|
Методы решения интегральных уравнений. Справочник. Манжиров А.В., Полянин А.Д.
М.: «Факториал», 1999.—272 с. В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в приложениях (в механике и физике). Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук. Оглавление Предисловие 91. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования 10 1.1. Предварительные замечания 10 1.1-1. Некоторые определения 10 1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений 11 1.1-3. Интегральные преобразования 12 1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений 12 1.1-5. Лемма Жордана 13 1.2. Преобразование Лапласа 14 1.2-1. Определение. Формула обращения 14 1.2-2. Обращение рациональных функций 15 1.2-3. Теорема о свертке для преобразования Лапласа 15 1.2-4. Предельные теоремы 15 1.2-5. Основные свойства преобразования Лапласа 16 1.2-6. Формула Поста-Уиддера 16 1.3. Преобразование Меллина 17 1.3-1. Определение. Формула обращения 17 1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина 17 1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье 18 1.4. Преобразование Фурье 18 1.4-1. Определение. Формула обращения 18 1.4-2. Несимметричная форма преобразования 19 1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье 19 1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье 20 1.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье 20 1.5-1. Косинус-преобразование Фурье 20 1.5-2. Синус-преобразование Фурье 21 1.6. Другие интегральные преобразования 21 1.6-1. Преобразование Ханкеля 21 1.6-2. Преобразование Мейера 22 1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева 22 1.6-4. У-преобразование и другие преобразования 22 2. Методы решения линейных уравнений вида ∫f£ K(x,t)y(t)dt = f(x) ... 25 2.1. Уравнения Вольтерра первого рода 25 2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер 25 2.1-2. Существование и единственность решения 26 2.2. Уравнения с вырожденным ядром: K(x,t) = g1(x)h1(t) + • • • 4- 9n(x)^n(^) 26 2.2-1. Уравнения с ядром K(x,t) = g1(x)h1(t) 4- #2(Ж)^2М 26 2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 27 2.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода 28 2.3-1. Первый способ 28 2.3-2. Второй способ 28 2.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 29 2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 29 2.4-2. Случай рационального образа решения 30 2.4-3. Представление решения в виде композиции 30 2.4-4. Использование вспомогательного уравнения 31 2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 32 2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа 33 2.5. Метод дробного дифференцирования 33 2.5-1. Определение дробных интегралов 33 2.5-2. Определение дробных производных 34 2.5-3. Основные свойства 35 2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля 35 2.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность 36 2.6-1. Метод преобразования ядра 36 2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью 37 2.7. Метод квадратур 38 2.7-1. Квадратурные формулы 38 2.7-2. Общая схема метода 39 2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций 40 2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром 40 2.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 41 2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования 41 2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода 42 3. Методы решения линейных уравнений вида у(х) — J^ K(x, t)y(t) dt= f (х) 43 3.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода 43 3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты 43 3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений 44 3.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + 4- 9n(x)^n(^) 44 3.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = ip(x) 4- ip(x)(x — t) 44 3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = (p(t) 4- ip(t)(t — х) 45 3.2-3. Уравнения с ядром K(x,t) = J2m=i ^Рт(х)(х ~ £)m_1 46 3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = E™=i <Pm(*)(* ~ х)т~1 46 3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 47 3.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 48 3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 48 3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения 50 3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 50 3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 51 3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля 51 3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра 53 3.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений 53 3.4-1. Использование решения «укороченного» уравнения 53 3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода 54 3.4-3. Метод решения «квадратных» операторных уравнений 56 3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида 57 3.4-5. Некоторые обобщения 58 3.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью 58 3.5-1. Общая схема 58 3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида 59 3.5-3. Порождающая функция степенного вида 61 3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы 62 3.6. Метод модельных решений 63 3.6-1. Предварительные замечания 63 3.6-2. Описание метода 64 3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части 64 3.6-4. Модельное решение для степенной правой части 66 3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части 67 3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части 67 3.6-7. Некоторые обобщения 67 3.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений 68 3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент 68 3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций 69 3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций 70 3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций 71 3.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра первого рода 71 3.8-1. Первый способ 72 3.8-2. Второй способ 72 3.9. Метод последовательных приближений 72 3.9-1. Общая схема 72 3.9-2. Формула для резольвенты 73 3.10. Метод квадратур 74 3.10-1. Общая схема метода 74 3.10-2. Применение формулы трапеций 75 3.10-3. Случай вырожденного ядра 75 3.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 75 3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования 76 3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 77 4. Методы решения линейных уравнений вида Ja К(ж, t)y(t) dt = f (ж) ... 78 4.1. Предварительные замечания 78 4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 78 4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью 78 4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки 79 4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода 80 4.2. Метод Крейна 80 4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения 80 4.2-2. Решение основного уравнения 81 4.3. Метод интегральных преобразований 82 4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 82 4.3-2. Уравнения с ядром K(x,t) = K(x/t) на полуоси 82 4.3-3. Уравнение с ядром K(x,t) = K(xt) и его обобщения 82 4.4. Задача Римана для действительной оси 83 4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши 84 4.4-2. Односторонние интегралы Фурье 85 4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 86 4.4-4. Краевая задача Римана 87 4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами 93 4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача 94 4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача 96 4.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода 99 4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода 99 4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода 99 4.6. Парные интегральные уравнения первого рода 102 4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами 102 4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода 104 4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма 105 4.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической особенностью 109 4.7-1. Предварительные замечания 109 4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра 109 4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра ПО 4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости 112 4.8. Методы регуляризации 112 4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева 112 4.8-2. Метод регуляризации Тихонова 113 5. Методы решения линейных уравнений вида у(х) —Ja K(x, t)y(t) dt= f(x) 114 5.1. Предварительные замечания 114 5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью 114 5.1-2. Структура решений 115 5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода 115 5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода 115 5.