Лекции по математическому анализу

 Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.

М.: Высш. шк. 1999. — 695 с. 

Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.

В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.

Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.

  

---

 СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие...............................................................................         3

 

 ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

  Глава I. ВВЕДЕНИЕ.................................................................. ................... 7

Лекция 1

§ 1.   Множества. Операции над множествами. Декартово

произведение. Отображения. Функции............................. ........ 7

Лекция 2

§ 2.   Эквивалентные  множества.    Счетные  и  несчетные

множества.  Мощность континуума...................................       14

Лекция 3

§ 3.   Вещественные числа..........................................................       19

Лекция 4.

§ 4.   Полнота множества вещественных чисел.........................       23

§ 5. Леммы об- отделимости множеств, о системе вло­
женных отрезков и последовательности стягиваю­
щихся отрезков..................................................................       27

 Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................       29

Лекция 5

§ 1.   Метод математической индукции.   Бином Ньютона

и неравенство Бернулли.....................................................       29

§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и
бесконечно большие последовательности и их свой­
ства.....................................................................................       33

Лекция б

§ 3.   Предел последовательности..............................................       38

§ 4.   Предельный переход в неравенствах.................................       41

Лекция 7

§ 5.   Монотонные  последовательности.    Теорема  Вейер-

штрасса.   Число "е" и постоянная Эйлера.......................       45

Лекция 8

§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании
частичного предела у ограниченной последователь­
ности..................................................................................       52

§ 7.   Критерий Коши для сходимости последовательности     53

Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.........................................       55

Лекция 9

§ 1.   Понятие предела числовой функции.................................        55

§ 2.   База множеств.  Предел функции по базе.........................       57

Лекция 10

§ 3.   Свойство монотонности предела функции.......................       63

§ 4.   Критерий  Коши   существования   предела  функции

по базе.................... •----- ...................................................       64

Лекция 11

§ 5.   Эквивалентность определений сходимости по Коши

и по Гейне...........................................................................       67

§ 6.   Теоремы о пределе сложной функции..............................       68

§ 7.   Порядок бесконечно малой функции...............................       72

Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ....      74

Лекция 12

§ 1.   Свойства функций, непрерывных в точке........................       74

§ 2.   Непрерывность элементарных функций............................       76

Лекция 13

§ 3.   Замечательные пределы.....................................................       79

§ 4.   Непрерывность функции на множестве............................       82

Лекция 14

§ 5.   Общие свойства функций, непрерывных на отрезке      90

Лекция 15

§ 6.   Понятие равномерной непрерывности..............................       93

§ 7.   Свойства замкнутых и открытых множеств.   Ком­
пакт. Функции, непрерывные на компакте........................       94

Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ................                               ..................................       98

Лекция 16

§ 1.   Приращение функции.  Дифференциал и производ­
ная функции............... .....'................................ —..........       98

Лекция 17

§ 2.   Дифференцирование сложной функции............................     103

§ 3.   Правила дифференцирования............................................     107

Лекция 18

§4.   Производные и дифференциалы высших порядков..    109
§ 5.   Возрастание и убывание функции в точке........................     115

Лекция 19

§ 6.   Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа...................................      117

Лекция 20

§ 7.   Следствия из теоремы Лагранжа.......................................     122

§ 8.   Некоторые неравенства......................................................     123

§9.   Производная функции, заданной параметрически...    125

Лекция 21

§ 10. Раскрытие неопределенностей..........................................     126

Лекция 22

§11. Локальная формула Тейлора----------- ................................      132

§ 12. Формула  Тейлора  с   остаточным   членом   в   общей

форме...................................................................................... 137

Лекция 23

§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функ­
циям ..................................................................................      141

Лекция 24

§ 14. Исследование   функций   с   помощью   производных.

Экстремальные точки.  Выпуклость..................................     144

Лекция 25

§ 15. Точки перегиба..................................................................     151

Лекция 26

§ 16. Интерполирование.............................................................      157

Лекция 27

§ 17.Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона).

Быстрые вычисления.........................................................      160

Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ....................................     166

Лекция 28

§ 1.   Точная первообразная.  Интегрируемые функции...     166

Лекция 29.

