Руководство к решению задач по математическому анализу. Запорожец Г.И.
Запорожец Г.И.
4-е изд., М.: Высшая школа, 1966. - 464с.
"Руководство" предназначено для студентов высших технических учебных заведений и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач с краткими пояснениями теоретических положений; в конце каждого раздела содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по математическому анализу для машиностроительных, приборостроительных, механических, энергетических и строительных специальностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов технологических специальностей, которые могут опустить те разделы и задачи, которые не входят в их программу по курсу математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательный минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не превышают требований программы.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие 6
Глава 1. Введение в анализ 7
§ 1. Переменные величины н функции, их обозначение 7
§ 2. Область определения (существования) функции ... 12
§ 3. Построение графика функции по точкам 14
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции 20
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые н бесконечно большие величины. Предел функции 23
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах 30
§ 7. Вычисление пределов 33
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов 45
§ 9. Сравнение бесконечно малых 46
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции .48
Глава II. Производная и дифференциал функции 57
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение. Непосредственное нахождение производной 57
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций 60
§ 3. Производная сложной функции 63
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций 66
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций 67
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование 69
§ 7. Логарифмическое дифференцирование 71
§ 8. Производные высших порядков 73
§ 9. Производные неявной функции 75
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически 78
§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми 79
§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения 85
§ 13. Дифференциал функции 88
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой 90
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения . . 93
Глава III. Исследование функций и построение их графиков .... 95
§ 1. Теорема (формула) Тейлора 95
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции 105
§ 3. Возрастание и убывание функции 110
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции .... 111
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . 118
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин 121
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба 127
§ 8. Асимптоты 130
§ 9. Полная схема исследования функций и построение их графика 134
§ 10. Приближенное решение уравнении 144
§ 11. Кривизна плоской кривой 149
Глава IV. Неопределенный интеграл ... 154
§ I. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования 154
§ 3 Интегрирование посредством замены переменной . . 161
§ 4. Интегрирование по частям 163
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен ... 166
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций , . . 170
§ 7. Интегрирование рациональных функции 173
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 178
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций 182
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование 183
Глава V. Определенный интеграл ... 184
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом . 184
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле ... 186
§ 3 Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры 189
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений 191
§ 5. Объем тела сращения 199
§ 6. Длина дуги плоской кривой 202
§ 7. Площадь поверхности вращения 205
§ 8. Физические задачи 209
§ 9. Координаты центра тяжести ... 223
§ 10. Несобственные интегралы 225
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 230
Глава VI. Функции многих переменных 236
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения 236
§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность 239
§ 3. Частные производные функции многих переменных 241
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных . . . 243
§ 5. Дифференцирование сложных функций 246
§ 6. Дифференцированно неявных функции 248
§ 1. Частные производные высших порядков 249 § 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 252
§ 9. Экстремум функции многих переменных 254
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . 256
Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . 261
§ I. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием
§ 2. Двойной интеграл и полярных vvoopуниатах .... 271
§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла 274
§ 4. Вычисление объема тела 277
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции .... 281
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием 286
§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 293
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования . . . 301
§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных интегралов 307
§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311
§11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам 313
§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов 322
Глава VIII. Элементы теории поля 328
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент 328
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля .... 333
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля 339
Глава IX. Ряды 342
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 342
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда 347
§ 3. Функциональные ряды 350
§ 4. Ряды Тейлора 354
§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям 358
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 365
§ 7. Ряды Фурье 369
§ 8. Интеграл Фурье 382
Глава X. Дифференциальные уравнения 386
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы 386
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными .... 389
§ 3. Однородные уравнения первого порядка 391
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли 393
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 395
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 397
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 400
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших .порядков с постоянными коэффициентами 403
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов 411
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411
§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка 421
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов. . . 427
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений. , 431
§ 14. Уравнения математической физики 435
Ответы 443
Руководство к решению задач по математическому анализу.