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 116 5.2-1. Простейшее вырожденное ядро 116 5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае 117 5.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных приближений 120 5.3-1. Итерированные ядра 120 5.3-2. Метод последовательных приближений 120 5.3-3. Построение резольвенты 121 5.3-4. Ортогональные ядра 122 5.4. Метод определителей Фредгольма 123 5.4-1. Формула для резольвенты 123 5.4-2. Рекуррентные соотношения 124 5.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма 125 5.5-1. Теоремы Фредгольма 125 5.5-2. Альтернатива Фредгольма 125 5.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами . 125 5.6-1. Характеристические числа и собственные функции 125 5.6-2. Билинейный ряд 127 5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта 128 5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер 128 5.6-5. Решение неоднородного уравнения 129 5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений 130 5.6-7. Резольвента симметричного ядра 130 5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел 131 5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным 131 5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение 132 5.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода 132 5.7-1. Простейшая схема 132 5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси 132 5.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений 133 5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 133 5.8-2. Уравнение с ядром K(x,t) = t~1Q(x/t) на полуоси 135 5.8-3. Уравнение с ядром K(x,t) = tf3Q(xt) на полуоси 136 5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси 137 5.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода ... 137 5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода 137 5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами 141 5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования 146 5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода 148 5.10. Метод Винера-Хопфа 149 5.10-1. Некоторые замечания 149 5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 151 5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации 154 5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 156 5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода 157 5.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа 158 5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации 158 5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода 159 5.11-3. Формула Хопфа-Фока 161 5.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке 162 5.12-1. Метод Крейна 162 5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье 163 5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 164 5.13. Метод замены ядра вырожденным 166 5.13-1. Аппроксимация ядра 166 5.13-2. Приближенное решение 167 5.14. Метод Бейтмена 168 5.14-1. Общая схема метода 168 5.14-2. Некоторые частные случаи 169 5.15. Метод коллокации 171 5.15-1. Общие замечания 171 5.15-2. Приближенное решение 172 5.15-3. Собственные функции уравнения 173 5.16. Метод наименьших квадратов 174 5.16-1. Описание метода 174 5.16-2. Построение собственных функций 175 5.17. Метод Бубнова-Галеркина 176 5.17-1. Описание метода 176 5.17-2. Характеристические числа уравнения 176 5.18. Метод квадратур 178 5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода 178 5.18-2. Построение собственных функций 179 5.18-3. Особенности применения квадратурных формул 179 5.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода 180 5.19-1. Некоторые замечания 180 5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение 181 5.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода 181 5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера 181 5.20-2. Регуляризующие операторы 182 5.20-3. Метод регуляризации 183 6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода .... 185 6.1. Предварительные замечания 185 6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши 185 6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта 185 6.2. Интеграл типа Коши 186 6.2-1. Определение интеграла типа Коши 186 6.2-2. Условие Гёльдера 187 6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла 187 6.2-4. Многозначные функции 189 6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла 190 6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана 192 6.3. Краевая задача Римана 192 6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 192 6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита 194 6.3-3. Понятие индекса 194 6.3-4. Постановка задачи Римана 196 6.3-5. Решение однородной задачи 198 6.3-6. Решение неоднородной задачи 199 6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами 201 6.3-8. Задача Римана для действительной оси 204 6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана 206 6.3-10. Задача Римана для многосвязной области 210 6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров 213 6.3-12. Краевая задача Гильберта 213 6.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода 214 6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши 214 6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси 214 6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке 215 6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши 216 6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта 217 6.5. Метод Мультоппа-Каландия 218 6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка 218 6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка 220 6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка 221 7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений 222 7.1. Некоторые замечания 222 7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши 222 7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта 223 7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре 224 7.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений 226 7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши 226 7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим 229 7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси 230 7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения 232 7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта 234 7.2-6. Уравнение Трикоми 234 7.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой форме 235 7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах 235 7.3-2. Замкнутое решение в общем случае 236 7.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений .... 238 7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов 238 7.4-2. Регуляризующий оператор 240 7.4-3. Способы регуляризации слева и справа 241 7.4-4. Проблема равносильной регуляризации 242 7.4-5. Теоремы Нётера 243 7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа 244 7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях 246 7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта 246 8. Методы решения нелинейных интегральных уравнений 250 8.1. Некоторые определения и замечания 250 8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 250 8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования .... 251 8.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 252 8.2-1. Метод интегральных преобразований 252 8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений 253 8.2-3. Метод последовательных приближений 254 8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича 256 8.2-5. Метод коллокации 258 8.2-6. Метод квадратур 258 8.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования 260 8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами 260 8.3-2. Метод интегральных преобразований 262 8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений 263 8.3-4. Метод последовательных приближений 264 8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича 264 8.3-6. Метод квадратур 267 8.3-7. Метод регуляризации Тихонова 267 Список литературы 269 |
Loading
|