Лекции по математическому анализу. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.
- Лекции по математическому
анализу
- Архипов Г.И., Садовничий
В.А., Чубариков В.Н.
- М.: Высш. шк. 1999. — 695 с.
Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.
-
СОДЕРЖАНИЕ-
Предисловие...............................................................................
3
-
-
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
-
Глава I. ВВЕДЕНИЕ.................................................................. ................... 7
-
Лекция 1
-
§ 1. Множества. Операции
над множествами. Декартово
-
произведение. Отображения.
Функции............................. ........ 7
-
Лекция 2
-
§ 2. Эквивалентные
множества. Счетные и
несчетные
-
множества. Мощность
континуума...................................
14
-
Лекция 3
-
§ 3. Вещественные
числа..........................................................
19
-
Лекция 4.
-
§ 4. Полнота множества
вещественных чисел.........................
23
-
§ 5. Леммы об- отделимости множеств,
о системе вло
женных отрезков и
последовательности стягиваю
щихся
отрезков..................................................................
27 -
Глава II. ПРЕДЕЛ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................
29
-
Лекция 5
-
§ 1. Метод математической
индукции. Бином Ньютона
-
и неравенство
Бернулли.....................................................
29
-
§ 2. Числовые последовательности.
Бесконечно малые и
бесконечно большие
последовательности и их
свой
ства.....................................................................................
33 -
Лекция б
-
§ 3. Предел
последовательности..............................................
38
-
§ 4. Предельный переход в
неравенствах.................................
41
-
Лекция 7
-
§ 5. Монотонные
последовательности. Теорема
Вейер-
-
штрасса. Число "е" и
постоянная Эйлера.......................
45
-
Лекция 8
-
§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса
о существовании
частичного предела
у ограниченной
последователь
ности..................................................................................
52 -
§ 7. Критерий Коши для
сходимости последовательности
53
-
Глава III. ПРЕДЕЛ
ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.........................................
55
-
Лекция 9
-
§ 1. Понятие предела
числовой функции.................................
55
-
§ 2. База множеств.
Предел функции по базе.........................
57
-
Лекция 10
-
§ 3. Свойство монотонности
предела функции.......................
63
-
§ 4. Критерий Коши
существования предела функции
-
по базе.................... •-----
...................................................
64
-
Лекция 11
-
§ 5. Эквивалентность
определений сходимости по Коши
-
и по
Гейне...........................................................................
67
-
§ 6. Теоремы о пределе
сложной функции..............................
68
-
§ 7. Порядок бесконечно
малой функции...............................
72
-
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.... 74
-
Лекция 12
-
§ 1. Свойства функций,
непрерывных в точке........................
74
-
§ 2. Непрерывность
элементарных функций............................
76
-
Лекция 13
-
§ 3. Замечательные
пределы.....................................................
79
-
§ 4. Непрерывность функции
на множестве............................
82
-
Лекция 14
-
§ 5. Общие свойства функций,
непрерывных на отрезке
90
-
Лекция 15
-
§ 6. Понятие равномерной
непрерывности..............................
93
-
§ 7. Свойства замкнутых и
открытых множеств. Ком
пакт.
Функции, непрерывные на
компакте........................
94 -
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
-
ПЕРЕМЕННОЙ................ ..................................
98
-
Лекция 16
-
§ 1. Приращение функции.
Дифференциал и производ
ная
функции............... .....'................................
—.......... 98 -
Лекция 17
-
§ 2. Дифференцирование
сложной функции............................
103
-
§ 3. Правила
дифференцирования............................................
107
-
Лекция 18
-
§4. Производные и
дифференциалы высших порядков..
109
§ 5. Возрастание и убывание
функции в точке........................
115 -
Лекция 19
-
§ 6. Теоремы Ролля, Коши и
Лагранжа...................................
117
-
Лекция 20
-
§ 7. Следствия из теоремы
Лагранжа.......................................
122
-
§ 8. Некоторые
неравенства......................................................
123
-
§9. Производная функции,
заданной параметрически...
125
-
Лекция 21
-
§ 10. Раскрытие
неопределенностей..........................................
126
-
Лекция 22
-
§11. Локальная формула
Тейлора----------- ................................
132
-
§ 12. Формула Тейлора с
остаточным членом в
общей
-
форме......................................................................................
137
-
Лекция 23
-
§ 13. Применение формулы Тейлора
к некоторым функ
циям
..................................................................................
141 -
Лекция 24
-
§ 14. Исследование функций
с помощью производных.
-
Экстремальные точки.
Выпуклость..................................
144
-
Лекция 25
-
§ 15. Точки
перегиба..................................................................
151
-
Лекция 26
-
§ 16.
Интерполирование.............................................................
157
-
Лекция 27
-
§ 17.Метрд хорд и метод касательных
(метод Ньютона).