§ 2.   Свойства неопределенного интеграла..............................      169

Лекция 30

Дополнение.   Обобщение понятия  предела по Гейне на

функции, сходящиеся по базе множеств...........................     174

 

ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ                                             183

Лекция 1

§ 1.   Введение............................................................................      183

§ 2.   Определение интеграла Римана.........................................      184

Лекция 2

§ 3.   Критерий интегрируемости функции по Риману ....     190

Лекция 3

§ 4.   Эквивалентность    трех    условий    интегрируемости

функции по Риману   . . .'...................................................      195

§ 5.   Специальный   критерий   интегрируемости  функции

по Риману   .......................................................................      196

§ 6.   Метод интегральных сумм................................................      200

Лекция 4

§ 7.   Свойства интеграла Римана как предела по базе   .    204

§ 8.   Классы функций, интегрируемых по Риману   ................     209

Лекция 5

§ 9.   Свойства определенного интеграла..................................      212

§ 10. Аддитивность интеграла....................................................     217

Глава  VIII.   ОСНОВНЫЕ   ТЕОРЕМЫ  ТЕОРИИ   ИНТЕ­
ГРАЛА РИМАНА..............................................................................     219

Лекция 6

§ 1.   Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела

интегрирования.  Производная интеграла.........................     219

§ 2.   Теорема Ньютона - Лейбница.  Формулы суммиро­
вания Эйлера и Абеля........................................................     220

Лекция 7

§ 3.   Формулы замены переменной и интегрирования по

частям в определенном интеграле.....................................     225

§ 4.   Первая и вторая теоремы о среднем значении..................     226

Лекция 8

§ 5.   Формула   Тейлора   с   остаточным   членом   в   инте­
гральной форме.................................................................      233

§ 6.   Неравенства, содержащие интегралы...............................      239

Лекция 9

§ 7.   Критерий Лебега интегрируемости функции по Ри-

ману................... '...............................................................     241

§ 8.   Доказательство критерия Лебега......................................      242

Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..................................     246

Лекция 10

§ 1.   Определение  несобственных интегралов  первого  и

второго рода......................................................................     246

§ 2.   Критерий Коши и достаточные условия сходимости

несобственных интегралов................................................     248

§ 3.   Абсолютная и условная сходимость несобственных

интегралов.  Признаки Абеля и Дирихле...........................     249

Лекция 11

§ 4.   Несобственные интегралы второго рода..........................     253

§ 5.   Формулы замены переменной и интегрирования по

частям в несобственном интеграле...................................     255

Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ.......................................................     257

Лекция 12

§ 1.   Кривые в многомерном пространстве  ............................     257

§ 2.   Теорема о длине дуги кривой   ........................................     259

Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА..................................................................     262

Лекция 13

§ 1.   Площадь плоской фигуры и объем пространствен­
ного тела.  Определение меры Жордана............................     262

§ 2.   Критерий измеримости множества по Жордану_______      264

Лекция 14

§ 3.   Свойства меры Жордана...................................................     267

§ 4.   Измеримость спрямляемой кривой...................................     269

§ 5.   Связь между интегрируемостью функции по Риману и  

измеримостью   по   Жордану   ее   криволинейной

трапеции...................................... 271

Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРА­
ЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА....................................     275

Лекция 15

§ 1.   Определение и свойства меры Лебега..............................     275

Лекция 16

§ 2.   Интеграл Лебега.................................................................     282

Лекция 17

§ 3.   Интеграл Стильтьеса..........................................................     288

Глава XIII.   НЕКОТОРЫЕ  ПОНЯТИЯ  ОБЩЕЙ  ТОПО­
ЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............................     296

Лекция 18

§ 1.   Определения......................................................................     296

Лекция 19

§ 2.   Хаусдорфовость метрического пространства в есте­
ственной топологии...........................................................     302

§ 3.   Внутренние, внешние и граничные точки множества

в метрическом пространстве.............................................     303

§ 4.   Лемма о последовательности стягивающихся шаров.

