Скачать работу "Асимптоты"Содержание
Введение 1 1
Основная часть 2
2.Нахождение асимптоты 6
2.1 Геометрический смысл асимптоты 7
2.2 Общий метод нахождения асимптоты 9
3. Виды 10
3.1 Горизонтальная асимптота 10
3.2 Вертикальная асимптота 11
3.3 Наклонная асимптота 12
Вывод 14
Использованная литература 15
Введение
Мы на факультативе пытались ответить на вопрос: «Нельзя ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеют график и сколько их?»
Асимптота имеет несколько определений, вот некоторые из них.
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.
Асимптотой графика функции y=f(x) называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки (х;f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки к бесконечности вдоль ветви графика.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмические линии, циссоиды и др.).
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Представим себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой.
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
С вертикальными асимптотами сразу все ясно – они проходят через точки разрыва функции. Если рассмотреть выражения : (х^2+1)/2 и х+1/х, то видно, что они задают одну и ту же функцию, ведь второе выражение результат деления числителя первой дроби на знаменатель. Но второе выражение удобнее с точки зрения поиска асимптот. Так, оно сразу дает понять, что y=x является асимптотой. Проделав еще несколько экспериментов с графиками рациональных выражений, мы увидели следующее.
Если при делении числителя на знаменатель получается const=остаток, то график имеет горизонтальную асимптоту.
Если показатель степени числителя(n) меньше показателя степени знаменателя (k), то график имеет горизонтальную асимптоту y=0.
Если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту y=a.
Мы совершенно произвольно взяли функцию (x^4+3)/(x^2+1) и исследовали ее по общей схеме. Наши исследования закончились построением графика, симметричного относительно оси Оy и имеющего две уходящие в бесконечность ветви.
Но, когда мы дошли до вопроса об асимптотах, решили разделить числитель на знаменатель и получили следующее q(x)=х^2-1+4/(x^2+1)
Полученное выражение подсказало, что при х стремящемся к бесконечности значения нашей функции стремятся к значениям функ ции у = х2 - I, т.е. график функции g(x) должен подходить к параболе у = х2 - I как угодно близко, никогда ее не пересекая. При наложении графиков мы увидели, что график функции g(x) вписался в параболу у = х1 - I (рис. 3). Так чем же она не асимптота.
рис.2
Далее мы рассмотрели функцию вида f(x)=x^5/(x^2-1). Разделив числитель дроби на знаменатель, придали функции вид: f(x)=x^3+x+x/x^2-1. Мы увидели, что функция имеет две вертикальные асимптоты х=1 и х=-1.
2. Нахождение асимптоты
Рассмотрим теперь общий вид нахождения асимптот.
Пусть функция f(x) определена для всех х>a(соответственно для всех х<a).а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х +
(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
x 3x 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х + ,
так и при х .
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,
- угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
(рис.1)
Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот. х
х
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ).
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Рассмотрим общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Рассмотрим случай х . Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда
lim = k.
х
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
х
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
х
lim f (x) (kx + l) = 0,
х
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)
х х
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида.
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,
другим способом:
то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как при х , так и при х - .
В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy.
3. Виды
3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть существует lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2)
(рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
(рис.3)
3.2 Вертикальная асимптота
(рис.4)
Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является
х
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или .
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид .
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
3.3 Наклонная асимптота
(рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример
то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.
Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции выглядит так (рис.6)(......)