Центральный Дом Знаний - Асимптоты

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Я учусь (закончил(-а) в
Всего ответов: 2668

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Форма входа

Логин:
Пароль:

Асимптоты

Содержание
     Введение        1                                                                                                1
Основная часть                                                                                            2                                                                                                                  
2.Нахождение асимптоты                                                                             6
   2.1 Геометрический смысл асимптоты                                                    7               
   2.2 Общий метод нахождения асимптоты                                               9            
   3.   Виды                                                                                                     10            
   3.1 Горизонтальная асимптота                                                                 10          
   3.2 Вертикальная асимптота                                                                    11       
   3.3 Наклонная асимптота                                                                          12
Вывод                                                                                                             14                            
         Использованная литература                                                                15  
Введение 
    Мы на факультативе пытались ответить на вопрос: «Нельзя ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеют график и сколько их?»
    Асимптота имеет несколько определений, вот некоторые из них.
    Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
     Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.
    Асимптотой графика функции y=f(x) называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки (х;f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении этой  точки к бесконечности  вдоль ветви графика.
       Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмические линии, циссоиды и др.).
                 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
      Представим себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. 
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
С вертикальными асимптотами сразу все ясно – они проходят через точки разрыва функции. Если рассмотреть выражения :  (х^2+1)/2 и х+1/х, то видно, что они задают одну и ту же функцию, ведь второе выражение результат деления числителя первой дроби на знаменатель. Но второе выражение удобнее с точки зрения поиска асимптот. Так, оно сразу дает понять, что y=x является асимптотой. Проделав еще несколько экспериментов с графиками рациональных выражений, мы увидели следующее.
          Если при делении числителя на знаменатель получается const=остаток, то график имеет горизонтальную асимптоту.
           Если показатель степени числителя(n) меньше показателя степени знаменателя (k), то график имеет горизонтальную асимптоту  y=0.
            Если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту y=a.
           Мы совершенно произвольно взяли функцию (x^4+3)/(x^2+1) и исследовали ее по общей схеме. Наши исследования закончились построением графика, симметричного относительно оси Оy и имеющего две уходящие в бесконечность ветви.
Но, когда мы дошли до вопроса об асимптотах, решили разделить числитель на знаменатель и получили следующее q(x)=х^2-1+4/(x^2+1)
Полученное выражение подсказало, что при    х стремящемся к бесконечности значения нашей функции стремятся к значениям функ ции  у = х2 - I,   т.е.   график функции    g(x) должен подходить к параболе   у = х2 - I   как угодно близко, никогда ее не пересекая.  При наложении графиков мы увидели, что график функции g(x) вписался в параболу у = х1 - I (рис. 3). Так чем же она не асимптота. 
рис.2
Далее мы рассмотрели функцию вида f(x)=x^5/(x^2-1). Разделив числитель дроби на знаменатель, придали функции вид: f(x)=x^3+x+x/x^2-1. Мы увидели, что функция имеет  две вертикальные асимптоты  х=1 и х=-1.  
2. Нахождение асимптоты 
Рассмотрим теперь общий вид нахождения асимптот.              
       Пусть функция f(x) определена для всех  х>a(соответственно для всех  х<a).а). Если существуют такие числа k и l, что f(x)  kx  l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x     (соответственно при х   ).
       Существование асимптоты графика функции означает, что при х  +  
(или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.                          
                                                                                          x  3x  2 
Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x 1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,  
получим y = x  4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х   , то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х  + , 
так и при х   .
2.1 Геометрический смысл асимптоты
      Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М  - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота, 
 - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,   ,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ  с асимптотой АВ (рис.1). 
                             (рис.1)
Тогда ММ  = f (x), QM  = kx + l, MQ = MM   QM  = f (x) – (kx +l), 
MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ  0 и MP  0 при х    (соответственно при х   ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, 
то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х   
       х                                                                                                    
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х    или, соответственно, х   ).
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Рассмотрим общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Рассмотрим случай х   . Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х   . Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х   . Тогда
lim   = k.
                                                        х    
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
                                     х    
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является 
                                                 х           
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
                                                                                              х             
lim f (x)  (kx + l) = 0,
                                              х   

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim   = k. и l = lim (f (x) – kx)
                                 х                    х              
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. 
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно. 
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) =  ,
другим способом:
то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты 
y = x – 4, как при х   , так и при х  - .
В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. 
3. Виды 
3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть существует lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  +) (рис.2)
                                                               (рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
                             (рис.3)
3.2 Вертикальная асимптота                         
                                (рис.4)
Пусть при x  a  0 lim f (x) =  . Тогда говорят, что прямая x = a является 
                                   х  
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в +  или  .
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид . 
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения    
3.3 Наклонная асимптота
                        (рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х   
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x  
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина    
Но тогда мы имеем  
и так как последний предел равен нулю, то  
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения  
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример 
то есть асимптота при x  + имеет уравнение y=x.
Аналогично можно показать, что при x  -  асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции   выглядит так (рис.6)(......)
Loading

Календарь

«  Июль 2020  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей
  • Новый фриланс 24