Принцип сжимающих отображений..................................     306

Лекция 20

§ 5.   Непрерывные отображения метрических

пространств........................................................................     308

§ 6.   Понятие   компакта.     Компакты   в  Жп   и   полнота пространства

 Rn. Свойства непрерывных функций на компакте.................      309

§ 7.   Связные множества и непрерывность...............................     312

Глава   XIV.   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ    ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.........................................     314

Лекция 21

§ 1.   Непрерывные функции в Шп.............................................     314

§ 2.  Дифференцируемые функции в Мп.....................................     317

Лекция 22

§ 3.  Дифференцирование сложной функции.............................     320

§ 4.   Производная по направлению.   Градиент........................     321

§ 5.   Геометрический смысл дифференциала............................     323

Лекция 23

§ 6.   Частные производные высших порядков..........................     324

§ 7.  Дифференциалы высших порядков.   Формула Тей­
лора ....... '.................................................................... ___     326

Лекция 24

§ 8.   Приложение   формулы  Тейлора.     Локальный   экс­
тремум функции многих переменных................................     330

§ 9.   Неявные функции..............................................................      332

Лекция 25

§ 10. Система неявных функций.................................................     337

§ 11. Условный экстремум функции многих переменных.    341

§ 12.Дифференцируемые отображения.   Матрица Якоби.    344

 

ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ   ............................................................      347

Лекция 1

§ 1.   Основные  свойства сходящихся  рядов.    Критерий

Коши   ................................................................................     347

Лекция 2

§ 2.   Ряды с неотрицательными членами...................................    355

Лекция 3

§ 3.   Основные  признаки  сходимости для  рядов с  нео­
трицательными членами.....................................................     360

Лекция 4

§ 4.   Абсолютная  и  условная  сходимость рядов.    Ряды

Лейбница............................................................................      368

§ 5.   Признаки Абеля и Дирихле   ............................................     370

Лекция 5

§ 6. Перестановки членов ряда....................... 373

Лекция  6

§ 7.   Арифметические операции над сходящимися рядами   376 Лекция 7

§ 8.   Двойные и повторные ряды..............................................     381

Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ­
НОСТИ И РЯДЫ..............................................................................     388

Лекция 8

§ 1.   Сходимость функционального ряда.................................     388

§ 2.   Равномерная сходимость   ...............................................      391

Лекция 9

§ 3.   Критерий равномерной сходимости функциональной

последовательности...........................................................     394

§ 4.   Признаки равномерной сходимости   ..............................     396

Лекция 10

§ 5.   Теорема Дини....................................................................     401

§ 6.   Почленное   дифференцирование   и   интегрирование

ряда...................................................................... :.............     402

Лекция 11

§ 7.   Двойные и повторные пределы по базе множеств   .    407

Лекция 12

§ 8.   Степенные ряды.................................................................     411

Лекция 13

§ 9.   Бесконечные произведения...............................................     416

Лекция 14

§ 10. Бесконечные определители................................................     422

§ 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела ..    425

Глава  XVII.   ИНТЕГРАЛЫ,   ЗАВИСЯЩИЕ  ОТ  ПАРА­
МЕТРА.....................................................................................................    428

Лекция 15

§ 1.   Собственные параметрические интегралы и их не­
прерывность ......................................................................     428

§ 2.  Дифференцирование и интегрирование собственных

параметрических интегралов  ...........................................     431

Лекция 16

§ 3.   Теорема Лагранжа.............................................................     436

Лекция 17

§ 4.   Равномерная сходимость по Гейне...................................     439

§ 5.   Эквивалентность   двух   определений «равномерной

сходимости.........................................................................     440

Лекция 18

§ 6.   Равномерная сходимость несобственных параметри­
ческих интегралов..............................................................     444

Лекция 19

§ 7.   Непрерывность, дифференцируемость и интегриру­емость по

 параметру несобственных интегралов ....    449

Лекция 20

§ 8.   Несобственные интегралы второго рода..........................     456

§ 9.   Применение теории параметрических интегралов ...    458

Лекция 21

§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода......................     461

Лекция 22

§11. Формула Стирлинга............................................................     467

Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ...................................     471

Лекция 23

§ 1.   Представление дробной доли вещественного числа

тригонометрическим рядом. Формула суммирования

Пуассона.  Суммы Гаусса .................................................     471

