Справочник по интегральным уравнениям

 Методы решения

  Манжиров А.В., Полянин А.Д.  

М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 384с.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в различных областях механики и физики.

Приложения содержат таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также таблицы интегральных преобразований Лапласа, Меллина и др.

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

   Предисловие     ........................................................................................................................... .. 13

  1.   Основные определения и формулы. Интегральные преобразования..................... ... 14

  1.1.    Некоторые определения, замечания и формулы   .................................................... ... 14

1.1-1. Некоторые определения........................................................................................ ... 14

1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений  ............................ ... 15

1.1-3. Интегральные преобразования  .......................................................................... ... 16

1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений ................................................................... ... 16

1.1-5. Лемма Жордана...................................................................................................... ... 18

  1.2.    Преобразование Лапласа................................................................................................. ... 18

1.2-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 18

1.2-2. Обращение рациональных функций.................................................................. ... 19

1.2-3. Представление оригиналов в виде ряда............................................................. ... 19

1.2-4. Теорема о свертке для преобразования Лапласа............................................ ... 19

1.2-5. Предельные теоремы   .......................................................................................... ... 20

1.2-6. Основные свойства преобразования Лапласа................................................. ... 20

1.2-7. Формула Поста-Уиддера....................................................................................... ... 20

  1.3.    Преобразование Меллина............................................................................................... ... 21

1.3-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 21

1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина   ............................................. ... 22

1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье   ..................................... ... 22

 1.4.    Преобразование Фурье   ................................................................................................. ... 22

1.4-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 22

1.4-2. Несимметричная форма преобразования........................................................ ... 23

1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье........................................................... ... 23

1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье  ............................................. ... 24

1.5.    Синус- и косинус-преобразования Фурье................................................................... ... 24

1.5-1. Косинус-преобразование Фурье  ....................................................................... ... 24

1.5-2. Синус-преобразование Фурье ............................................................................ ... 25

1.6.    Другие интегральные преобразования   ..................................................................... ... 25

1.6-1. Преобразование Ханкеля...................................................................................... ... 25

1.6-2. Преобразование Мейера....................................................................................... ... 26

1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева.......................................................... ... 26

1.6-4. F-преобразование и другие преобразования................................................... ... 26

2.   Методы решения линейных уравнений вида J   K(x,t)y(t) dt = f(x) . .                     28

2.1.   Уравнения Вольтерра первого рода.............................................................................. ... 28

2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер   ............................................ ... 28

2.1-2. Существование и единственность решения...................................................... ... 29

2.2.   Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + • • • + gn(x)hn(t)              29

2.2-1. Уравнения с ядром K{x,t) = g1(x)h1(t) + g2{x)h2{t)........................................... ... 29

2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида............................................. ... 30

2.3.   Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра

второго рода........................................................................................................................     31

2.3-1. Первый способ......................................................................................................... ... 31

2.3-2. Второй способ.......................................................................................................... ... 31

2.4.   Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t)   ................................................ ... 32

2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.......................... ... 32

2.4-2. Случай рационального образа решения............................................................ ... 32

2.4-3. Представление решения в виде композиции..................................................... ... 33

2.4-4. Использование вспомогательного уравнения ................................................. ... 34

2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям..................... ... 34

2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа   ............................................... ... 35

2.5.   Метод дробного дифференцирования.......................................................................... ... 35

2.5-1. Определение дробных интегралов  ..................................................................... ... 35

2.5-2. Определение дробных производных   ................................................................ ... 36

2.5-3. Основные свойства.................................................................................................. ... 37

2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля.......................................................... ... 38

2.6.   Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность........................................... ... 38

2.6-1. Метод преобразования ядра   .............................................................................. ... 38

2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью  ........................................................ ... 39

2.7.   Метод квадратур   .............................................................................................................. ... 40

2.7-1. Квадратурные формулы........................................................................................ ... 40

2.7-2. Общая схема метода................................................................................................ ... 41

2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций  ......................................................... ... 42

2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром............................................ ... 43

2.8.   Уравнения с бесконечным пределом интегрирования   ......................................... ... 43

2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования................... ... 43

2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода   ............................. ... 44

3. Методы решения линейных уравнений вида

у(х) - /* K(x, t)y(t) dt = f(x)   ..................................................................................................... ... 45

