Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
Э. Камке
Пер. с нем. - 4-е изд., испр. — М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576с.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890— 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.
Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас.
Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).
Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.
- Оглавление
- Предисловие к четвертому изданию 11
- Некоторые обозначения 13
- Принятые сокращения в библиографических указаниях 13
- ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
- ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
- Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
-
§ 1. Дифференциальные уравнения,
разрешенные
относительно 19
производной: у' =f(x,y); основные понятия -
1.1. Обозначения и геометрический
смысл дифференциального 19
уравнения -
1.2. Существование и единственность
решения 20
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно 21 - производной: у' =f(x,y); методы решения
- 2.1. Метод ломаных 21
- 2.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 23
- 2.3. Применение степенных рядов 24
- 2.4. Более общий случай разложения в ряд 25
- 2.5. Разложение в ряд по параметру 27
- 2.6. Связь с уравнениями в частных производных 27
- 2.7. Теоремы об оценках 28
- 2.8. Поведение решений при больших значениях х 30
- § 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно 32
- производной: F(y', у,х)=0
- 3.1. О решениях и методах решения 32
- 3.2. Регулярные и особые линейные элементы 33
- § 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34
- порядка
- 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35
- 4.2. y'=f(ax+by+c) 35
- 4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35.
- 4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений
- 4.5. Уравнение Бернулли y'+f(x)y+g(x)ya=0 38
- 4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним 38
- 4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40
- 4.8. Специальное уравнение Риккати: у'+ау2=Ьха 40
- 4.9. Общее уравнение Риккати: y'=f(x)y2+g(x)y+h(x) 41
- 4.10. Уравнение Абеля первого рода 44
- 4.11. Уравнение Абеля второго рода 47
- 4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49
- 4.13. Интегрирующий множитель 49
- 4.14. F(y',y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50
- 4.15. (a) y=G(x, у'); (б) x=G(y, у') 50
- 4.16. (a) G(y ',х)=0; (б) G(y \y)=Q 51
- 4Л7. (a) y'=g(y); (6) x=g(y') 51
- 4.18. Уравнения Клеро 52
- 4.19. Уравнение Лагранжа —Даламбера 52
- 4.20. F(x, ху'-у, у')=0. Преобразование Лежандра 53
- Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений,
- разрешенных относительно производных
- § 5. Основные понятия 54
- 5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
- 5.2. Существование и единственность решения 54
- 5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5
- 5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 56
-
5.5. Вопросы
устойчивости 57
§ 6. Методы решения 59 - 6.1. Метод ломаных 59
- 6.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 59
- 6.3. Применение степенных рядов 60
- 6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61
- 6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
- 6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
-
6.7. Теоремы об
оценках 62
§ 7. Автономные системы 63 - 7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64
- 7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2
-
7.3. Критерии для определения типа особой
точки 66
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы 70 - 8.1. Общие замечания 70
- 8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 70
- 8.3. Сведение неоднородной системы к однородной 71
- 8.4. Теоремы об оценках 71
- § 9. Однородные линейные системы 72
- 9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72
- 9.2. Теоремы существования и методы решения 74
- 9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений 75
- 9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений 76
- 9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений , 76
- 9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
-
9.7. Фундаментальные
решения 78
§10. Однородные линейные системы с особыми точками 79 - 10.1. Классификация особых точек 79
- 10.2. Слабо особые точки 80
- 10.3. Сильно особые точки 82
- §11. Поведение решений при больших значениях х 83
- §12. Линейные системы, зависящие от параметра 84
- §13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86
- 13.1. Однородные системы 83
- 13.2. Системы более общего вида 87
- Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
- § 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89
- yin)=f(x,y,y\...,y{n-\)}
-
§15. Уравнения, не разрешенные относительно
старшей производной: 90
F(x,y,y\...,y(n))=0 - 15.1. Уравнения в полных дифференциалах 90
- 15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90
- 15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91
- Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,
- §16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 92
- 16.1. Общие замечания 92
- 16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 92
- 16.3. Исключение производной (п—1)-го порядка 94
- 16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
-
16.5. Поведение решений при больших
значениях х 94
§17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 95 - 17.1. Свойства решений и теоремы существования 95
- 17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения 96
- 17.3. 0 нулях решений 97
- 17.4. Фундаментальные решения 97
- 17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
- 17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99
- 17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
-
§18. Однородные линейные дифференциальные
уравнения с особыми 101
точками - 18.1. Классификация особых точек 101
- 18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая 104
- 18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая 108
- 18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107
- 18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108
- 18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
- 18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
- 18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
-
18.9. Случай действительного
переменного 112
§19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 113 - определенных интегралов
- 19.1. Общий принцип 113
- 19.2. Преобразование Лапласа 116
- 19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119
- 19.4. Преобразование Меллина 120
- 19.5. Преобразование Эйлера 121
- 19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123
- § 20. Поведение решений при больших значениях х 124
- 20.1. Полиномиальные коэффициенты 124
- 20.2. Коэффициенты более общего вида 125
- 20.3. Непрерывные коэффициенты 125
- 20.4. Осцилляционные теоремы 126
- §21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от 127
- параметра
-
§ 22. Некоторые специальные типы линейных
дифференциальных 129
уравнений п-то порядка - 22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- 22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными 130
- 22.3. Уравнения Эйлера 132
- 22.4. Уравнение Лапласа 132
- 22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами 133
- 22.6. Уравнение Похгаммера 134(......)