость
функционального
ряда............................... 245
-
§3. Степенные
ряды..................................................................................... 247
-
§ 4. Ряды Тейлора и
Маклорена................................................................. 249
-
§5. Приложения рядов к
приближенным вычислениям
.... 251
-
§6. Ряд Тейлора для функции
двух переменных....................................... 254
-
§ 7. Ряд Фурье. Интеграл
Фурье............................................................... 255
-
Ответы
........................................................................................................... 260
-
Приложение. Некоторые кривые (для
справок)
........................................ 332
-