Лекция 24

§ 2.   Неравенство Бесселя.   Замкнутость и полнота ор-

тонормированной системы функций.................................     482

Лекция 25

§ 3.   Замкнутость тригонометрической системы функций    488

§ 4.   Простейшие    свойства   тригонометрических   рядов

Фурье.................................... :...........................................     493

Лекция 26

§ 5.   Интегральное представление для частичной суммы

ряда Фурье.   Принцип локализации Римана  ...................     497

§ 6.   Признаки поточечной сходимости рядов Фурье.............     501

Лекция 27

§ 7.   Поведение коэффициентов Фурье.....................................     506

§ 8.   Разложение котангенса на простейшие дроби и пред­

ставление синуса в виде бесконечного произведения 509

§9.   Задача Кеплера и ряды Бесселя.........................................     511

Лекция 28

§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер-

штрасса..............................................................................     514

§ 11. Интеграл   Дирихле   и   разложение   на   простейшие

дроби..................................................................................     517

Лекция 29

§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье.........................     522

Лекция 30

§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы........................ 534

 

ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..................................................     544

Лекция 1

§ 1.   Двойной интеграл Римана как предел по базе..................     544

§ 2.   Суммы Дарбу и их свойства..............................................     547

Лекция 2

§ 3.   Критерий Римана интегрируемости функции на пря­
моугольнике......................................................................      550

§ 4.   Специальный  критерий  интегрируемости  функции

на прямоугольнике...................................................... ___     553

Лекция 3

§ 5.   Измеримость по  Жордану  цилиндрической криво­
линейной фигуры................................... ;...........................     556

§ 6.   Понятие двойного интеграла Римана по ограничен­
ной области, измеримой по Жордану...............................     558

Лекция 4

§ 7.   Основные свойства двойного интеграла...........................     562

§ 8.   Переход от двойного интеграла к повторному.................     564

§ 9.   Интегрируемость непрерывной функции на измери­
мом множестве..................................................................      566

Лекция 5

§ 10. Многократные интегралы..................................................      568

§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом мно­
жестве   ..............................................................................      572

Лекция 6

§ 12. Объем области в криволинейных координатах.

Теорема о замене переменных в кратном интеграле    575

Лекция 7

§ 13. Критерий Лебега................................................................     584

Лекция &

§ 14. Несобственные кратные интегралы..................................     588

Лекция 9

§ 15. Площадь поверхности.......................................................     595

§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом про­
странстве п измерений.......................................................     600

Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ.....................................................................................    603

Лекция 10

§ 1.  Криволинейные интегралы.................................................     603

§ 2.   Свойства криволинейных интегралов...............................     604

Лекция 11

§ 3.   Криволинейные интегралы второго рода по замкну­
тому контуру.  Формула Грина..........................................     609

Лекция 12

§ 4.   Поверхностные интегралы  ...............................................     614

§ 5.   Согласование ориентации поверхности, и ее границы   618

Лекция 13

§ 6.   Формула Стокса  ...............................................................     622

§ 7.   Формула Гаусса - Остроградского....................................     624

Лекция 14

§ 8.   Криволинейные   интегралы,   зависящие   только  от

пределов интегрирования .:................... ,..........................     630

§ 9.   Элементы векторного анализа...........................................     633

Лекция 15

§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля   .    639
Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА.......................................     645

Лекция 16

§ 1.   Понятие ориентированной многомерной поверхности     645

§ 2.   Согласование ориентации поверхности и ее границы

в общем случае...................................................................     647

§ 3.  Дифференциальные формы   .............................................     649

§ 4.   Замена переменных в дифференциальной форме...    649

Лекция 17

§ 5.   Интеграл от дифференциальной формы............................     651

§ 6.   Операция внешнего дифференцирования.........................      654

§ 7.   Доказательство общей формулы Стокса...........................     656

Лекция 18

Дополнение. Равномерное распределение значений чи­
словых последовательностей на отрезке   ........................................      660

§ 1.   Понятие  равномерного  распределения.    Лемма об

оценке коэффициентов Фурье..............................................................     660

§ 2.   Критерий Г.Вейля   ..................................................................................     664

Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экза­
менам   .....................................................................................................     674

Литература.........................................................................................................     684