3.1.   Интегральные уравнения Вольтерра второго рода   ................................................. ... 45

3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты........................... ... 45

3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений........................................ ... 46

3.2.   Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + • • • + gn(x)hn(t)              46

3.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = (р(х) + ф(х)(х — t)   ............................................ ... 46

3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = cp(t) + ijj(t)(t — х)   ............................................ ... 47

3.2-3. Уравнения с ядром К(х, t) = X!m=i ^m(x)(x — £)т-1.............................................. ... 48

3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = YJL=i <Рт(*)(* ~ ж)т_1   ....................................... ... 48

3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида............................................. ... 49

3.3.   Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t)   ................................................ ... 50

3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.......................... ... 50

3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения   ............... ... 51

3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям..................... ... 52

3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода   .............................. ... 53

3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля   ............................. ... 53

3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра   ............................................... ... 54

3.4.   Операторные методы решения линейных интегральных уравнений   ................. ... 55

3.4-1. Использование решения «укороченного»уравнения   ................................. ... 55

3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода   ...................... ... 56

3.4-3. Метод решения «квадратных»операторных уравнений................................. ... 57

3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида   ........................ ... 58

3.4-5. Некоторые обобщения  ......................................................................................... ... 59

3.5.   Построение решений уравнений со специальной правой частью........................ ... 60

3.5-1. Общая схема  ............................................................................................................ ... 60

3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида  ........................................ ... 60

3.5-3. Порождающая функция степенного вида   ....................................................... ... 62

3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы...................... ... 63

3.6.   Метод модельных решений   .......................................................................................... ... 64

3.6-1. Предварительные замечания................................................................................ ... 64

3.6-2. Описание метода...................................................................................................... ... 65

3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части  ......................... ... 65

3.6-4. Модельное решение для степенной правой части  ......................................... ... 67

3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части............................... ... 67

3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части  ......................... ... 68

3.6-7. Некоторые обобщения  ......................................................................................... ... 68

3.7.   Метод дифференцирования интегральных уравнений  ........................................... ... 69

3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент  ...................................................................... ... 69

3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций......................................... ... 70

3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций................................... ... 70

3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций........................................... ... 71

3.8.   Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра

первого рода........................................................................................................................     72

3.8-1. Первый способ......................................................................................................... ... 72

3.8-2. Второй способ.......................................................................................................... ... 72

3.9.   Метод последовательных приближений....................................................................... ... 72

3.9-1. Общая схема  ............................................................................................................ ... 72

3.9-2. Формула для резольвенты .................................................................................... ... 73

3.10.   Метод квадратур   ............................................................................................................ ... 74

3.10-1. Общая схема метода.............................................................................................. ... 74

3.10-2. Применение формулы трапеций....................................................................... ... 75

3.10-3. Случай вырожденного ядра................................................................................ ... 75

3.11.   Уравнения с бесконечным пределом интегрирования.......................................... ... 75

3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования  ........................... ... 76

3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода............................... ... 77

4. Методы решения линейных уравнений вида J  K(x,t)y(t) dt = f(x) . .                      78

4.1. Предварительные замечания............................................................................................ ... 78

4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода...................................... ... 78

4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью   ....          78

4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки  ............................................................ ... 79

4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода  ............................................ ... 80

4.2.   Метод Крейна...................................................................................................................... ..... 80

4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения........................................................... ..... 80

4.2-2. Решение основного уравнения   ......................................................................... ..... 81

4.3.   Метод интегральных преобразований.......................................................................... ..... 81

4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси.................................................... ..... 82

4.3-2. Уравнения с ядром К(х, t) = K{x/t) на полуоси  .............................................. ..... 82

4.3-3. Уравнение с ядром К(х, t) = K(xt) и его обобщения   .................................... ..... 82

4.4.   Задача Римана для действительной оси   ..................................................................... ..... 83

4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши............................................. ..... 83

4.4-2. Односторонние интегралы Фурье....................................................................... ..... 84

4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля  ................ ..... 86

4.4-4. Краевая задача Римана........................................................................................... ..... 87

4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами...................................... ..... 92

4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача.................................................. ..... 93

4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача.............................................. ..... 95

4.5.   Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода................................. ..... 98

4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода .......................................................... ..... 98