-
Быстрые
вычисления.........................................................
160
-
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ....................................
166
-
Лекция 28
-
§ 1. Точная первообразная.
Интегрируемые функции...
166
-
Лекция 29.
-
§ 2. Свойства неопределенного
интеграла..............................
169
-
Лекция 30
-
Дополнение. Обобщение
понятия предела по Гейне на
-
функции, сходящиеся по базе
множеств........................... 174
-
-
ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ
РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ 183 -
Лекция 1
-
§ 1.
Введение............................................................................
183
-
§ 2. Определение интеграла
Римана.........................................
184
-
Лекция 2
-
§ 3. Критерий интегрируемости
функции по Риману .... 190
-
Лекция 3
-
§ 4. Эквивалентность
трех условий
интегрируемости
-
функции по Риману . .
.'...................................................
195
-
§ 5. Специальный
критерий интегрируемости
функции
-
по Риману
.......................................................................
196
-
§ 6. Метод интегральных
сумм................................................
200
-
Лекция 4
-
§ 7. Свойства интеграла
Римана как предела по базе .
204
-
§ 8. Классы функций,
интегрируемых по Риману
................ 209
-
Лекция 5
-
§ 9. Свойства определенного
интеграла..................................
212
-
§ 10. Аддитивность
интеграла....................................................
217
-
Глава VIII. ОСНОВНЫЕ
ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕ
ГРАЛА
РИМАНА..............................................................................
219 -
Лекция 6
-
§ 1. Интеграл как функция
верхнего (нижнего) предела
-
интегрирования. Производная
интеграла......................... 219
-
§ 2. Теорема Ньютона -
Лейбница. Формулы суммиро
вания
Эйлера и
Абеля........................................................
220 -
Лекция 7
-
§ 3. Формулы замены
переменной и интегрирования по
-
частям в определенном
интеграле.....................................
225
-
§ 4. Первая и вторая теоремы
о среднем значении..................
226
-
Лекция 8
-
§ 5. Формула Тейлора
с остаточным членом
в инте
гральной
форме.................................................................
233 -
§ 6. Неравенства, содержащие
интегралы...............................
239
-
Лекция 9
-
§ 7. Критерий Лебега
интегрируемости функции по Ри-
-
ману...................
'...............................................................
241
-
§ 8. Доказательство критерия
Лебега......................................
242
-
Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ..................................
246
-
Лекция 10
-
§ 1. Определение
несобственных интегралов первого
и
-
второго
рода......................................................................
246
-
§ 2. Критерий Коши и
достаточные условия сходимости
-
несобственных
интегралов................................................
248
-
§ 3. Абсолютная и условная
сходимость несобственных
-
интегралов. Признаки Абеля
и Дирихле........................... 249
-
Лекция 11
-
§ 4. Несобственные интегралы
второго рода..........................
253
-
§ 5. Формулы замены
переменной и интегрирования по
-
частям в несобственном
интеграле...................................
255
-
Глава X. ДЛИНА
ДУГИ
КРИВОЙ.......................................................
257
-
Лекция 12
-
§ 1. Кривые в многомерном
пространстве ............................ 257
-
§ 2. Теорема о длине дуги
кривой ........................................
259
-
Глава XI. МЕРА
ЖОРДАНА..................................................................
262
-
Лекция 13
-
§ 1. Площадь плоской фигуры
и объем пространствен
ного тела.
Определение меры Жордана............................
262 -
§ 2. Критерий измеримости
множества по Жордану_______
264
-
Лекция 14
-
§ 3. Свойства меры
Жордана...................................................
267
-
§ 4. Измеримость спрямляемой
кривой...................................
269
-
§ 5. Связь между
интегрируемостью функции по Риману
и
-
измеримостью по
Жордану ее криволинейной
-
трапеции......................................
271
-
Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРА
ЛА ЛЕБЕГА.
ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА....................................
275 -
Лекция 15
-
§ 1. Определение и свойства
меры Лебега..............................
275
-
Лекция 16
-
§ 2. Интеграл
Лебега.................................................................
282
-
Лекция 17
-
§ 3. Интеграл
Стильтьеса..........................................................
288
-
Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ
ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПО
ЛОГИИ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............................
296 -
Лекция 18
-
§ 1.
Определения......................................................................
296
-
Лекция 19
-
§ 2. Хаусдорфовость
метрического пространства в есте
ственной
топологии...........................................................
302 -
§ 3. Внутренние, внешние
и граничные точки множества
-
в метрическом
пространстве.............................................
303
-
§ 4. Лемма о последовательности
стягивающихся шаров.
-
Принцип сжимающих
отображений..................................
306
-
Лекция 20
-
§ 5. Непрерывные отображения
метрических
-
пространств........................................................................
308
-
§ 6. Понятие
компакта. Компакты
в Жп и полнота пространства
-
Rn. Свойства
непрерывных функций на компакте.................
