Информационный центр "Центральный Дом Знаний"
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
АсимптотыСодержание Введение 1 1 Основная часть 2 2.Нахождение асимптоты 6 2.1 Геометрический смысл асимптоты 7 2.2 Общий метод нахождения асимптоты 9 3. Виды 10 3.1 Горизонтальная асимптота 10 3.2 Вертикальная асимптота 11 3.3 Наклонная асимптота 12 Вывод 14 Использованная литература 15 Введение Мы на факультативе пытались ответить на вопрос: «Нельзя ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеют график и сколько их?» Асимптота имеет несколько определений, вот некоторые из них. Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Асимптотой графика функции y=f(x) называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки (х;f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки к бесконечности вдоль ветви графика. Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмические линии, циссоиды и др.). ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Представим себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные). С вертикальными асимптотами сразу все ясно – они проходят через точки разрыва функции. Если рассмотреть выражения : (х^2+1)/2 и х+1/х, то видно, что они задают одну и ту же функцию, ведь второе выражение результат деления числителя первой дроби на знаменатель. Но второе выражение удобнее с точки зрения поиска асимптот. Так, оно сразу дает понять, что y=x является асимптотой. Проделав еще несколько экспериментов с графиками рациональных выражений, мы увидели следующее. Если при делении числителя на знаменатель получается const=остаток, то график имеет горизонтальную асимптоту. Если показатель степени числителя(n) меньше показателя степени знаменателя (k), то график имеет горизонтальную асимптоту y=0. Если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту y=a. Мы совершенно произвольно взяли функцию (x^4+3)/(x^2+1) и исследовали ее по общей схеме. Наши исследования закончились построением графика, симметричного относительно оси Оy и имеющего две уходящие в бесконечность ветви. Но, когда мы дошли до вопроса об асимптотах, решили разделить числитель на знаменатель и получили следующее q(x)=х^2-1+4/(x^2+1) Полученное выражение подсказало, что при х стремящемся к бесконечности значения нашей функции стремятся к значениям функ ции у = х2 - I, т.е. график функции g(x) должен подходить к параболе у = х2 - I как угодно близко, никогда ее не пересекая. При наложении графиков мы увидели, что график функции g(x) вписался в параболу у = х1 - I (рис. 3). Так чем же она не асимптота. рис.2 Далее мы рассмотрели функцию вида f(x)=x^5/(x^2-1). Разделив числитель дроби на знаменатель, придали функции вид: f(x)=x^3+x+x/x^2-1. Мы увидели, что функция имеет две вертикальные асимптоты х=1 и х=-1. 2. Нахождение асимптоты Рассмотрим теперь общий вид нахождения асимптот. Пусть функция f(x) определена для всех х>a(соответственно для всех х<a).а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая y = kx + l называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ). Существование асимптоты графика функции означает, что при х + (или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую. x 3x 2 Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1 Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4 является асимптотой графика данной функции как при х + , так и при х . 2.1 Геометрический смысл асимптоты Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота, - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, , MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1). (рис.1) Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) – (kx +l), MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, то и lim MP = 0, и наоборот. х х Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ). 2.2 Общий метод отыскания асимптоты Рассмотрим общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l. Рассмотрим случай х . Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению, f (x) = kx + l + 0 Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда lim = k. х Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу l = lim (f (x) – kx). х Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является х асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем х lim f (x) (kx + l) = 0, х то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx) х х сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно. Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = , другим способом: то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты y = x – 4, как при х , так и при х - . В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. 3. Виды 3.1 Горизонтальная асимптота Пусть существует lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2) (рис.2) хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3) (рис.3) 3.2 Вертикальная асимптота (рис.4) Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является х вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или . Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид . Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения 3.3 Наклонная асимптота (рис.5) Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х lim [f (x) – (ax + b)] = 0. x Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина Но тогда мы имеем и так как последний предел равен нулю, то Зная а, можно найти и b из исходного соотношения Тем самым параметры асимптоты полностью определяются. Пример то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x. Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x. Сам график функции выглядит так (рис.6)(......) |
Loading
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Скачать работу "Асимптоты"