4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода............................... ..... 99

4.6.   Парные интегральные уравнения первого рода......................................................... .... 101

4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами............................. .... 101

4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода.................... .... 103

4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма........................... .... 104

4.7.   Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической

особенностью.....................................................................................................................      108

4.7-1. Предварительные замечания................................................................................ .... 108

4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра........................... .... 108

4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра............................... .... 109

4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости .................................................... .... ПО

4.8.   Методы регуляризации  ................................................................................................... .... 111

4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева..................................................................... .... 111

4.8-2. Метод регуляризации Тихонова  ......................................................................... .... 112

5. Методы решения линейных уравнений вида

у(х) - fc K(x, t)y(t) dt = f(x)......................................................................................................... .... ИЗ

5.1.   Предварительные замечания........................................................................................... .... 113

5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью.................. .... 113

5.1-2. Структура решений................................................................................................. .... 114

5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода   .................................. .... 114

5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода   ........................................... .... 114

5.2.   Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром............................... .... 115

5.2-1. Простейшее вырожденное ядро   ....................................................................... .... 115

5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае................................................................... .... 116

5.3.   Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных

приближений   ....................................................................................................................      118

5.3-1. Итерированные ядра............................................................................................... .... 118

5.3-2. Метод последовательных приближений   ......................................................... .... 119

5.3-3. Построение резольвенты  .....................................................................................    119

5.3-4. Ортогональные ядра................................................................................................    121

5.4.   Метод определителей Фредгольма   .............................................................................    121

5.4-1. Формула для резольвенты ....................................................................................    121

5.4-2. Рекуррентные соотношения.................................................................................    122

5.5.   Теоремы и альтернатива Фредгольма ..........................................................................    123

5.5-1. Теоремы Фредгольма ............................................................................................    123

5.5-2. Альтернатива Фредгольма.....................................................................................    124

5.6.   Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными

ядрами................................................................................................................................... .. 124

5.6-1. Характеристические числа и собственные функции  ....................................    124

5.6-2. Билинейный ряд   ....................................................................................................    125

5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта.................................................................................    126

5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер..............................................................    127

5.6-5. Решение неоднородного уравнения ..................................................................    127

5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений   .........................    129

5.6-7. Резольвента симметричного ядра........................................................................    129

5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел......................................    129

5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным............................    130

5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение................................................    130

5.7.   Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода.................    131

5.7-1. Простейшая схема...................................................................................................    131

5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси.................................................    131

5.8.   Метод интегральных преобразований и метод модельных решений....................    132

5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси....................................................    132

5.8-2. Уравнение с ядром К(х, t) = t~1Q{x/t) на полуоси...........................................    133

5.8-3. Уравнение с ядром К(х, t) = tl3Q{xt) на полуоси..............................................    134

5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси  ...............................    135

5.9.   Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода .       136

5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода ...........................................................    136

5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами................................    140

5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования ...        143

5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода   ..............................................    146

5.10.   Метод Винера-Хопфа .....................................................................................................    147

5.10-1. Некоторые замечания...........................................................................................    147

5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода   ...............................    149

5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации.............................................    152

5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода..............................    153

5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода   . .       154

5.11.   Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа  .........................................................    155

5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации..........................................    155

5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода   ......................................    157

5.11-3. Формула Хопфа-Фока   .......................................................................................    159

5.12.   Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке  ...       159

5.12-1. Метод Крейна ........................................................................................................    159

5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье  .....................................    161

5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям...................    162

5.13.   Метод замены ядра вырожденным   ...........................................................................    163

5.13-1. Аппроксимация ядра   .........................................................................................    163

5.13-2. Приближенное решение......................................................................................    164

5.14.   Метод Бейтмена................................................................................................................    165

5.14-1. Общая схема метода..............................................................................................    165

5.14-2. Некоторые частные случаи  ...............................................................................    166

5.15.   Метод коллокации............................................................................................................    168

5.15-1. Общие замечания  ................................................................................................    168

5.15-2. Приближенное решение......................................................................................    169

5.15-3. Собственные функции уравнения.....................................................................    170

5.16.   Метод наименьших квадратов  .....................................................................................    170

5.16-1. Описание метода....................................................................................................    170

5.16-2. Построение собственных функций...................................................................    171