309
-
§ 7. Связные множества и
непрерывность...............................
312
-
Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
-
ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.........................................
314
-
Лекция 21
-
§ 1. Непрерывные функции
в Шп.............................................
314
-
§ 2. Дифференцируемые функции
в Мп..................................... 317
-
Лекция 22
-
§ 3. Дифференцирование сложной
функции............................. 320
-
§ 4. Производная по
направлению. Градиент........................
321
-
§ 5. Геометрический смысл
дифференциала............................
323
-
Лекция 23
-
§ 6. Частные производные
высших порядков..........................
324
-
§ 7. Дифференциалы высших
порядков. Формула Тей
лора
.......
'....................................................................
___ 326 -
Лекция 24
-
§ 8. Приложение
формулы Тейлора.
Локальный экс
тремум функции
многих переменных................................
330 -
§ 9. Неявные
функции..............................................................
332
-
Лекция 25
-
§ 10. Система неявных
функций.................................................
337
-
§ 11. Условный экстремум функции
многих переменных. 341
-
§ 12.Дифференцируемые отображения.
Матрица Якоби. 344
-
-
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ
РЯДЫ ............................................................
347
-
Лекция 1
-
§ 1. Основные свойства
сходящихся рядов. Критерий
-
Коши
................................................................................
347
-
Лекция 2
-
§ 2. Ряды с неотрицательными
членами................................... 355
-
Лекция 3
-
§ 3. Основные признаки
сходимости для рядов с
нео
трицательными
членами.....................................................
360 -
Лекция 4
-
§ 4. Абсолютная и
условная сходимость рядов.
Ряды
-
Лейбница............................................................................
368
-
§ 5. Признаки Абеля и
Дирихле
............................................ 370
-
Лекция 5
-
§ 6. Перестановки членов
ряда....................... 373
-
Лекция 6
-
§ 7. Арифметические операции
над сходящимися рядами 376 Лекция 7
-
§ 8. Двойные и повторные
ряды..............................................
381
-
Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ
НОСТИ И
РЯДЫ..............................................................................
388 -
Лекция 8
-
§ 1. Сходимость функционального
ряда................................. 388
-
§ 2. Равномерная сходимость
............................................... 391
-
Лекция 9
-
§ 3. Критерий равномерной
сходимости функциональной
-
последовательности...........................................................
394
-
§ 4. Признаки равномерной
сходимости ..............................
396
-
Лекция 10
-
§ 5. Теорема
Дини....................................................................
401
-
§ 6. Почленное
дифференцирование и
интегрирование
-
ряда......................................................................
:............. 402
-
Лекция 11
-
§ 7. Двойные и повторные
пределы по базе множеств .
407
-
Лекция 12
-
§ 8. Степенные
ряды.................................................................
411
-
Лекция 13
-
§ 9. Бесконечные
произведения...............................................
416
-
Лекция 14
-
§ 10. Бесконечные
определители................................................
422
-
§ 11. Равностепенная непрерывность
и теорема Арцела .. 425
-
Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ
ПАРА
МЕТРА.....................................................................................................
428 -
Лекция 15
-
§ 1. Собственные
параметрические интегралы и их
не
прерывность
......................................................................
428 -
§ 2. Дифференцирование и
интегрирование собственных
-
параметрических интегралов
........................................... 431
-
Лекция 16
-
§ 3. Теорема
Лагранжа.............................................................
436
-
Лекция 17
-
§ 4. Равномерная сходимость
по Гейне...................................
439
-
§ 5. Эквивалентность
двух определений «равномерной
-
сходимости.........................................................................
440
-
Лекция 18
-
§ 6. Равномерная сходимость
несобственных параметри
ческих
интегралов..............................................................
444 -
Лекция 19
-
§ 7. Непрерывность,
дифференцируемость и интегрируемость
по
-
параметру несобственных
интегралов .... 449
-
Лекция 20
-
§ 8. Несобственные интегралы
второго рода..........................
456
-
§ 9. Применение теории
параметрических интегралов ...
458
-
Лекция 21
-
§ 10. Интегралы Эйлера первого и
второго рода...................... 461
-
Лекция 22
-
§11. Формула
Стирлинга............................................................
467
-
Глава XVIII. РЯДЫ
И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ...................................
471
-
Лекция 23
-
§ 1. Представление дробной
доли вещественного числа
-
тригонометрическим рядом.
Формула суммирования
-
Пуассона. Суммы Гаусса
................................................. 471
-
Лекция 24
-
§ 2. Неравенство Бесселя.
Замкнутость и полнота ор-
-
тонормированной системы
функций.................................
482
-
Лекция 25
-
§ 3. Замкнутость
тригонометрической системы функций
488
-
§ 4. Простейшие
свойства тригонометрических
рядов
-
Фурье....................................