5.17.   Метод Бубнова-Галеркина.............................................................................................    172

5.17-1. Описание метода....................................................................................................    172

5.17-2. Характеристические числа уравнения ............................................................    173

5.18.   Метод квадратур   ............................................................................................................    174

5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода  .............................    174

5.18-2. Построение собственных функций...................................................................    175

5.18-3. Особенности применения квадратурных формул.........................................    175

5.19.   Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода.............................    177

5.19-1. Некоторые замечания...........................................................................................    177

5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение.................    177

5.20.   Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода............................    178

5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера..........................................................    178

5.20-2. Регуляризующие операторы   ............................................................................    179

5.20-3. Метод регуляризации...........................................................................................    180

6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода . .             182

6.1.   Предварительные замечания...........................................................................................    182

6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши   ...............................    182

6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта   ......................    182

6.2.   Интеграл типа Коши  ........................................................................................................    183

6.2-1. Определение интеграла типа Коши   ..................................................................    183

6.2-2. Условие Гёльдера  ..................................................................................................    184

6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла  .....................................................    184

6.2-4. Многозначные функции........................................................................................    185

6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла.......................    187

6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана  ...................................................    188

6.3.   Краевая задача Римана   ..................................................................................................      189

6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля  ................      189

6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита................................................................      191

6.3-3. Понятие индекса.......................................................................................................      191

6.3-4. Постановка задачи Римана....................................................................................      193

6.3-5. Решение однородной задачи ................................................................................      195

6.3-6. Решение неоднородной задачи  ..........................................................................      196

6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами......................................      198

6.3-8. Задача Римана для действительной оси..............................................................     200

6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана  ..........................................................     202

6.3-10. Задача Римана для многосвязной области......................................................     206

6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров...................     209

6.3-12. Краевая задача Гильберта   .................................................................................     210

6.4.   Сингулярные интегральные уравнения первого рода..............................................     210

6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши...............................................................     210

6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси   ........................................      211

6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке  ..............................................      211

6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши................................................     212

6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта....................................................     213

6.5.   Метод Мультоппа-Каландия   .........................................................................................     214

6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка..................................................     215

6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка ...........................................     216

6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка   ........................................     217

7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений   .......................     218

7.1.   Некоторые замечания   ....................................................................................................     218

7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши  ..........................................................     218

7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта  .................................................     219

7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре....................................     220

7.2.   Метод Карлемана для характеристических уравнений.............................................     222

7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши................................................     222

7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим......................................................     225

7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси   .............................     226

7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения  .........................     227

7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта.......................................     229

7.2-6. Уравнение Трикоми   .............................................................................................     230

7.3.   Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой

форме................................................................................................................................... .... 230

7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах  ..................................      231

7.3-2. Замкнутое решение в общем случае..................................................................     232

7.4.   Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений . .         233

7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов  ..............................................     233

7.4-2. Регуляризующий оператор...................................................................................     235

7.4-3. Способы регуляризации слева и справа............................................................     236

7.4-4. Проблема равносильной регуляризации   ........................................................     237

7.4-5. Теоремы Нётера.......................................................................................................     238

7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа  ........................................................     239

7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях .......................................................    240

7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта ..............................................................    241

8.   Методы решения нелинейных интегральных уравнений..........................................    244

8.1.   Некоторые определения и замечания   ........................................................................    244

8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра...........................................    244

8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования . .      245

8.2.   Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра.....................................................    246

8.2-1. Метод интегральных преобразований ...............................................................    246

8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений..................................    247

8.2-3. Метод последовательных приближений   .........................................................    248

8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича..............................................................................    250

8.2-5. Метод коллокации...................................................................................................    251

8.2-6. Метод квадратур......................................................................................................    252

8.3.   Уравнения с постоянными пределами интегрирования   .......................................    253

8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами  .......................................    253

8.3-2. Метод интегральных преобразований ...............................................................    255

8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений..................................    256

8.3-4. Метод последовательных приближений   .........................................................    257

8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича..............................................................................    258

8.3-6. Метод квадратур......................................................................................................    260

8.3-7. Метод регуляризации Тихонова  ........................................................................    261

9.   Интегральные операторы...................................................................................................    262

9.1.   Линейные опе