:........................................... 493
-
Лекция 26
-
§ 5. Интегральное
представление для частичной суммы
-
ряда Фурье. Принцип
локализации Римана ...................
497
-
§ 6. Признаки поточечной
сходимости рядов Фурье.............
501
-
Лекция 27
-
§ 7. Поведение коэффициентов
Фурье.....................................
506
-
§ 8. Разложение котангенса
на простейшие дроби и пред
-
ставление синуса в виде
бесконечного произведения 509
-
§9. Задача Кеплера и ряды
Бесселя.........................................
511
-
Лекция 28
-
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная
теорема Вейер-
-
штрасса..............................................................................
514
-
§ 11. Интеграл Дирихле
и разложение на
простейшие
-
дроби..................................................................................
517
-
Лекция 29
-
§ 12. Преобразование Фурье и
интеграл Фурье.........................
522
-
Лекция 30
-
§ 13. Метод Лапласа и метод
стационарной фазы........................ 534
-
-
ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
Глава XIX. КРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ..................................................
544
-
Лекция 1
-
§ 1. Двойной интеграл
Римана как предел по базе..................
544
-
§ 2. Суммы Дарбу и их
свойства..............................................
547
-
Лекция 2
-
§ 3. Критерий Римана
интегрируемости функции на
пря
моугольнике......................................................................
550 -
§ 4. Специальный
критерий интегрируемости функции
-
на
прямоугольнике......................................................
___ 553
-
Лекция 3
-
§ 5. Измеримость по
Жордану цилиндрической криво
линейной
фигуры................................... ;...........................
556 -
§ 6. Понятие двойного
интеграла Римана по ограничен
ной
области, измеримой по
Жордану............................... 558 -
Лекция 4
-
§ 7. Основные свойства
двойного интеграла...........................
562
-
§ 8. Переход от двойного
интеграла к повторному.................
564
-
§ 9. Интегрируемость
непрерывной функции на измери
мом
множестве..................................................................
566 -
Лекция 5
-
§ 10. Многократные
интегралы..................................................
568
-
§ 11. Свойства гладкого
отображения на выпуклом мно
жестве
..............................................................................
572 -
Лекция 6
-
§ 12. Объем области в криволинейных
координатах.
-
Теорема о замене переменных в
кратном интеграле 575
-
Лекция 7
-
§ 13. Критерий
Лебега................................................................
584
-
Лекция &
-
§ 14. Несобственные кратные
интегралы..................................
588
-
Лекция 9
-
§ 15. Площадь
поверхности.......................................................
595
-
§ 16. Площадь m-мерной
поверхности в евклидовом
про
странстве п измерений.......................................................
600 -
Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
-
ИНТЕГРАЛЫ.....................................................................................
603
-
Лекция 10
-
§ 1. Криволинейные
интегралы.................................................
603
-
§ 2. Свойства криволинейных
интегралов...............................
604
-
Лекция 11
-
§ 3. Криволинейные интегралы
второго рода по замкну
тому контуру.
Формула Грина..........................................
609 -
Лекция 12
-
§ 4. Поверхностные интегралы
............................................... 614
-
§ 5. Согласование ориентации
поверхности, и ее границы 618
-
Лекция 13
-
§ 6. Формула Стокса
...............................................................
622
-
§ 7. Формула Гаусса -
Остроградского....................................
624
-
Лекция 14
-
§ 8. Криволинейные
интегралы, зависящие
только от
-
пределов интегрирования
.:................... ,..........................
630
-
§ 9. Элементы векторного
анализа...........................................
633
-
Лекция 15
-
§ 10. Потенциальное и соленоидальное
векторные поля .
639
Глава XXI. ОБЩАЯ
ФОРМУЛА СТОКСА.......................................
645 -
Лекция 16
-
§ 1. Понятие ориентированной
многомерной поверхности
645
-
§ 2. Согласование ориентации
поверхности и ее границы
-
в общем
случае...................................................................
647
-
§ 3. Дифференциальные формы
............................................. 649
-
§ 4. Замена переменных в
дифференциальной форме... 649
-
Лекция 17
-
§ 5. Интеграл от
дифференциальной формы............................
651
-
§ 6. Операция внешнего
дифференцирования.........................
654
-
§ 7. Доказательство общей
формулы Стокса...........................
656
-
Лекция 18
-
Дополнение. Равномерное
распределение значений чи
словых
последовательностей на отрезке
........................................ 660 -
§ 1. Понятие равномерного
распределения. Лемма об
-
оценке коэффициентов
Фурье..............................................................
660
-
§ 2. Критерий Г.Вейля
..................................................................................
664
-
Примерные вопросы и задачи к
коллоквиумам и экза
менам
.....................................................................................................
674 -
Литература.........................................................................................................
684
-